最小作用量原理，是經典物理學中的核心規律，也被認為是自然界的一條普世原理。而費曼的路徑積分告訴我們：粒子同時走過了所有可能的路徑，但宏觀上觀測到的結果仍與最小作用量原理給出的軌跡一致。這讓物理學家意識到該原理在經典與微觀之間有更深層的統一性。最近，麻省理工學院的兩位物理學家發表論文，表明即使不 依靠費曼路徑積分 ，僅從經典的最小作用量原理出發，也可以精確求解薛定諤方程，解釋量子力學的種種神奇現象。他們為量子力學提供了一種全新的等價描述。

撰文|董唯元

最近一則關于量子力學的研究引發關注，論文發表于 《英國皇家學會會刊A》 ，標題是“ On computing quantum waves exactly from classical action ”（用經典作用量精確計算量子波），作者是來自麻省理工學院（MIT）的 Winfried Lohmiller 和 Jean-Jacques Slotine 。

這篇論文中的理論發現非常有啟發性，算得上是量子力學的一次認知突破。可惜各路媒體的介紹都透著一股濃重的AI味，要么語焉不詳，要么夸大歪曲，既讓專業人士渾身難受，又讓大眾誤解重重，把好端端的獨特洞見攪成了一團糨糊。想說清楚這種傳統認知范圍之外的新發現，還得靠古法手動碼字。

論文核心要義

這篇論文主要證明了 僅從經典物理的最小作用量原理出發，便可以精確計算量子行為，不需要引入費曼路徑積分 。然而這個理論發現究竟意味著什么，大部分報道中的解讀都或多或少有些偏頗失實。

例如幾篇最早的報道，都宣稱“這個理論發現使量子現象不再神秘，原本對量子 世界的解讀都是物理學家們自己想多了”。這說得好像我們終于找到了一種用經典圖像完全可以建模描繪的量子詮釋，從此不需要再面對海森堡不確定性關系和波粒二象性。

實際上，論文給出的第一個公式就已經明確表示，論文中的所有計算，恰是基于“粒子的位置和動量只確定其一，不同時確定”這個前提。企圖擺脫海森堡不確定性關系的小伙伴們，怕是要失望了。

至于波粒二象性，一個經典的點粒子同時也是波，也是該論文展開論述的前提之一。在某種程度上說，整篇論文的論證目標恰恰是在強化波粒二象性。這從論文的標題也能看得出來。

論文的兩位作者曾明確表示，他們的理論并沒有推翻現有量子理論。他們只是提供了一種既有量子理論的數學等價描述。用他們自己的話說，是在量子規律與經典規律之間，架起了一座新的橋梁。

當然，量子世界中的神秘現象遠不止海森堡不確定性關系和波粒二象性，這篇來自MIT的論文也確實對雙縫干涉、AB效應、量子隧穿、多粒子糾纏等若干量子現象逐一給出了基于新理論的解讀。

不過，在新理論的視角下，原本撲朔迷離的量子現象真的變得清澈易懂了嗎？這個理論能夠為量子理論提供一種新的詮釋嗎？抑或，即便不構成完整詮釋，它作為一顆理解量子現象的新增砝碼，會傾向支持各派量子詮釋中的哪些派別呢？隱變量理論能迎來轉機嗎？

這些還真不是一兩句話就能簡單概括的。想要理解其中的韻味，我們還得從頭說起。

作用量與量子相位

稍稍學過一點量子力學的小伙伴們也許都聽說過，量子波函數可以寫成 ψ= e iS/ ? 的樣子。式子里的S是作用量。當它跑到指數位置，前面再乘以虛數單位 i ，就扮演了相位的角色。可是如果追問為什么可以寫成這種形式，估計會有許多 小伙伴被問懵。

其實，“作用量是相位”這件事，早在量子力學產生之前，就蘊藏于經典物理學中。只是在德布羅意提出物質波概念之后，物理學家們才正式接納了這個觀念。

理論力學中的作用量，最早是以泛函形式 S [ q ( t ) ] 定義的，其中q是空間位置，t是時間。每個隨意畫出的運動軌跡 q ( t ) 都對應著一個作用量S的值。當某個運動軌跡恰好滿足 δS =0 時，這個軌跡就是 極值路徑。

最小作用量原理的內容就是，極值路徑是物理法則上的唯一“合法”路徑。射入水里的光線之所以發生折射，炮彈之所以劃出拋物線，都是因為最小作用量原理的約束。

哈密頓力學中，作用量S又披上了新馬甲，搖身一變成了位置q和時間t的函數 S ( q , t; q 0 , t 0 ) ，并 有個新名字——哈密頓主函數。它被定義為，從點 ( q 0 , t 0 ) 出發，沿著極值路徑走到點 ( q , t ) ，沿途累積的作用量。

不難看出，哈密頓主函數是空間里的標量場，如果把它的取值想象成“海拔”，那它就描繪了一座起伏錯落的“山脈”。點 ( q 0 , t 0 ) 的選擇只決定了觀看整座“山脈”的視角，并不改變“山脈”本身的形狀。

而“山脈”本身的形狀，又蘊含著一個非常重要的信息，那就是動量p。通過一些數學推導可以得到， p= ? S 。哈密頓主函數這座“山脈”的梯度，就是運動物體的動量。這意味著物體的運動方向永遠與空間中的“等S面”垂直，運動速度大小由“等S面”的密度決定。

再對比經典的波動方程里，波矢k和相位φ之間的關系， k= ? φ 。波的傳播方向永遠與“等相面”垂直，傳播速度大小由“等相面”的密度決定。

看，“作用量S就相當于相位φ”的感覺，是不是已經撲面而來了？沒想到吧，在經典物理中，一個運動粒子竟然也可以被視為“波”，以作用量為相位的波。

當然在德布羅意提出物質波概念之前，這種類比仍被大多數人視為一種數學意義 上的便利。直到德布羅意大膽捅破這層窗戶紙，寫出 p=?k 之后，就再也沒什么能阻擋相位與作用量直接“滴血認親”， φ = S ? 。

方程里的偏差

現在我們終于理解了，把飛行的粒子寫成量子波函數 ψ= e iS/ ? 簡直是天經地義理所應當的。可是，當我們把這個波函數代入到薛定諤方程，奇怪的事情就出現了。

最常見的薛定諤方程是個關于波函數 ψ 的方程：

代入 ψ= e iS/ ? 就得到一個關于S的方程：

這個方程被稱為量子哈密頓-雅可比方程（簡稱QHJ方程），可以視為是薛定諤方程的作用量版本。

為什么說QHJ方程奇怪呢？因為從形式上看， 最小作用量原理似乎被打破了 。

在經典理論中，遵循最小作用量原理的“山脈”形狀，由哈密頓-雅可比方程（簡稱HJ方程）刻畫。

對比經典理論的HJ方程和量子力學的QHJ方程，一眼就能看出，二者相差了橙色的那一項 ，不能完全對齊。

等等，我們剛才把波函數直接寫成 ψ= e iS/ ? ，會不會太草率了，丟掉了一些信息？現在補充個系數，寫成 ψ=R e iS/ ? 。因為薛定諤方程是線性方程，如果新加的系數R只是個常數，那就跟沒加一樣，直接約掉了，還得讓R也是空間和時間的函數才有意義。

把補充之后的波函數代入，分離實部和虛部，能得到兩個方程：

第二個方程很直觀，就是在講 ρ= R 2 這個量是個守恒流。第一個方程是我們得到的QHJ方程升級版。顯然，它仍然跟經典的HJ方程對不齊，相差了一個紫色項 。

現在，讓我們梳理一下眼前的困局，以下三點似乎無法自洽統一。

• 作用量是量子波函數的相位；

• 薛定諤方程；

• 經典HJ方程。

是bug還是feature

QHJ方程與HJ方程雖然明顯不同，但是相差的項都含有一個約化普朗克常數 ? 。這是個宏觀尺度下很微小的數。于是便有物理學家開始琢磨，也許HJ方程只是宏觀近似結果，微觀尺度上，QHJ方程描述的才是真相。

然而HJ方程對應最小作用量原理，放棄微觀尺度上的HJ方程，就代表著最小作用量原理這部物理定律中的“憲法”，將在微觀世界里失效，只能在宏觀世界才成立。

這種觀念顛覆性足夠強，對整天期盼著新觀念、新認知的理論物理學家來說，吸引力非常大。許多物理學家僅憑直覺就開始擁護這一觀念，甚至認為那個平平無奇的HJ方程就是經典物理規律的代表，神秘詭譎的量子現象都是因那些QHJ方程中的差異項才產生的。

在這些物理學家眼中，圍繞HJ方程的種種不自洽，并非理論的bug，那正是量子世界的feature。尤其是那個包含紫色項的QHJ方程升級版，紫色項 甚至有個專門的名字，量子勢。這個差異項里，藏著一整套教科書版量子力學的平替版本——玻姆力學。（可參見《 》）

讀到這里，嚴謹的讀者可能會擔心，普朗克常數 ? 雖然微小，可那畢竟是個固定的常數，未必總能保證QHJ方程中的差異項足夠小，萬一遇到質量 m→0 或者 ? 2 S→∞ 的情況，差異項直接原地爆炸，即使在宏觀上，也沒法守護最小作用量原理了。

這種擔心很有道理，所以在相當長一段時間里，類似的約束條件都成了計算無法觸及的盲區。直到1948年費曼提出了路徑積分表述。從數學形式上看，費曼解決問題的方式很意外，他消除無窮大的方式竟然是索性引入無窮個無窮大。很有一股徹底破罐破摔的霸氣。

費曼路徑積分表述的數學形式雖然復雜，但其物理思想倒很好理解。費曼干脆完全無視最小作用量原理約定的極值路徑，讓粒子在出發后化作無數“分身”，每個“分身”都竭盡所能走過所有可能的路徑，然后所有分身又在一處“合體”。因為每 個“分身”走的路徑不同，所以沿途積攢的作用量，即量子相位，也就不同，當它們“合體”時，便發生相互干涉抵消，最終干涉的結果，就只剩下那個對應最小作用量的極值路徑。

奧卡姆剃刀

讓我們把話題拉回到MIT研究者的那篇論文。

論文通過嚴謹的數學推導計算，證明了先前對QHJ方程中差異項的理解有偏頗之嫌。至少，把那些花花綠綠的差異項，視為神奇量子規律的藏身之所，或許是一種誤判。費曼路徑積分表述中的那些“分身”，蘊含著整套玻姆力學的量子勢，這些也許都是冗余的理論“贅肉”，可以統統砍掉。

他們究竟是怎么讓經典的HJ方程與薛定諤方程和諧自洽的呢？簡單來說，就是把波函數的形式寫得更聰明些：

這種寫法里，那些 S n 仍然是扮演著量子相位角色的作用量。重點是，它們不是相互獨立的，而是同一個經典HJ方程的解的不同分支！這便涉及論文的關鍵點之一，允許哈密頓主函數是個多值函數。空間里那座“山脈”，變成了擁有多層分支高低錯落的“立交橋”。

為什么空間里的同一點，可以對應多個作用量？論文中闡釋了三個來源，但其中最根本也最容易理解的，就只有一個，那便是初始狀態不完全確定。

哈密頓主函數 S ( q , t; q 0 , t 0 ) 是從 q 0 出發沿極值路徑走到 q 所累積的作用量，但是從 q 0 到 q 的極值路徑可能不止一條。比如炮彈的極值路徑，如果只確定炮口的位置，不確定炮彈出膛的速度大小和方向，那么同一個彈著點與炮口之間，就存在不止一條極值路徑，當然也就存在不止一個作用量取值。

僅允許哈密頓主函數多值還不夠，關于那個系數 R n ，也有個需要注意的關鍵點。前文已經提到，每個分支的 是個守恒流， ρ n 就是經典的流密度。如果我們把 ρ n 當成了遍布全空間的函數來看待，那么把 這個形式代入回薛定諤方程，還是只能得到一組含量子勢的QHJ方程，無法還原到經典HJ方程。

MIT的研究者敏銳地察覺到， ρ n 應該只定義在極值路徑上，這樣對 求空間梯度，就變成了沿線求偏導。而 ρ n 又是個守恒流，所以在極值路徑沒有分叉的地方，沿線偏導都是0 。既然 ，那么 量子勢 也 就跟著變成了0。

論文作者另外計算了極值路徑交匯或分叉的情況，證明了這些地方不同分支的量子勢恰好可以相互抵消。

現在終于真相大白，那些QHJ與HJ的差異項，它們既不是bug也不是feature，它們只是迷惑了物理學家幾十年的一場誤會。 允許經典的哈密頓主函數成為‘多值函數’ ，那么差異就會在多層“立交橋”累加的結果中消失，經典HJ方程與薛定諤方程一直都是自洽的。

量子詮釋的迷霧

維護了薛定諤方程與經典HJ方程的自洽，也就同時挽救了最小作用量原理的“憲法”地位，極值路徑又變成了必須遵循的“合法”路徑。那么我們又該如何看待這場誤會在幾十年間催生的各種“美麗傳說”呢？

費曼路徑積分表述里那些充滿浪漫詩意的“分身”，在MIT的論文中被無情拋棄了。有點小小遺憾，好在原本也沒有物理學家真的將其視為物理實在。路徑積分表述這個稱呼中，之所以有“表述”二字，就是在強調這只是一種輔助理解和運算的手段。

事實上，在過去幾十年里，路徑積分一直是物理學家處理復雜粒子散射、隧穿等 “ 飛行 ” 問題的強力工具，更是量子場論的基石。但它的數學代價是必須引入無限維的路徑積分演化。 而量子場論里各種唯象的理論模型滿天飛，路徑積分這點瑕疵根本算不上什么，在今后相當長的一段時間內，路徑積分仍然會發揮著不可或缺的作用。

真正被這篇論文傷害到的，大概就是玻姆力學了。量子勢是 玻姆 力學最重要的理論源泉，現在被MIT的論文判定成了空蕩蕩的幻影，這讓本 就側立于 理論物理 舞臺邊緣 的 玻姆 力學更加尷尬。

然而有趣的是，MIT的論文雖然放逐了玻姆力學這個隱變量理論的典型代表，但這篇論文自身卻散發著更濃重的隱變量味道，甚至可以視為一種玻姆力學的跨越式升級替代。不知出于什么考慮，論文作者非常不愿意承認這一點。事實上，這兩位研究者似乎非常刻意回避與量子詮釋有關的討論。

論文作者一再強調，他們的結論完全支持和兼容哥本哈根詮釋。盡管波函數已經嚴格符合經典的HJ方程，但是因為 這個形式中存在多個分支，量子測量發生時，波函數恰好處于哪個分支完全無法事先預測，所以仍然帶有內稟隨機性。其中的系數 R n ，其平方就代表了測量結果發生在各分支的 概率密度。

這番解釋當然中規中矩合情合理，但是所有學物理的人都知道，聲稱支持哥本哈 根詮釋的只有兩種人：一種是沒有主張；另一種就是不愿說出自己的主張。像兩位研究者這樣，把決定論的鐵釘悄悄釘進波函數內部的思考者，很難相信他們屬于第一種。

質疑之聲

MIT這篇論文在引起關注的同時，也迎來了許多質疑。 反對者的目光 大多 都集中在 這個結論 上 ，這也是論文的核心支撐點所在。

前面已經介紹過，論文作者得出 的理由，是事先認定 ρ n 只能在極值路徑上有定義。在反對者看來， 這 就成了一種循環論證：先假設粒子只能沿極值路徑“飛行”，然后再得出結論——粒子不需要經過極值路徑之外的其他路徑。

來自布達佩斯大學的 Gábor Vattay 就為此專門撰寫了論文，并也提交給了 《英國皇家學會會刊A》 。

目前，MIT的兩位研究者還沒有對這些質疑給出回應。如果想替 Lohmiller 和 Slotine 辯護，我倒覺得他們的那篇論文并非空洞的循環論證， Vattay 等反對者指出的問題，只是體現了某種自洽性。

當然這個質疑之處確實大大削弱了MIT論文結論的普適性和斷言范圍， 暫時無法確認 Lohmiller 和 Slotine 的論證是否適用于所有量子態，只能說對滿足特定條件的量子態結論成立。

參考文獻

[1] Winfried Lohmiller, Jean-Jacques Slotine; On computing quantum waves exactly from classical action. Proc. A 1 April 2026; 482 (2336): 20250413.

[2] Gabor Vattay, Comment on `On computing quantum waves exactly from classical action', arXiv:2605.02621

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文章轉載自“返樸”公眾號