小樂數學科普：為什么紐結在數學和科學中很重要（上）——譯自Quanta Magazine量子雜志

研究人員對紐結（Knot）的研究，將對分子生物學和理論物理學的興趣結合在一起。數學家 科林·亞當斯（ Colin Adams） 和 麗薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo） 與播客主持人 Steven Strogatz 討論了原因。

作者：Steven Strogatz 播客主 2022-4-6 譯者：zzllrr小樂 2022-4-10

每個人都知道紐結是什么。但紐結在數學和科學中具有特殊意義，因為它們的特性可以幫助解開隱藏在 DNA 生物化學、新材料合成和三維空間幾何等廣泛主題中的秘密。在這一集中，主持人 Steven Strogatz 與數學家Colin Adams和Lisa Piccirillo一起探討紐結的奧秘。

Steven Strogatz (0:03)：

我是 Steve Strogatz，這里是《The Joy of Why 關于為什么的喜悅》，來自量子雜志的播客，帶你了解當今科學和數學中一些最大的懸而未決的問題。在這一集中，我們將討論紐結。

我們都知道紐結是什么，對吧？它們就像你系在鞋帶上的那種紐結，或者你用來把行李固定在車頂上的那種紐結。如果你拿一根有兩個自由端的繩子，在里面打一個紐結，這種紐結就可以解開。有時自由端會松脫，紐結就會解開。但是如果你把末端融合在一起，把它們粘在一起，那么紐結就會被鎖在那里，被困在環里。那么問題就變成了，你能以某種方式去除環中的那個紐結，只能巧妙地以某種方式操縱環或擺動它，而不切斷繩子嗎？

好吧，如果可以的話，那根本不是一個紐結。這只是一個圓圈，相當于一個簡單的繩圈，或者數學家認為是“平凡的紐結”。但是如果你不能撤銷它，那么，就會引發各種各樣的問題，比如，你能在多大程度上簡化一個纏在一起的紐結？

數學家如何區分不同類型的紐結？有多少種不同的紐結？為什么數學家和科學家仍然關心紐結？事實證明，這個數學分支（現在稱為紐結理論）在現實世界中有很多應用。它始于大約 150 年前的化學元素之謎，當時人們認為這些元素是在以太中不同類型的紐結。如今，紐結理論正在幫助我們了解酶如何解開相連的 DNA 鏈。此外，紐結理論在基礎研究中具有創造新型藥物的潛力，包括一些化療藥物。但就數學本身而言，紐結理論正在幫助數學家解開高維空間之謎。

現在和我一起幫助解開紐結相關的一些奧秘是科林·亞當斯（ Colin Adams）。他是威廉姆斯學院的 Thomas T. Reed 數學教授，也是《紐結理論及其有關分支雜志》（Journal of Knot Theory and Its Ramifications）的執行編輯之一。亞當斯還寫了漫畫書《為什么紐結？》（Why Knot?）稍后，我們將與 麗薩·皮奇里洛（Lisa Piccirillo） 交談。她是麻省理工學院的數學助理教授，最近她解決了一個長期存在的數學難題，即康威紐結（Conway knot ）——實際上是在她還是研究生的時候。科林·亞當斯，非常感謝你今天加入我們。

科林·亞當斯

Adams (2:35)：

哦，來到這里真的很有趣。非常感謝邀請我。

Strogatz (2:38)：

嗯，這對我來說是一種真正的享受，科林，我的意思是，我是你作品的忠實粉絲。我喜歡你關于紐結的書。我從中學到了很多。好吧，那么我試著快速介紹一下紐結和紐結理論，但我很想聽聽你如何向從未聽說過，或除了系鞋帶之外從未想過它們的人，解釋它們？

Adams (2:55)：

好的。在這個數學領域的一大優勢是這樣的：通常如果你在飛機上坐在某人旁邊，他們會說，“你做什么？” 而你是一名數學家，你將很難向他們解釋你所做的事情。但是我有一個巨大的優勢，我可以把我的鞋帶拿下來，可以把它拉起來，我可以在這個鞋帶上打一個紐結，然后把兩個松散的末端粘在一起，然后我可以嘗試研究那個物體并確定它是否真的紐結 - 正如你所描述的那樣，史蒂夫 - 它真的是紐結嗎？或者不是嗎？你能在不切開的情況下解開它嗎？

事實證明，這是一個非常困難的問題。我的意思是，你可以想象有人給你一團亂七八糟的繩子，兩個松散的末端粘在一起。他們問你一個問題，你能解開它嗎？你在接下來的六年里試圖解開它。而六年后，你還沒有成功。但是你仍然不知道再工作五分鐘可能會奏效，對嗎？那么你真的很想擁有一些技術，一些數學技術，可以讓你確定是否會成功。

Strogatz (3:28)：

我們周圍到處都是紐結。你能給我們舉一些其他例子，它們在現實世界中出現嗎？

Adams (4:00)：

好的，我想說，紐結已經存在很長時間了。就實際有用性而言，就科學而言，你給出的一個非常好的例子是 DNA 的例子，其中 DNA 在細胞核內。所有東西都裝在里面——人們將其描述為將 100 公里的釣魚線放入籃球中。那么細胞核里面的DNA是一頭亂麻。然而，它必須能夠進行轉錄、重組；它必須能夠創建自身的副本，然后可以將其與自身分離。事實證明，需要一些酶，正如你提到的，這些酶在細胞核內，這將使酶能夠吸收兩條 DNA 鏈，將一條拉到另一條旁邊，將一條解開，推動通過另一條，然后再次關閉，做出所謂的交叉變化的紐結理論。這種情況一直在我們體內發生，這些酶實際上對 DNA 是這樣的。如果你阻止酶這樣做，那將阻止 DNA 自我重建，這實際上就是當今在化療中使用它的原因。有些化療藥物可以防止酶作用于 DNA 并改變打紐結和解紐結。這就是 DNA 中紐結如何出現的一個例子。

我認為另一個非常有趣的例子是合成化學。在合成化學中，你正在嘗試合成新的分子。想象一下，你有一個由一組原子組成的分子，它們全部紐結在一起，形成一個圓圈。那么這將是一個實際上在分子水平上的平凡紐結的例子。現在想象一下，把那個平凡的紐結剪開，在分子水平上打一個紐結，然后將兩個松散的末端粘在一起。一旦你這樣做了，你就有相同成分的原子以完全相同的順序鍵合。只是現在你有了一個新的物質，一個有紐結的物質，而之前的物質是沒有紐結的。

因此，對于你可以擁有的每一種紐結——其中有無限的數量，但即使是小的交叉數量，也會數以百萬計——這些紐結中的每一個現在都可以成為一種新的物質。合成化學家們對這個想法垂涎三尺。他們正在非常努力地試圖想出在分子水平上打紐結的方法。

Strogatz (6:09)：

這讓我想起了本科的時候。我當時正在上有機化學課程，當時我的父母很熱心讓我成為一名醫學預科生。而我像所有其他醫學預科一樣學習 orgo [有機化學]，作為一個喜歡數學的人，我真的很著迷，我們的教授談到了你所描述的內容。但在當時，這只是假設。當時他們不知道如何通過合成紐結或連接分子，但他說這很有趣。你可以像你說的那樣，可以是一種含有氫和碳的聚合物組合，并且它們可以保持完全相同的原子以相同的排列方式排列，每個原子都具有與以前相同的鄰居。但是你可以制造一個拓撲異構的異構體，因為它有一個紐結。但你知道，那樣會有不同的化學性質嗎？

Adams (6:58)：

是的，一般來說，期望答案是肯定的，它應該具有不同的屬性。而且你知道，你可以讓一個表現得像油，而另一個表現完全不同。那么——有趣的是，海軍實際上資助了很多關于這方面的研究，這真的是因為他們非常有興趣想出可以涂在潛艇上的新物質，以避開雷達。有趣的是，很多錢都是從那里來的。

Strogatz (7:22)：

不開玩笑。

Adams：

為了研究這個，是的。

Strogatz：

就像一種隱身技術。

Adams：

是的。

Strogatz (7:27)：

哇，為隱身（技術）服務的拓撲。呵呵，我沒聽說過。這很酷。

我們開始明白為什么化學或軍隊等領域的人，或者從事化療藥物工作的醫生會關心這類紐結的問題。但為什么它們在數學上如此有趣呢？

Adams（7:46）：

紐結理論是更廣泛的拓撲領域的一個子領域，而拓撲是這樣的一種數學領域，你可以將研究對象視為由橡膠制成。因此，例如，你可以拿一個球體，認為它相當于一個立方體，因為你可以將六個角拉出，并將一個球體轉換為一個立方體，而無需剪切或粘貼。考慮一個甜甜圈的表面，一個圓環等價物（著名的例子是一個咖啡杯），由于你可以使咖啡杯的表面變形，從底部向上推，然后變形直到它看起來像一個甜甜圈的表面。因而這些被認為是相同的。

拓撲學是個非常廣泛的數學領域。紐結理論實際上是它的一個子領域。我們再次將這些紐結視為位于太空中，但它們被視為實際上是橡膠紐結，你可以使它們變形。在理解關于紐結理論的問題時，你實際上是在問一些問題——特定的問題也可以推廣到關于拓撲的問題。

Strogatz (8:50)：

這是一個非常有趣的區別，一個重要的區別，你正在做的，這個想法——數學家喜歡考慮的紐結具有這種理想化的、橡膠狀的性質，它們可以被扭曲并隨心所欲地彎曲、變形和拉伸。實際上，你知道，就像在現實世界中一樣，當人們想到紐結時——比如鞋帶上的紐結。數學家往往會忽略其他方面，例如真正的紐結通常依賴于摩擦。那么也許你是否應該告訴我們，你在作為數學家時思考時會忽略的內容？

Adams (9:24)：

好的，這是一個很好的問題。當你作為數學家思考它們時，紐結很有趣。例如，你正在思考的，如果你認為你的紐結是無限細的，認為它是一個被切開并結成紐結的圓圈。但是那個圓只有一點厚度。因此，當考慮紐結理論時，你實際上正在思考的是一個非常骨感的東西。然后，正如我們之前所說，你要把它切開，在里面打一個紐結，然后把兩端粘在一起。然后你可以隨意變形它，但不能讓它在任何時候通過它自身。這是我們正在使用的規則之一。

我們還有其他一些不太明顯的規則。例如，你不能在里面打個紐結，然后把它拉緊，讓它變得越來越小，直到它變成（原來沒有紐結的樣子），就像你可以在你的鞋帶上一樣，在你的鞋帶上打一個小紐結——你不被允許在紐結理論中做到這一點。避免這種情況的一種方法是你談論它是所謂的分段線性的（piecewise linear）。你可以想象你所有的紐結實際上是由一束小棍子端對端粘在一起來打紐結的，你不能無限制地增加棍子的數量，必須始終保持一個有限的數字。這樣就避免了在你打紐結的圓圈內出現越來越小的紐結的問題。

所以這些是我們關于紐結必須遵守的幾個條件，以便在數學上討論它們。

Strogatz (10:44)：

通過學習紐結理論可以學到哪些數學知識？我在這里尋找的是，它告訴我們關于空間或代數的什么？或者，你知道——通過思考紐結理論得到的數學中的聯系是什么？

Adams（11:00）：

在紐結理論中，有人可能會問你最基本的問題是：他們給你一團亂七八糟的東西，兩端粘在一起，他們說，不切開它就可以解開嗎？這是平凡紐結嗎？因此，你希望能夠判斷一個紐結是否是平凡紐結。

更一般地說，有人給你兩個紐結。你想知道，它們是同一個紐結嗎？它們是同一個紐結，還是不同的紐結？那么這又是另一個基本問題。自 1880 年代以來，人們一直在研究的問題之一是所有紐結的列表，你可以在其中嘗試將所有紐結的清單制作成某種復雜程度的表格。在對紐結進行制表時，我們通過跟蹤交叉的數量并嘗試確定有多少紐結具有一定數量的交叉來對它們進行制表。

我所說的交叉是指如果你給你的紐結拍張照片，然后你看那張照片，紐結有一些地方交叉在自身之上或之下。這些就是我們所謂的交叉（點）。那么我們可以算出有多少種紐結具有三個交叉點，其實只有一種，叫做三葉紐結（trefoil knot）。平凡紐結是唯一具有零交叉的紐結。有1種四交叉紐結，2種五交叉紐結，3種六交叉紐結，7種七交叉紐結，可以繼續算下去。到目前為止，我們已經將所有可能的不超過 19 個交叉點的紐結制成表格，有超過 3 億種紐結。這是人們做的事情之一，他們試圖找出可能性是什么，特別是，給定其中兩個，你如何確定它們是否相同？

(12:33)

現在，為了做到這一點，你創建了這些稱為不變量的量。不變量只是可以與一張紐結的圖片相關聯的量。如果兩張不同的圖片代表同一個紐結，它們應該有相同的不變量。該不變量可以是一個數字；如果在代數中，它可以是一個群；它可能是數學中的其他某種對象，但它是一種區分紐結的方法。

例如，從我獲得博士學位以來，我一直從事的領域之一，是關于紐結的雙曲體積（hyperbolic volume），結果證明這是區分紐結的非常有效的方法。我提到這個的原因是因為，史蒂夫，正如你之前所問的，紐結理論如何與其他數學領域聯系起來？紐結的雙曲體積實際上來自雙曲幾何。那么這是一個幾何不變量。盡管紐結本身是可以變形的物體，而且我認為它們是由橡膠制成的——我使用拓撲這個術語是因為它們是橡膠，它們很容易變形——但事實證明，當你試圖計算雙曲體積時，它是一個與雙曲線紐結相關聯的唯一數字。

因此，例如，有四個交叉點的紐結的雙曲體積為 2.0298……小數點后任意多位。你可以使用該數字來區分紐結。但是為了理解紐結理論的那個領域，你需要了解幾何，需要了解代數，因為與紐結相關聯的群，被稱為基本群（fundamental group），實際上是作為一組雙曲空間的等距實現的，等距是保留距離的映射（保距映射isometry map）。那么你需要了解代數，需要了解一些分析，需要了解一些幾何。它匯集了許多不同的數學領域，所有這些都是為了理解紐結。

Strogatz (14:26)：

那么 invariant（不變量） 可能不是普通英語中最常見的詞，但我們可以把它想象成一個簽名或指紋之類的東西。

Adams (14:33)：

實際上，有一個非常著名的例子，這是一個有趣的故事。早在 1890 年代，當時內布拉斯加州立大學就有一位名叫 C.N. Little的數學家，他試圖將 10 個交叉點的所有紐結制成表格。他列出了這份清單，列出了 166 種 十交叉的清單。然后那個列表我認為它一直存在到 1975 年。

1975年，有一位來自紐約的業余數學家，一位來自紐約的律師，名叫Ken Perko。他正在看紐結表。許多紐結是使用稱為亞歷山大多項式（Alexander polynomial）的不變量來區分的。他注意到其中兩個紐結具有相同的亞歷山大多項式。他用繩子做了一個紐結，然后重新排列。結果和另一個紐結一樣。事實證明，這張表已經錯了 75 年。事實上，這兩個紐結是同一個紐結。那對紐結仍然被稱為 Perko 對，即使它實際上只是同一種紐結，但在表格中，它們被稱為 Perko 對（Perko pair）。

Strogatz (15:40)：

我喜歡 Perko 對的那個例子。我的意思是，這準確地總結了這個主題的數學方面如此微妙和迷人的地方。正如你所說，這個例子可能只是潛伏在 70 年的表中。誰知道有多少只眼睛看過這些并想到，是的，那個紐結看起來和那個紐結不同。他們都有 10 個交叉，但我看不出有什么方法認為它們相同。沒人想到。

當你剛才提到紐結理論與幾何和拓撲中的各種深層問題相關時，我認為現在可能是我們開始討論紐結周圍空間的好時機。對嗎？我的意思是，紐結理論不僅僅是關于圓圈。它可以是一個位于三維空間中的圈。或者在某些情況下，紐結理論家發現思考在四維空間中打紐結的事物很有幫助。那么讓我們談談其中的一些。

Adams (16:34)：

好的，這是一個基本的問題。最初，在紐結理論中，每個人都在考慮在三維空間中的紐結，因為那是我們所有人都生活在其中的自然空間。但是你也可以思考在四維空間中打結的球體，在五維空間中打結的三維球體，在六維空間中打結的四維球體。

那么你可以上升——維度，維度，維度。還可以考慮在四維空間中打結的圓圈。這是一個非常有趣的類別。對于四維空間打結的圓圈，結果證明四維空間打紐結的每個圓都可以解開。那么一旦你上升到四維空間，每個紐結都是一個平凡紐結。我將在四維空間中取一個打結的兩維球面，而不是在四維空間中打結的圓，因為當你上升到四個維度時，所有的紐結理論都會瓦解，因為每個紐結都可以在四維空間中解開。

Strogatz (17:29)：

這個紐結可以在四維中解開的想法，我認為它非常吸引人。如果能給人們一些關于它的直覺，我認為他們會覺得它非常令人難忘，并將它用作雞尾酒會的小把戲。那么，也許你應該說，我們知道如何思考空間的三個維度。但你會怎么想——因為我們無法真正描繪出第四維空間維度——在這個直觀的論證中你的第四維度是什么？

Adams (17:54):

好的，我非常喜歡描述四維空間的一個模型是，我使用所謂的顏色模型。因此，如果你考慮色譜——你知道，紅、橙、黃、綠、藍、靛——我可以想象從四維空間的三維切片集合中創建四維空間，每個切片都有不同的顏色。這將是連續的顏色。那么它會變成：紅色將是一個切片，然后是一點點偏紅的橙色，然后一點點更加偏紅的橙色，漸變成橙色。我將擁有這些連續的切片，每個切片都有獨特的顏色。這是考慮四維空間的一種有利方式，因為你沒有將時間用作你的第四維度。那么你實際上可以在這個空間里四處走動，想象一下住在這個空間里會是什么樣子。

現在。我想問一個問題：可以證明一個紐結實際上可以在四維空間中解開嗎？那么我可以想象在四維空間的綠色切片中的紐結。這是四維空間的三維綠色切片，我的紐結就在那里。然后我要做的就是將我的紐結稍微推入鄰近的黃色，那么它會變成一種綠黃色。但在我的三維綠色空間中，我再也看不到那部分了。它在綠色三維空間中是不存在的。那一小部分只存在于附近的相鄰顏色中。那么在我的綠色空間里，我現在看到了一個被切開的紐結，我可以解開它。我可以在那里解開它，然后我在四維空間里的紐結，完全解開了。從這個意義上說，四維空間中沒有非平凡紐結。

Strogatz (19:32)：

好的，二維空間中沒有打結的圓圈，因為平面上沒有足夠的空間。并且在四維空間中沒有紐結，因為空間太大了。當它們需要穿過自己時，它們可以通過在那個交叉點改變它們的顏色來簡單地解開自己。那么這是一件很棒的事情，如果你上升兩個維度，就像一個圓環是一個一維的東西，就像一根一維的線，你可以通過給出一個數字來說明你在線上的位置，你沿著它走了多遠（當你繞著它走的時候），就像繞了一圈一樣。那么你把這個一維的東西放在三維空間中。這就是紐結發生的地方。但是我們可以把整個東西都提升一下，我們現在可以上升到一個像球體表面這樣的二維物體，但讓它生活在四維。那么二維的東西，再高出兩個維度。你告訴我如果它生活在一個四維空間里，我可以拿一個球體在里面打個結。

Adams（20:35）：

是的。作為一個例子，讓我們看看我是否可以解釋——舉一個你可以如何做到這一點的例子。讓我們回到顏色模型。在顏色模型中，請記住，我們有這些三維切片，每個切片都有不同的顏色，我將嘗試創建一個打結的球體。好的，這就是我要做的事情。我要打一個三葉結，就是那個有三個交叉點的紐結，我要做一個紅色的。然后就在它旁邊，我要一個紅橙色和一個橙色。在所有的（顏色）連續體中，我將擁有所有這些三葉結，……那么在四維空間的每個三維切片中，我將擁有這些三葉結中的一個。但是當我走向光譜的左端，光譜的紅色端時，我要讓它們變得越來越小。當我走出另一端，走向靛藍那端時，我也要讓它們變得越來越小。直到我到達靛藍（這只是一個點）。當我到達紅色時，也只是一個點。

好的。不管你信不信，那個物體實際上是一個球體。因為你可以從一個點的一端開始切割一個球體，然后切開它，你會得到一個小圓圈，然后是一個稍大的和一個更大的圓圈，直到你到達中間點，這是最大的圓圈然后圓圈縮小到一個點。而這一次，所有的圓圈都打紐結了。

Strogatz (21:51)：

天啊，你是我的英雄。我一直在思考紐結。我從來不明白你怎么會有一個在四個維度上打結的球體。但讓我試著說出你剛才所說的話。我想我明白了。這很酷。那么你要打一個三葉結，那是我們的三個交叉的紐結，它看起來像一棵苜蓿葉，除了有點像三葉草之外。

我有這個三葉紐結（trefoil knot）。你想象一個彩虹系列的三葉草葉子從一端的紅色變成另一端的靛藍。我有整個光譜，一整排彩虹般的三葉草并排坐著。然后你說在任一端，將它們縮小，這樣在最末端，紅色的那個幾乎是一個點。靛藍是一個點。現在我有一些你說的東西讓你想起，如果你看著地球，一個普通的球體，開始從北極一直到南極，沿著緯線進行切片——我開始只需剪掉北極，這就是重點。然后隨著我往下走，我得到越來越大的緯度圈。然后我到達赤道，我得到一個大圓圈。

一個球體是由這些組成的——一個點，然后是增大的圓圈，然后是縮小的圓圈，然后是一個點。而你只是用三葉草結做到了這一點。除了它碰巧有紐結，但你說我們不知道它仍然是一個三葉草的球體。

哇。我喜歡你剛才解釋的關于在四個維度上思考打結球體的內容。因為我想和我的下一位客人（麗莎·皮奇里洛）談論的一件事，是她所做的工作，關于一種有 11 個交叉點的紐結，稱為康威紐結，是否是“切片”——這是一個非常有名的紐結理論中長期存在的問題。我的意思是，我應該如何看待切片？

Adams (23:51)：

是的，切片回到了我提到的這個事實，即四維空間中的每個紐結都是平凡的。換句話說，四維空間中的每個紐結都可以變形為平凡紐結，而一旦將其變形為平凡紐結，實際上可以將其變形為平面，即四維空間中的二維平面。那個二維平面界定了一個圓盤。

好！那個紐結界定了一個圓盤。當你第一次看到這個紐結時，在你把它變形為只是坐在平面上的平凡紐結之前，它可能是坐在空間中真正凌亂、丑陋的東西，你甚至無法分辨它實際上是平凡的，但我們知道它是。因此，這個圓盤剛剛彎曲變形，看起來非常丑陋，非常糟糕，但它就在那里。每個紐結都必須在四維空間中界定一個圓盤。

問題是，這個圓盤有多好？當你談論切片時，這確實會發生。因此，特別地，你可能會問這樣一個問題：對于給定的紐結，它是否平滑切片？這意味著，它是否界定了一個光滑的圓盤？光滑的圓盤意味著它非常好，任何地方都沒有紐結，它非常光滑，所有的導數都存在，這就是你正式地說它沒有任何紐結的方式。因此，隨著時間的推移，這是人們提出的關于各種紐結的問題。特別是，有一個紐結，叫做康威紐結，是由約翰·康威（John Conway）在制表時設計的，我想我以前沒說過，但是康威在他上高中的時候，他就開始制表，那時，他們只知道十交叉紐結，而他想出了如何將十一交叉紐結制成表格。

(25:37)

他在看 十一交叉紐結時，偶然發現了這個紐結，這真的很難確定它是否為光滑的切片。那么他要處理這個非常困難的紐結，但讓他感到困難的是，它是另一個紐結的變異體，叫做木下-寺坂紐結（Kinoshita-Terasaka knot）。一個非常有名的紐結，他需要弄清楚這個特殊的紐結，這個新的紐結，是另一個紐結的變異體，是否是光滑切片。而木下-寺坂紐結是光滑的切片。

有趣的是，這兩個紐結居然出現在劍橋數學學院的北門和南門，因為它們是非常有名的紐結，人們對這兩個紐結非常感興趣。

那么他提出了這個問題，當他問這個問題時，這應該是在 1970 年左右，也許是 1974年，你知道，50 年前他問了這個問題，這個紐結是光滑切片嗎？這個紐結（這個美麗、光滑的表面）是否界定了一個四維空間中的圓盤？這個問題在 50 年內一直懸而未決。

Strogatz (26:46)：

哇。科林，這真是太棒了。非常感謝你與我們共度時光。我真的覺得教會了我們很多。

Adams：

哦，謝謝，史蒂夫。和你交談真的很有趣。