當一個球被拋向空中時，根據經典物理學方程，我們可以準確得知，這個球在下落時會沿著什么路徑運動，以及它會在何時、何處落地。但如果同一個球被壓縮到原子大小，甚至更小，它的行為就會超出經典物理學所能預測的范圍。

至少，到目前為止，我們一直是這樣認為的。

如今，一項新發表于《英國皇家學會會刊》的研究表明，日常經典物理學中的某些數學思想，也可以用來描述量子尺度、亞原子尺度上那些常常顯得奇異而反直覺的行為。在這項新的研究中，一個研究團隊證明了，量子物體的運動可以通過應用經典物理學中被稱為“最小作用量”的概念來計算。

從最小作用量到雙縫實驗

最開始，研究人員想要通過開發模型，來描述機器人控制、飛行器控制、神經科學和機器學習等問題中的復雜行為。為了預測這類系統的行為，工程師常常會借助哈密頓-雅可比方程。這是經典力學中的重要表述之一，也與著名的牛頓運動定律密切相關。

哈密頓-雅可比方程本質上把物體的運動表示為：物體會沿著一條使“作用量”達到最小的路徑前沿。舉一個簡單的例子：一個球從A點被拋向B點。從理論上說，這個球可以在兩點之間走出無數條曲折路徑。但這個方程表明，球實際經過的路徑，是那條滿足最小作用量條件的路徑。

在這里，作用量可以理解為把物體在運動過程中每一刻的“動能與勢能之差”不斷累加起來，最后得到的總量。因此，球從A點到B點理論上可以有很多可能路徑，但真正走的那條路徑，是那條讓“動能與勢能之差在整個過程中總體達到最小”的路徑。

研究人員將哈密頓-雅可比方程以及最小作用量原理應用于一系列帶有約束條件的經典力學問題。就在這一過程中，他們意識到，只要進行一些數學擴展，這個方程也可以用來求解量子力學中一個著名的問題：雙縫實驗。

雙縫實驗展示了量子尺度上出現的一種奇異的、非經典的行為。這個實驗的設置是：在一塊金屬擋板上開出兩條狹縫。當單個光子射向這塊擋板時，如果按照經典物理學的預測，光子應當沿著一條路徑，直接穿過其中某一條狹縫，并在擋板另一側形成一個光點。

然而，實際情況卻是不是光點，而是明暗相間的條紋。這種幾乎“扭曲現實”的圖樣，來自一種量子力學現象——一個光子可以同時走過不止一條路徑。在雙縫實驗中，當單個光子射向擋板時，它可以同時穿過兩條狹縫，并沿著兩條路徑傳播；這兩條路徑最終會相互干涉。最終形成的條紋圖樣意味著，光子的這兩條相互干涉的路徑必然具有波的特征。因此，這個實驗證明，量子粒子也可以以一種看似不可思議的方式表現得像波一樣。

自量子力學誕生以來，物理學家一直試圖用日常經典物理學中的工具來解釋雙縫實驗。但他們此前只能近似得到實驗結果。

即便是著名物理學家費曼（Richard Feynman）也認為這項任務無法完成。他認為，要解釋這一現象，就必須把光子理論上可能走過的所有路徑都納入考慮，包括無數條曲折路徑。這樣的處理需要計算無限多條可能的曲折路徑，而這些路徑都與經典物理學中人們預期的平滑路徑相矛盾。

研究人員意識到，正是最后這一點可以被調整。經典物理學假設，一個物體從A點到B點只能走一條路徑；而量子力學則允許一個物體同時走多條路徑、同時處于多種狀態之中。這種基本量子性質被稱為“疊加”。

于是，他們提出，也許可以讓經典物理在數學上接受“多路徑”的概念。這樣一來，描述量子現象時就不必計算無限多條可能路徑，而只需要計算少數幾條滿足最小作用量條件的經典路徑，就能重現量子力學的結果。

帶著這個想法，他們重新審視了哈密頓-雅可比方程，試圖弄清如何調整其中的最小作用量原理，使其能夠預測雙縫實驗和其他量子現象。

用“密度”重寫量子路徑

在這項新研究中，研究團隊加入了經典物理學中的另一個要素——密度。從本質上說，它表示某一條路徑被采用的概率。

研究人員解釋說：“我們是從流體動力學的角度來理解密度的。以雙縫實驗為例，想象你用一根水管朝墻噴水：大部分水會打到中心位置，但也會有一些水滴飛向兩側。中心位置的水流密度較高，就意味著沿著那條路徑找到水滴的概率更高。這里會形成一個分布，而這個分布是可以計算的。”

研究人員對哈密頓-雅可比方程進行了調整，將密度項和多條最小作用量路徑納入其中，并把它應用到雙縫實驗。他們發現，在這種表述下，他們只需考慮分別穿過兩條狹縫的兩條經典路徑，而不需要像費曼的方法那樣處理無限多條曲折路徑。

最終，他們通過計算經典密度和作用量，得到了一個波函數，也就是光子可能采取的最可能路徑分布。這一結果與薛定諤方程的預測完全一致。而薛定諤方程正是描述量子力學行為的核心方程。

這表明，只要以適當方式計算密度，量子力學中的薛定諤方程和經典物理學中的哈密頓-雅可比方程實際上是等價的。這是一個純粹的數學結果，它并不是說量子現象會發生在經典尺度上，而是說我們可以用非常簡單的經典工具來計算量子行為。

一座更堅固的數學橋梁

除了雙縫實驗之外，研究人員還證明，這一經過改寫的方程也可以預測其他量子力學行為，例如量子隧穿。在量子隧穿中，電子等粒子可以穿過能壘，而根據經典物理學，這是不可能發生的。此外，他們還能夠從行星的經典軌道出發，推導出氫原子中電子的精確量子波。最后，他們還從這一視角重新審視了著名的愛因斯坦-波多爾斯基-羅森（EPR）實驗。這個實驗開啟了現代量子糾纏研究。

這些神秘現象過去只能通過量子力學方程來理解，而現在，也能用這種新的經典表述來描述。從本質上說，這項研究在我們熟悉的日常經典物理世界與原子以下尺度的世界之間，建立了一座精確的數學橋梁。

研究人員表示，過去，經典物理和量子物理之間只有一座非常脆弱的橋梁，而且只適用于相對較大的量子粒子。而現在，我們有了一座堅固的橋梁——這是一種可以共同描述量子力學、經典力學和相對論的方法，并且適用于所有尺度。

研究人員設想，物理學家或許可以把這一新公式作為一種簡便方法，用來預測某些量子系統和量子器件的表現。這可能對量子計算產生重要影響，因為在量子計算中，量子比特具有一些物理學家必須近似處理的非線性能量。它也可能幫助我們更好地理解同時涉及量子物理和廣義相對論的問題。

#參考來源：

https://news.mit.edu/2026/new-study-bridges-classical-and-quantum-physics-0421

https://royalsocietypublishing.org/rspa/article/482/2336/20250413/481461/On-computing-quantum-waves-exactly-from-classical

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