隨機動力學讀書會丨第三期：隨機積分和隨機微分方程

導語

在復雜動力學系統中，隨機擾動無處不在，從花粉顆粒的布朗運動到金融資產的價格波動，經典確定性微積分難以直接刻畫噪聲驅動的演化規律。本期為隨機動力學讀書會第三期，中山大學、大灣區大學博士研究生何瑞杰將從布朗運動的歷史動機出發，系統闡釋伊藤積分的嚴格構造、伊藤公式和伊藤乘積法則的演算規則、隨機微分方程的理論框架，及其在物理、金融與深度學習中的建模應用。

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

報告簡介

本次分享系統介紹隨機微分方程的數學基礎與應用。從布朗運動的發現與 Bachelier、Einstein、Langevin 的建模講起，建立 Wiener 過程的嚴格定義與軌道性質；通過二次變差引入伊藤積分與伊藤等距，發展出伊藤公式與乘積法則作為隨機演算的核心工具；進而定義伊藤型 SDE，討論解的存在唯一性、線性方程求解方法與 Fokker-Planck 方程；最后展示典型應用：包括 Black-Scholes 期權定價、邊界首達時與 Feynman-Kac 公式、Euler–Maruyama 與 Milstein 數值解法，以及擴散模型和 Neural SDE 中的隨機微分方程視角，并比較 Stratonovich 積分在保持幾何對稱性方面的優勢。

分享大綱

• 核心動機：隨機因素驅動的動態過程建模需求

• 伊藤積分：定義、本質與核心性質

• 隨機微分方程 (SDE)：基本形式與物理意義

• 現代應用：BS 方程、擴散模型和 Neural SDE

• 數值解法：SDE 的實用求解手段

核心概念

概念一：伊藤積分

• 定義：對不可微隨機軌道（如布朗運動）的積分理論，通過仿照 Riemann-Stieltjes 積分并定義采樣點位置建立，解決經典黎曼積分失效的問題。

• 核心性質：期望為零、伊藤等距（保持 L2 范數）；變上限積分構成鞅。

• 應用價值：為隨機微分方程提供嚴格的數學基礎，是描述噪聲驅動過程的核心工具。

概念二：伊藤公式（鏈式法則）和乘積法則

• 定義：隨機過程的鏈式法則，由于二次變差 (dW)2 = dt 的存在，需引入二階修正項： ；對于兩個分別滿足的過程，其乘積的隨機微分為

• 應用價值：求解 SDE、推導 Fokker-Planck 方程及 Black-Scholes 模型的核心演算工具。

概念三：隨機微分方程（SDE）

• 定義：形如 的積分方程，由漂移項（確定性趨勢）與擴散項（隨機波動）共同刻畫系統演化。

• 應用場景：包括粒子布朗運動、超導 Josephson 結動力學、金融資產價格波動、基于分數的擴散生成模型與 Neural SDE 等。

主講人介紹

主講人：何瑞杰，中山大學、大灣區大學博士研究生在讀，研究興趣為AI在隨機微分方程、隨機動力系統的應用。

經典文獻推薦

1. L. C. Evans, An Introduction to Stochastic Differential Equations, American Mathematical Society, 2013.

2. C. W. Gardiner, Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences, 4th ed., Springer, 2009.

3. D. Nualart, The Malliavin Calculus and Related Topics, 2nd ed., Springer, 2006.

4. Y. Song and S. Ermon, “Generative modeling by estimating gradients of the data distribution,” NeurIPS, 2019.

5. Y. Song et al., “Score-based generative modeling through stochastic differential equations,” ICLR, 2021.

6. K. He et al., “Deep residual learning for image recognition,” CVPR, 2016.

7. R. T. Q. Chen et al., “Neural ordinary differential equations,” NeurIPS, 2018.

8. B. Tzen and M. Raginsky, “Neural stochastic differential equations: Deep latent Gaussian models in the diffusion limit,” arXiv:1905.09883, 2019.

9. L. Weng, “What are diffusion models?” https://lilianweng.github.io/posts/2021-07-11-diffusion-models, 2021.

時間信息

2026年4月23日（周四）晚19:30-21:30,騰訊會議線上進行,微信視頻號+集智俱樂部B站號同步直播, 感興趣的朋友掃碼報名加入隨機動力學讀書會后，可進入學員群進行交流。

直播信息

報名讀書會：「隨機動力學」

本次讀書會由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，通過物理直覺與嚴謹理論的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學知識體系。讀書會將于2026年4月9日起每周四晚上（創建讀書會暫定時間為19:30-21:30）線上開展，持續約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關領域研究者及跨學科興趣者參與。

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