量子霍爾效應由克勞斯?馮?克利欽（Klaus von Klitzing）于 1980 年首次發現。他當時正在研究一種早在約一百年前就由埃德溫?赫伯特?霍爾（Edwin Herbert Hall）觀測到的現象。

取一片金箔，施加垂直于金箔的磁場，并沿金箔某一方向通入恒定電流，接著在金箔的垂直方向就會產生電流 —— 這就是霍爾電流。

量子霍爾效應：磁場（B）垂直于薄片。沿某一方向通入電流（I）時，會在垂直方向產生霍爾電流（U）。圖片來源：Ohewikiaccount, CC BY-SA 4.0

磁場強度決定了霍爾電流的導通難易度：磁場越強，霍爾電導（衡量導通難易度的物理量）就越低。逐步增大磁場強度，霍爾電導會隨磁場平穩下降。

克利欽對一個問題很好奇：若在極低溫環境下開展實驗，此時電子不會因熱運動劇烈碰撞，會發生什么？他的發現震驚了學界：降低磁場強度時，霍爾電導不再平穩下降，而是呈階躍式突變。這種物理量以離散臺階式變化的行為，是量子現象的典型特征。由于量子效應通常無法在宏觀系統中觀測到，克利欽的發現意義非凡 —— 他讓量子效應變得切實可見。

這是霍爾電導隨磁場變化的粗略曲線圖，展示了霍爾電導如何呈階躍式下降。

霍爾電導的量子化取值形式為：

其中e是電子電荷量，h是普朗克常數。因表達式中出現整數，該效應被命名為整數量子霍爾效應。

然而故事并未結束。不久后，霍斯特?施特默（Horst St?rmer）和崔琦（Daniel Tsui）在更低溫度、更強磁場下，用極薄電子氣層完成了類似實驗。令人意外的是，他們在克利欽實驗的整數能級之間，觀測到了新的能級。這一效應被稱為分數量子霍爾效應。

克利欽因發現整數量子霍爾效應，獲得 1985 年諾貝爾物理學獎；霍斯特?施特默與崔琦和羅伯特?勞夫林（Robert B. Laughlin）共享 1998 年諾貝爾物理學獎，下面我們將進一步講述后者的故事。

走進量子態

整數量子霍爾效應的精度極高，被用作電阻單位（電導的倒數）的計量標準。盡管它發生在宏觀系統中，卻能高精度測量單個電子的電荷量。

更神奇的是，這種高精度并非來自樣品的完美無缺，反而是源于雜質。要理解這一點，我們需要先掌握最基礎的量子力學知識。經典物理中，粒子（或整個粒子系統）在某一時刻的狀態由確定的物理量描述，比如粒子的位置和動量。但量子力學的世界更為模糊：粒子可以同時處于多個位置、擁有多個動量，只有測量時，才會坍縮到某一個確定結果。

粒子或系統的量子態，編碼了所有可能的狀態及其對應的觀測概率。數學上，量子態常用波函數表示。當我們說一個量子態延展到空間某區域，意思是測量粒子位置時，它可能出現在該區域內任意位置，但并不會出現在區域外。

量子力學的另一核心特征是前文提到的非連續性：原本通常被認為連續變化的物理量，只能取分立值。

整數量子霍爾效應：為何出現平臺？

解釋整數量子霍爾效應，我們首先要對付的量子特性就是離散性。實驗中，待測樣品（例如霍爾本人所用的金箔）被置于強磁場中。磁場會改變材料內部電子的運動狀態。特別地，電子運動對應的能量不能取任意值，只能取特定的離散值，這些能級被稱為朗道能級。

物理學大神列夫?朗道的公開照片

量子力學的另一條鐵律 ——泡利不相容原理指出，每個特定的朗道能級只能容納有限（盡管數量極大）的電子，該數量與磁場強度正相關：磁場越強，單個朗道能級可容納的電子越多。

理想材料中，每個電子都會占據其中一個特定的朗道能級，與之相對應的量子態會延展至整個樣品，這使得所有電子都能參與導電。

然而，現實中沒有絕對理想的系統。真實材料（例如金箔）必然含有雜質，它們會破壞朗道能級的精確性。雜質附近的電子被允許存在于略低或略高于準確朗道能級的能區。因此，每個朗道能級會展寬為具有一系列允許能量的朗道能帶。

雜質雖拓寬了允許的能量范圍，卻也會束縛電子，將其運動限制在很小的臨近區域內。處于這種局域態的電子無法參與導電，絕大多數電子都會被這樣束縛 —— 這就引出一個問題：電流到底是如何流動的？

答案藏在材料的邊緣（例如金箔的邊緣）。邊界會改變電子的允許運動方式，就像一條河的河岸會擾亂渦流并引導水流平穩流動一樣，樣品邊緣會引導電子沿單向路徑運動。電流正是通過這些邊緣通道傳輸。邊緣還會改變能級分布，讓朗道能級 “向上彎曲”：越靠近邊緣，朗道能級的能量越高。

現在想象實驗正常運行，霍爾電流沿邊緣流動。然后想象著去降低磁場強度。當磁場變弱，每個朗道能帶能容納的電子數量減少——正如我們之前所說，每個朗道能級電子的數量取決于磁場的強度。部分電子將無法在更低的能態找到占據空間，只能進入原本無人認領的高能態。

但是這些新增電子大多會進入樣品內部由雜質造成的局域態。因為這些量子態無法參與導電，所以霍爾電導保持恒定，形成平臺。只有當電子開始占據新的非局域的擴展態，也就是那些非局域狀態時，霍爾電導才會快速跳變到下一個平臺。

霍爾效應家族譜。圖片來源[1]

整數量子霍爾效應：為何是整數？

上文中解釋了霍爾電導 - 磁場強度曲線中平臺的成因。但為何平臺恰好對應e2/h的整數倍？1981 年，物理學家羅伯特?勞夫林（Robert B. Laughlin）想出了一套實驗的理論模型設定，這使得他得以極致精準地解析該系統。

在這個理論模型中，系統變成了某種意義上的量子泵。驅動霍爾電流的電場，由緩慢穿過系統的磁通量產生（模型中假設系統有一個孔洞供磁通量穿過）。泵浦的一個周期，對應穿過一份量子化的磁通量。在每個周期結束后，系統會恢復它從前的狀態。（用專業術語說，系統被稱為哈密頓量的某種數學對象回到了初始值）。

計算表明：一個泵浦周期內傳輸的電荷量（以e為單位），就是系統的霍爾電導（以e2/h為單位）。要解釋霍爾電導為何是e2/h的精確整數倍，只需證明每個泵浦周期內有相同數量的電子被傳輸。

這個結論在經典物理中顯而易見：電子不可分割，只能以整數個傳輸，并且每個泵浦周期完全相同，因此每次傳輸的電子數必然是同一個整數。但量子世界更為模糊，所以需要更多的工作去展示實際上究竟發生了什么。當你做這些計算時，你就會遇到一個來自拓撲學（數學中的一個領域）的公式。你可以從數學上證明，該公式只能導出一個整數（即陳數，是由華人物理學家陳省身提出的一種拓撲不變量）。這一數學必然性保證了勞夫林泵浦模型中每個周期傳輸整數個電子，進而解釋了霍爾電導的取值。

這就是數學與自然的完美交匯：霍爾電導的量子化背后，是陳數必為整數的數學鐵律！

拓撲為盾，堅不可摧

盡管勞夫林的模型十分理想化，這段論證卻能解釋真實實驗條件下，霍爾電導仍存在嚴格的量子化現象，也闡明了該現象是非常魯棒的：系統的微小擾動（電子數、雜質性質、磁場變化），都不會讓霍爾電導偏離整數倍數值。因為陳數能且只能是整數，即使你微調系統的各種細節，霍爾電導都無疑只能取特定值。

這種對微小擾動的 “免疫力”，與拓撲學（先前提到幫助我們導出陳數公式的那個數學領域）的核心思想高度契合。拓撲學是更寬松的幾何學。只要不撕裂、不切割，能通過形變相互轉化的兩個形狀，拓撲上就是等價的。完美的球體與癟掉的足球拓撲等價，以及甜甜圈與帶柄馬克杯也拓撲等價。形狀的微小改變不會改變其拓撲類型，正如量子霍爾系統的微小擾動不會改變它的霍爾電導。

球體與足球：球體與癟掉的足球拓撲等價，因為無需切割、粘合即可將一方形變為另一方。

甜甜圈與馬克杯拓撲等價，因為無需切割、粘合即可將一方形變為另一方

正因這種和拓撲學的聯系（同時還有更深層的關聯），物理學家稱霍爾電導是拓撲保護的。

值得注意的是該系統還有一個關鍵特征：系統內是絕緣體，電流僅沿邊緣流動。但是你無法脫離整體的物理機制而去單獨研究邊緣的物理機制。邊緣的行為是整個系統物理規律的直接結果，這一現象被稱為體邊對應（bulk-edge correspondence）。

分數量子霍爾效應

整數量子霍爾效應得到了解釋，那分數量子霍爾效應呢？如前文所述，它發生在溫度更低且磁場更強的情況下。在霍爾電導 - 磁場強度曲線中，新平臺出現在非e2/h整數倍的位置，實驗中最常見的是e2/3h和2e2/5h，此外還有許多其他分數臺階也被觀測到。

低溫環境下，電子間的相互作用變得至關重要。盡管這種相互作用始終存在，但高溫時的熱漲落會破壞其形成的脆弱集體量子態。然而在極低溫下，電子會組成高度關聯的多體系統 ——量子流體，對外界擾動的響應表現為一個整體（量子流體具有顯著的量子糾纏，這是另一種經典物理中不存在的現象）。

分數量子霍爾效應的其中一種解釋同樣來自勞夫林。當系統最高朗道能級按特定填充率（如 1/3）部分填充時，系統會穩定在具有最低能量的基態，也就是前文提到的高度關聯量子流體。一如從前，我們可以再次用泵浦模型論證：一個周期后，系統的哈密頓量仍會恢復初始值。

但描述系統整體狀態的哈密頓量雖復原，由波函數定義的精確量子態卻發生了改變——系統進入了與初始不同的基態。若朗道能級填充率為1/3，需要3 個泵浦周期，系統才能回到最初的基態。將這 3 個周期視為整體，原始泵浦論證才依然成立：總共傳輸整數個電子。

那單個泵浦周期究竟發生了什么？答案是：傳輸了1/3的分數電荷。既然電子不可分割，它們無法攜帶分數電荷，因此這種電荷由量子流體的激發態攜帶。這些激發態的行為有些類似在系統中運動的粒子，這也是它們被稱為準粒子的原因。但是，它們并非是像電子一樣的獨立實體，而是量子流體對電磁場的集體響應而涌現的產物。

霍爾電導仍由單個泵浦周期傳輸的電荷決定，它的數值此時是一個分數。平臺（磁場變化范圍內電導保持恒定）的成因與整數量子霍爾效應一致：雜質將低能準粒子局域化，阻止其參與電荷輸運。和之前一樣，系統同樣對小的變化具備魯棒性：霍爾電導受拓撲保護。

這里所提到的準粒子被稱為任意子（anyon），該名字由諾貝爾獎得主弗蘭克?維爾切克（Frank Wilczek）提出。它源自單詞 “anyone”（意為任何人），暗指任意子不屬于兩類常規粒子所屬類別中的任何一類（即費米子和玻色子）。

量子霍爾效應遠不只是一個奇特的物理現象。當磁場強度讓霍爾電導處于平臺時，系統會表現出全新的物質特性 —— 準確來說，它代表一種物質的拓撲相。這類拓撲相有著驚人的應用前景，比如在量子計算領域。

參考文獻:

[1]. von Klitzing, K., Chakraborty, T., Kim, P. et al. 40 years of the quantum Hall effect. Nat Rev Phys 2, 397–401 (2020). https://doi.org/10.1038/s42254-020-0209-1

作者：Marianne Freiberger

翻譯：Wonder

審校：姬子隰

編輯：姬子隰

翻譯內容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場

文章轉載自“中科院物理所”公眾號