一個看似簡單的幾何問題

近80年來，數學家們一直在研究一個看似簡單、實則極難的問題：如果在平面上放置n個點，那么最多能有多少對點之間的距離恰好等于“1”？

這便是“單位距離問題”，最早由保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）于1946年提出。它是組合幾何學中最著名的問題之一。當時，埃爾德什證明，隨著方格規模不斷擴大，其中單位距離點對的數量也會趨向無窮，而且其增長速度會比點的數量略微快一點。不僅如此，他還猜想，沒有人能夠找到更好的方法，來排列出如此多的單位距離點對。

幾十年來，這一猜想一直為許多數學家所接受。直到現在，OpenAI的一個內部的AI模型推翻了它。目前，這一突破已通過了數學家的獨立驗證。

單位距離問題的最優答案

假設平面上的n個點之間，距離恰好為單位距離的點對所能達到的最大數量為u(n)。要構造出線性增長的例子并不難：如果把n個點排成一條直線，就能得到n?1個單位距離點對（比如把平面上的9個點排成一條直線，就會得到8個單位距離點對）；如果把點放在方形網格上，則大約能得到2n個單位距離點對。

此前最好的已知構造來自一種“重新縮放的方形網格”，它實際上能產生更多單位距離點對：對于某個常數C，點對數量可以達到n^{1 +C/log[log(n)]}。由于log[log(n)] 會隨著n的增大而趨向無窮大，因此指數中的附加項會趨向于0；這意味著，這類構造的增長速度只比線性增長略快一點。幾十年來，數學家們普遍認為，這一增長率基本上已經是最優的了，沒有任何構造能夠比方格類構造顯著更好。

此前已知的一種構造：通過重新縮放的方形網格，得到大量單位距離點對。（圖/OpenAI）

埃爾德什認為無論你怎樣排列n個點，單位距離點對數量最多也只能達到n^[1+o(1)]這種級別，其中附加項o(1)表示一個會隨著n增大而趨向于0的量。

直到現在，OpenAI推翻了埃爾德什的猜想：對于無窮多個n的取值，新的證明構造出了由n個點組成的排列方式，其中至少包含n^(1+δ) 個單位距離點對，且這里的δ是某個大于0的固定常數。AI最初給出的證明并沒有給出一個明確的δ值。但數學教授Will Sawin即將完成的一項改進表明，可以取：δ=0.014。

新的結果提高了已知下界，證明單位距離點對數量至少可以達到n^(1+δ)。由于這個增長速度超過了埃爾德什猜想中的n^[1+o(1)]上界增長率，因此該結果推翻了這一長期存在的猜想。

當數學遇上AI

埃爾德什最初給出的下界，可以通過高斯整數來理解。高斯整數是形如a+bi的數，其中a和b是整數，i是?1的平方根。高斯整數是對普通整數的擴展；而且與普通整數類似，它們也具有唯一分解為素數的性質。

新的論證則用代數數論中更復雜的推廣對象取代了高斯整數；這些對象具有更豐富的對稱性，因而能夠產生更多長度為1的差，也就是更多單位距離點對。更精確地說，新的論證使用了無限類域塔和Golod–Shafarevich理論等工具，來證明論證所需的那些數域確實存在。這些思想對代數數論家來說早已熟知，但令人意外的是，它們竟然會對歐幾里得平面中的幾何問題產生影響。

這一推理過程包含在一份125頁的文件中，但OpenAI尚未完整公開這份文件，也沒有披露該模型的名稱。已知的是，這項突破來自一個實驗性的通用推理模型，并非一個專門為解決數學問題而設計的模型。它是在回應一次提示時自主完成了全部工作，而那次提示只是機器重寫后的埃爾德什問題表述。

這一結果標志著AI與數學互動中的一個重要時刻：一個AI系統自主解決了一個長期存在的開放問題，而這個問題正處在一個活躍研究領域的核心。它也讓我們初步看到了AI與人類數學家之間一種新型合作方式。在這個案例中，外部數學家撰寫的配套工作，呈現出了比原始解答本身更加豐富的圖景。

這個解法揭示了代數數論與離散幾何之間意想不到的聯系，這正是該結果引人注目的原因之一。它并不只是解決了一個具體猜想，還可能為數學家提供一座橋梁，使他們能夠進一步探索相關問題。它供了一個很有前景的例子：AI不僅貢獻了一個解答，還帶來了一項數學發現；而這項發現的意義，會在隨后的人類理解中變得更加清晰、更加豐富。

#參考來源：

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

https://www.nature.com/articles/d41586-026-01651-0

https://www.scientificamerican.com/article/ai-just-solved-an-80-year-old-erdos-problem-and-mathematicians-are-amazed/

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

#圖片來源：

封面圖&首圖：OpenAI