北京
國際象棋所有可能的局面到底有多少種？1950年香農給出過一個公式，但后來發現這個公式忽略了一個關鍵限制——兵不能隨意換列。那么，真實數字到底是多少？我們翻出了一份“特定數字性質”清單，扒出幾個大到離譜的數，順便看看數學家們當年是怎么一邊算一邊給自己挖坑的。
第一個數字：約 1.15868×10?2。它原本是香農在 1950 年論文《Programming a Computer for Playing Chess》中提出的國際象棋局面數，公式是 64!/(32!×8!2×2!?×2?)。思路很直男：32 個棋子隨便擺有 64!/32! 種可能，然后兵不分顏色各除 8!，兩兩相同的車和兩兩相同的馬再各除 2!2，最后象各只有 32 格可選再除 2?。但他忘了，兵不能橫向移動，也不能越過對方兵，除非吃子。吃子越多兵越靈活，可棋子變少，局面總數反而下降。另外兵的升變還會增加組合。約翰·特龍普后來給了個靠譜得多的估計。這數字雖然不準，但好在替后來者開了路，順便成了教科書級的“公式很美觀，現實很骨感”案例。
第二個數字：大概 2.098893665744×10?3，等于 (21??+1)/17。這串 44 位的素數在 1951 年 7 月被費里埃用臺式機械計算器硬生生算了出來，打破了盧卡斯 1876 年創下的最大已知素數紀錄。可惜紀錄壽命短得離譜——同一個月內，米勒和惠勒就找到了更大的素數。這個數字告訴我們，用機械計算器跟用電子計算機打榜，基本上就是拿著算盤去參加 F1，還沒慶祝完就被超了。
第三個數字：約 6.397665×10?3，剛好是 447212。它一出現就自帶《辛普森一家》彩蛋：在《永綠臺的巫師》那集里，這個數被當作費馬大定理的“近似反例”，因為 398712+436512 幾乎等于 447212。當然，費馬大定理早就被懷爾斯證明了，但這個幾乎成立的等式依然能以假亂真。把這種梗塞進動畫片，數學家的幽默感果然很硬核。
第四個數字：3.9305×10??，這是 141×21?1+1，也是形如 n·2?+1 的素數里最小的。這個形式是庫倫在 1905 年研究過的，后來這類數都被稱為庫倫數。這類素數少得可憐，但每出一個都能發論文。數論領域的日常就是：一種形式提出一百年，素數找不著幾個，一旦找到立刻拿來定義新紀錄。
第五個數字：約 8.247925×10??，是米爾頓·格林給出的 BB(8) 下界。BB(n) 是忙碌海貍函數，通俗點說就是圖靈機在限制狀態下能走的最大步數。這個函數增長快過任何可計算函數，連下界都大得嚇人。格林給的這個數只是 BB(8) 的一個保守估計，實際值就更沒法想象了。這種函數的主要作用大概就是讓人直觀理解什么叫“超出計算極限”，順便讓科普作者水出一整篇文章。
最后再送一個更大號的：7.40119×10??，這是四階魔方的可能組合數。公式是 7!×3?×24!×24!/2??。角塊和三階一樣有 7!×3? 種狀態，24 個邊塊可以 24! 全排列，24 個中心塊排列也是 24!，但因為每個面的中心塊都一樣，還得除 2?? 來去重。這個數比三階魔方的 4.3×101? 高了 26 個數量級，拼手速就算練到光速也只能對著這個數字發呆。
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