導語

在量子理論中，這一統一由哈密頓量實現，但其根源并不顯然。已有信息論重建工作從操作性原則出發重建了量子態與測量結構，卻較少解釋動力學及能量角色的來源。本文所述研究在操作概率理論（OPTs）框架下，從信息交換驅動的碰撞圖景出發，引入信息論與對稱性原則，統一推導出可逆動力學的生成機制、能量作為生成元的出現方式，以及量子演化速度極限，從而將“能量—動力學—信息結構”的關系納入同一信息論基礎之中。

關鍵詞：量子理論、信息論重建、碰撞模型、能量觀測量、生成元（generator）、可逆動力學、操作概率理論（operational probabilistic theories, OPTs）、廣義概率理論（generalized probabilistic theories, GPTs）、曼德爾施塔姆—塔姆界（Mandelstam-Tamm bound）

彭晨丨作者

趙思怡丨審校

論文題目：Information-Theoretic Derivation of Energy, Speed Bounds, and Quantum Theory 發表時間：2026年2月10日 論文地址：https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/z8wn-bkvv 論文期刊：Physical Review Letters

為什么“能量”既能被測量，又能推動演化？

在量子理論中，“能量”由哈密頓量表征：作為可觀測量時，其本征值對應實驗可測的能級；作為動力學生成元時，同一個哈密頓量通過薛定諤方程決定量子態的時間演化。因此，哈密頓量同時承擔能量觀測量與時間演化生成機制的雙重角色，這種“觀測量—生成元”的統一構成了量子動力學的基本結構之一。對于熟悉量子力學形式主義的人而言，這一結構幾乎是默認成立的，但其更深層的問題在于：這種統一究竟只是數學形式中的自然結果，還是源自更基本物理或信息論原則的必然涌現？

過去二十多年里，一種重要的研究路線嘗試用信息論公理重建量子理論。其核心思想是：量子力學的形式結構，未必源自某種既定的微觀實在，而可能源于對“信息如何被一致地表示與操作”的基本約束。然而，這類重建工作雖然已經很好地解釋了“量子態和測量規則是什么”，但它們很少解釋系統為什么會按照某種動力學演化，更沒有解釋為什么“能量”會同時扮演可觀測量和演化驅動者的角色。

這項研究的核心價值在于，它不再將量子動力學視為額外假設的演化規則，而是嘗試從一個信息交換的基本圖景出發，并結合若干自然的信息論與對稱性原則，統一推導出量子動力學結構、能量作為生成元的概念，以及量子演化的速度極限等結果。

從“碰撞”出發：

把動力學理解為信息失衡的結果

這項研究的最開始，研究者提出：任意一個目標系統的連續可逆演化，都可以等效地理解為它與一系列環境子系統不斷發生快速、微弱相互作用的結果。這些環境系統彼此獨立，并且都被制備在同一個參考態中。每一次短暫“碰撞”都會使目標系統的狀態發生微小變化；而當單次相互作用足夠短、碰撞頻率足夠高時，大量離散碰撞的累積效應便在連續極限下形成平滑的時間演化。

圖 1. 可逆動力學的碰撞模型。 一個處于初始狀態 ρ 的目標系統，會依次與一系列環境子系統發生短暫相互作用。這些環境系統彼此獨立，并且都被制備在同一個參考態 σ 中。每一次“碰撞”只會引起目標系統狀態的微小變化；而在單次相互作用趨于瞬時、碰撞頻率趨于無限高的連續極限下，這些離散相互作用共同生成連續的可逆動力學。論文進一步要求：系統的任意一種可逆演化，都能夠通過選擇不同的參考態 σ 來實現。

這個想法并不只是一個技術性的碰撞模型，其背后對應著一種更深的物理直覺：動力學本身源于系統與環境之間的信息非平衡。當目標系統的狀態與不斷與之相互作用的環境系統狀態存在差異時，這種信息上的不對稱便會驅動系統發生演化；相反，如果系統與環境已經處于相同狀態，則相互作用不應再引起凈變化，系統將保持動態平衡。

這正是論文第一條核心原則：信息非平衡產生動力學（dynamics from informational nonequilibrium, DIN）的核心思想。研究者要求碰撞模型同時滿足兩個條件：其一，當目標系統與環境處于相同狀態時，相互作用不應引起任何凈變化，即“平衡時靜止”；其二，通過改變環境的參考態 σ 與作用時間，該模型應能夠生成任意可逆動力學，即具有“普適性”。這一看似簡單的要求，實際上賦予了動力學明確的信息論含義：系統的時間演化不再被視為預設的抽象規律，而被理解為系統與環境之間信息非平衡的結果。

在廣義概率理論中搭建統一舞臺

為了避免在推導中預設量子力學結構所帶來的循環論證問題，研究者采用了更一般的操作概率理論（operational probabilistic theories, OPTs）框架。在該框架中，物理理論僅以“制備—變換—測量”等可操作的實驗過程作為基本語言，而不預先引入希爾伯特空間或算符結構。其關鍵優勢在于，它將量子理論從前提中“釋放”出來，使其不再被當作已知結構，而是允許在一個更廣泛的理論空間中，由一般的信息論與操作性原則篩選得到。由此，最終出現的量子結構被解釋為約束下的涌現結果，而非人為設定的起點，從而顯著增強了重建的解釋力與普適性。

在這一框架下，系統、狀態、效應與變換均以操作性方式刻畫，即分別對應實驗中的制備方式、動力學過程與測量結果，而非先驗的數學對象。

其中碰撞模型被嚴格刻畫為：目標系統與一系列輔助系統發生可逆聯合演化，隨后將輔助系統丟棄。通過令單次相互作用時間趨于零、碰撞次數趨于無窮而總演化時間保持有限，可以得到連續時間動力學的有效極限。

研究者進一步證明，在這一極限下，由參考態所確定的碰撞過程必然形成一個李群的一參數子群，從而自然對應某個動力學生成元——即刻畫系統無窮小時間演化方式的算符。換言之，連續可逆動力學并非外加假設，而是由離散信息交換過程在連續極限中涌現而出。

這一結果的關鍵意義在于：生成元不再是預先設定的結構，而是由信息交換機制本身所決定。更進一步，參考態與生成元之間建立起一一對應關系，即不同的環境參考態對應不同的動力學生成方式，從而直接決定系統的時間演化形式。

從“狀態—生成元”到“觀測量—生成元”的跨越

如果說前一步確立了動力學的來源，那么這一階段則進一步揭示了“能量”的出現機制。論文證明，在滿足DIN 原則且系統具有唯一不變態（unique invariant state, UIS）的條件下，參考態與動力學生成元之間存在一一對應關系，即系統的狀態結構內部已經編碼了決定可逆演化的全部生成信息。

然而，研究并未止步于此。關鍵推進來自強自對偶性（strong self-duality）的引入，它將這一“狀態—生成元”的對應關系進一步提升為“觀測量—生成元”的對應關系。也就是說，生成元不僅可以由某些狀態結構表征，還可以對應到具體的可測量物理量，從而使其不再只是抽象的動力學算子，而成為一個可觀測量。論文將這一觀測量識別為能量觀測量（energy observable）。

更進一步，該觀測量在相應動力學下保持守恒，從而同時具備兩種關鍵屬性：既作為時間演化的生成元，又作為隨演化不變的守恒量。至此，量子理論中“能量既是觀測量又是動力學生成元”的雙重角色，不再是形式主義中的人為設定，而被解釋為信息論約束與幾何結構共同決定的必然結果。

四條額外原則，把理論收束到標準量子力學

DIN 原則雖然提供了一種動力學的統一生成機制，但其主要約束在于動力學如何由信息非平衡驅動產生，而未進一步限定狀態空間與觀測結構的幾何與對稱性質。因此，在該原則之下仍然存在多種在動力學層面可實現但并非量子理論的廣義概率理論（generalized probabilistic theories, GPTs）。也正因如此，僅有 DIN 原則仍不足以唯一確定量子理論。

為此，研究者引入量子重建文獻中常見的四條信息論與結構性原則：因果性（causality）、經典可分解性（classical decomposability）、純態保持（purity preservation）以及強對稱性（strong symmetry）。這些原則本質上刻畫了信息處理中的一致性與可逆性約束。

因果性保證操作具有明確的時間方向性，即未來的選擇不會影響當前統計結果，從而確立操作序列的獨立性。經典可分解性要求任意狀態可以表示為一組可完美區分純態的概率混合，從而為信息賦予清晰的經典概率語義基礎。純態保持要求純態在允許的變換下仍映射為純態，從而避免理論結構中引入非物理的統計混合。強對稱性則要求，只要兩組純態具有相同的信息容量，它們之間必然可以通過可逆變換相互連接。

研究表明，這四條原則共同作用，會將一般狀態空間強約束為不可約歐幾里得若爾當代數（irreducible Euclidean Jordan algebra）的結構形式；再結合前文建立的“觀測量—生成元”對偶關系，即可調用既有重建結果，唯一恢復出有限維復量子理論（finite-dimensional complex quantum theory）。

換言之，該框架并非在量子理論內部重新推導能量或動力學結構，而是從更一般的操作與信息論原則出發，將“信息非平衡—碰撞動力學—生成元—能量—量子理論”這一完整鏈條統一納入同一推導路徑之中。

實希爾伯特空間的失效

研究中還有一個值得注意的結論。在復希爾伯特空間框架下，標準量子理論滿足DIN 原則，并且可以顯式構造出同時滿足對稱性、靜止性與普適性的碰撞模型；而在實希爾伯特空間情形下，這一結構不再成立。具體而言，對于實希爾伯特空間，即使施加“平衡時靜止”的約束，其對應的碰撞模型在連續極限下也只能生成平凡動力學，即恒等變換，從而無法實現對一般可逆演化的普適刻畫。

這一對比表明，復數結構并非單純的表示選擇，而是DIN框架下產生非平凡動力學的關鍵條件。換言之，只有在復希爾伯特空間中，信息非平衡驅動的碰撞機制才能在連續極限下生成豐富的可逆時間演化結構；而在實數情形中，該機制會因結構約束而退化。

因此，量子理論采用復數希爾伯特空間這一事實，可能不僅與態空間的數學表示有關，更深層地關聯于動力學能否由信息論原則一致地涌現這一結構性問題。

從能量方差到速度極限：

信息論版本的曼德爾施塔姆—塔姆界

如果一篇量子基礎理論只能說明“能量這一概念可以被重建”，其意義已經相當重要；而在此基礎上，本文進一步觸及量子動力學中的另一個核心問題——演化速度極限。

在該框架中，研究者首先在一般概率理論（OPT/GPT結構）下定義“狀態演化速度”，并以狀態空間中的歐幾里得距離度量演化過程中的變化幅度。在此基礎上，他們證明：系統從初始狀態演化到終態所需的最短時間，其下界由兩類量共同決定——其一是初末狀態之間的幾何距離，其二是生成元對應觀測量的漲落強度，即能量標準差（energy variance）。

這一結果本質上給出了曼德爾施塔姆—塔姆界（Mandelstam–Tamm bound）的信息論形式：它不再依賴希爾伯特空間中的哈密頓量與算符演化結構，而是從碰撞模型、信息幾何以及操作性重建原則中直接導出。進一步地，研究者指出，當限制到兩個可完美區分的純態時，該界與標準量子力學中的曼德爾施塔姆—塔姆界僅相差一個與普朗克常數相關的比例因子。

這一對應關系表明，“能量漲落限制演化速度”并非量子理論中的偶然技術結果，而可能源于更一般的信息結構約束。在這一意義下，能量不僅決定系統的演化方式，同時也從根本上約束了演化的最大速率。

這項研究真正推進了什么？

從學術意義上看，該工作的核心貢獻并不在于提出另一套量子重建公理，而在于將“量子動力學”本身納入信息論重建的中心議題之中。以往的重建研究多聚焦于靜態結構，例如狀態空間結構、測量規則以及純態與混態的刻畫；而本文則進一步追問：若量子理論確實源于信息論原則，那么時間演化、能量概念以及速度極限等動力學內容，是否也可以由同一組信息論原理統一生成？

研究者給出的回答是肯定的，其推導路徑具有清晰的結構鏈條：首先將動力學表示為系統與環境之間的快速碰撞過程，再將其驅動力歸結為信息非平衡；隨后在對稱性、自對偶性以及若爾當代數結構的共同約束下，將動力學生成元提升為可觀測的能量算符，并進一步導出量子理論的標準結構以及相應的速度極限。

該框架最關鍵的特點在于，它并未將“能量”作為預設的基本對象，而是將其作為信息論與幾何約束共同作用下的必然涌現結果，從而在同一結構中統一了動力學生成、守恒量與速度限制之間的關系。

當然，該研究仍處于基礎理論層面，主要討論有限維情形下的操作概率結構，尚未直接進入實驗可檢驗層面。但對于量子基礎研究、信息物理學以及后量子理論的結構探索而言，這一工作提供了一種重要視角：動力學結構本身，或許確實可以被理解為信息結構的必然表達。

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