隨機動力學讀書會丨第五期：Fokker-Planck 方程（下）

導語

從一維的隨機過程到高維空間中的隨機過程的推廣中，由于空間結構的本質改變，因此增加了很多有趣的性質。 本期讀書會為隨機動力學讀書會第五期，北京工業大學數學統計學與力學學院副研究員諸葛昌靖將在上一講一維 Fokker-Planck 方程的基礎上，繼續介紹多維 Fokker-Planck 方程并簡要匯總梳理前幾次讀書會的理論內容。

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

報告簡介

本次讀書會在上一講基礎上，討論多維 Fokker-Planck 方程及概率流在高維空間中的散度結構和平穩態解存在性等問題。通過引入細致平衡探討對稱性約束，并以此為基礎得到 Onsager 倒易關系等內容。還將介紹描述相空間中軌道動力學的 Kramers 方程。最后，通過單步過程與化學主方程等內容為例展示從概率分布到平均方程等方面的應用。

分享大綱

1. 多維 Fokker-Planck 方程

2. 細致平衡與 Onsager 倒易關系

3. 相空間動力學與 Kramers 方程

4. 單步過程與化學反應動力學

5. 其他應用

核心概念

概念一 多維Fokker-Planck方程

概念：描述高維狀態空間中擴散 Markov 過程概率密度演化的偏微分方程。在數學語境中通常被稱為 Kolmogorov 前向方程。

概念二 細致平衡

概念：細致平衡是平穩 Markov 過程在時間反演下的一種對稱性。即系統的概率流在任何兩個微觀態之間互相抵消。

概念三 Onsager倒易關系

概念：在線性不可逆過程的穩態附近，通量與熱力學驅動的線性耦合矩陣 L 滿足 Lij = εiεj Lji。

性質：該關系可由細致平衡直接推導，證明不同輸運過程的交叉效應受時間反演對稱性約束。

應用：Onsager關系是線性非平衡熱力學的基石，用于解釋熱電效應等交叉輸運現象，并穩固支撐漲落耗散定理，例如Nyquist公式中噪聲強度由耗散元件和溫度唯一確定。

概念四 Kramers方程

定義：Kramers 方程是一種特殊的多維 Fokker-Planck 方程，描述粒子在力場中位置 y 和速度 u 的聯合概率演化。經標度化后其形式為

性質：該方程完整保留了粒子的慣性項和速度弛豫項，屬于欠阻尼動力學。

應用：Kramers 方程是處理勢壘逃逸問題的核心框架，為計算化學反應速率提供微觀動力學基礎，能夠給出Arrhenius 因子及其前因子，廣泛應用于轉移速率的分析。

概念五 化學反應動力學

概念：化學反應隨機性源于分子間偶然碰撞，進而構建描述分子數概率演化的化學主方程。

性質：轉移概率 W 與反應物分子的可能組合方式成正比。在系統規模 Ω 趨于無窮的極限下，離散的隨機主方程會收斂于確定性的宏觀速率方程。

應用：可以將復雜的離散主方程近似為宏觀方程加上線性高斯漲落，即線性噪聲近似，從而定量分析化學系統中的噪聲分布與平穩態性質。

主講人介紹

主講人：諸葛昌靖，北京工業大學數學統計學與力學學院副研究員，清華大學數學博士，研究方向：計算系統生物學。致力于數學與生物醫學的交叉研究，聚焦癌癥的演化機制及放化療、血液病、網絡藥理學及傳染病等復雜生物醫學問題的多尺度動力學建模與分析。

時間信息

2026年5月7日（周四）晚19:30-21:30,騰訊會議線上進行,微信視頻號+集智俱樂部B站號同步直播, 感興趣的朋友掃碼報名加入隨機動力學讀書會后，可進入學員群進行交流。

報名讀書會：「隨機動力學」

本次讀書會由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，通過物理直覺與嚴謹理論的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學知識體系。讀書會將于2026年4月9日起每周四晚上（創建讀書會暫定時間為19:30-21:30）線上開展，持續約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關領域研究者及跨學科興趣者參與。

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