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尋找更大的梅森素數，就像探尋更大的宇宙一樣，都需要更多的算力資源。

作者：Andrei Mihai（安德烈·米哈伊，科普作家）

HLF海德堡桂冠論壇博客 2026-6-3

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-6-11

求喜歡

2024年10月，人類發現了一個全新的素數。它也是目前已知的最大素數，足足擁有 41024320 位數字。這個數字的表達式為 213?2????1 ? 1，它的特殊之處還不止于此：它并非依靠新公式、新算法或是中央處理器（CPU）運算得出，而是借助圖形處理器（GPU）運算流程成功尋獲。——詳情參閱

這項探索工作由研究員盧克?杜蘭特（Luke Durant）統籌開展，動用了一套橫跨 17 個國家、24 個數據中心區域的全球云超級計算機，依托數千臺高性能 GPU 的并行運算能力完成計算。人們不禁想問：耗費如此精力尋找這個大數，意義究竟何在？

一、何為梅森素數

合數可以排列成規整的矩形，而素數無法做到這一點。

圖源：維基共享資源，公有領域

梅森數的通用形式為 M? = 2? ? 1，其中 p 為整數。數論中有一條基礎定理：若梅森數 M? 是素數，那么底數 p 本身也必然是素數。但反之并不成立 ——p 為素數，無法保證對應的梅森數也一定是素數。

這類具備 2? ? 1 形式的素數，被稱作梅森素數，名稱源自17世紀的法國修士馬林?梅森。他曾對這類數字展開深入研究。梅森學識淵博、涉獵廣泛，其著作《和諧音概論》Harmonie universelle是聲學領域首部具有里程碑意義的研究成果，他提出的梅森定律則闡釋了振動弦的泛音規律。不過在數學家眼中，他最具深遠影響力的成果，還是對素數的研究。

數百年來，梅森素數始終吸引著數學家的目光，因為它與完全數有著直接關聯。所謂完全數，指恰好等于其所有真因數之和的整數。根據歐幾里得 - 歐拉定理，每一個偶完全數都可以寫作 2??1(2? ? 1) 的形式，式中的 2? ? 1 正是梅森素數。

梅森素數備受關注，還有一個關鍵原因：它的素性檢測難度更低。

數學家自古便證明，素數的數量是無窮無盡的。因此我們永遠找不到 “最后一個素數”，只能不斷刷新已知最大素數的紀錄。但當數字達到極大規模時，判斷其是否為素數會變得異常困難。

在實際研究中，學者們會優先挑選適配現代計算體系的數字開展檢測，這也是為何歷屆最大素數紀錄幾乎都由梅森素數包攬 —— 盡管梅森素數本身十分稀少，但我們可以借助盧卡斯-萊默檢驗法（Lucas-Lehmer test）這類高效手段完成驗證。還有不少數值更小的素數遲遲未被發現，只因針對它們的檢測算法效率低下。

針對梅森素數的盧卡斯-萊默檢驗法思路巧妙：從一個固定數值開始，反復執行平方與取余運算，經過多輪計算后，就能判定該數是否為素數。這是一種確定性檢驗算法，針對性極強，運算速度遠快于其他通用素數檢測算法。

計算機基于二進制運行，對 2? ? 1 做取模運算時，只需通過移位和加法就能實現，無需消耗更多算力的除法運算。取模運算，就是用一個大數除以另一個數后取余數。在盧卡斯-萊默檢驗過程中，計算機會不斷生成海量中間數值，若完整存儲所有數位，運算效率會大打折扣。因此每一步運算結束后，程序都會通過取模，將數值縮減至合理范圍。

而此次發現新素數的真正突破，并非只是找到了一個更大的素數，而是證明了這類數學問題的運算邏輯，終于與現代 GPU 的硬件架構完美契合。

二、GPU成為算力主力

長久以來，中央處理器（CPU）一直是素數搜尋工作的核心工具。這并非因為 CPU 是這項任務的最優選擇，而是它的普及度最高，也讓 “互聯網梅森素數大搜索”（GIMPS）這類全球協作項目得以落地，方便各地愛好者共同參與。

互聯網梅森素數大搜索項目由計算機科學家喬治?沃爾特曼（George Woltman）于1996年發起，是全球最早的分布式協同計算項目之一。迄今為止，該項目已成功發現 18 個梅森素數，其中 16 個在被發現時，都刷新了當時的最大素數紀錄。

拋開其他因素，GPU 其實更適配素數搜尋工作，因為它內置了數千個專用運算核心。普通消費級 GPU 一般配備 16 至 32 個核心，而英偉達 A100 這類數據中心專用 GPU，擁有多達 6912 個 CUDA 核心，可同時對海量數據進行并行處理。但在此之前，GPU 一直缺少關鍵配套：專為 GPU 設計的專屬算法。

轉機出現在 2017 年，軟件工程師米哈伊?普雷達（Mihai Preda）開發出了 gpuOwl 算法 https://github.com/preda/gpuowl/ 。彼時，GPU 與數據中心還未迎來行業熱潮，但普雷達已經意識到，現代 GPU 不斷提升的浮點運算能力與內存帶寬，完全能夠承接互聯網梅森素數大搜索中的高強度計算任務。

依托這套算法，都柏林的一處數據中心在 2024 年 10 月率先借助費馬概率素數檢測法（PRP 檢測），篩查出了疑似新梅森素數 M?????????。次日，美國圣安東尼奧的另一處數據中心，便用盧卡斯 - 萊默檢驗法完成了最終確認。

整個項目由前英偉達工程師、研究員盧克?杜蘭特統籌。他搭建的 “云超級計算機” 覆蓋全球 17 個國家的 24 個區域，相當于打造了一座虛擬的全球實驗室。這也是互聯網梅森素數大搜索項目中，首個依靠概率性檢測（PRP 檢測）、而非傳統確定性盧卡斯 - 萊默檢驗法發現的梅森素數。

這項成果固然亮眼，但人們依舊心存疑問：如此大費周章搜尋巨型素數，究竟意義何在？

三、對密碼學的實際影響

大眾常會將超大素數與加密技術聯系在一起，但這個新發現的梅森素數，并不會直接提升現有數字加密體系的安全性。

現代加密系統確實會用到大素數，但所用素數的位數遠低于它，通常僅為 300 至 600 位十進制數。如果使用這個 4100 萬位的超大素數，運算成本會高到完全無法落地。此外，該素數現已完全公開，絕不能用作加密密鑰。像 RSA 這類主流加密算法，安全核心依賴于 “將一個大數拆解為兩個保密素因數” 的運算難度，公開的素數自然毫無保密性可言。

不過，搜尋更大素數的工作，依然會從理論和技術層面，為未來密碼學發展提供重要支撐。

搜尋梅森素數所用到的快速傅里葉變換（FFT）乘法等技術 https://www.aimath.org/news/congruentnumbers/howtomultiply.html ，同樣也是整數因數分解的核心技術。不斷突破這類算法的運算極限，能讓數學家更清晰地摸清現有加密體系的安全邊界。素數探索在持續優化算法、測試算力上限、深挖大數運算潛能的過程中，為密碼學研究積累了寶貴經驗。

這次發現也標志著，“搜尋大素數” 這件事的運作模式發生了轉變。過去，互聯網梅森素數大搜索是全民參與的草根項目，無數普通用戶自愿貢獻個人電腦硬件與電力資源。而盧克?杜蘭特的這次探索，是一次目的性極強的商業算力投入。據了解，杜蘭特自掏腰包 https://www.washingtonpost.com/science/2024/10/23/nvidia-prime-mersenne-gpu-cloud/ ，花費約 200 萬美元租用云端 GPU 資源，整個搜尋周期恰好持續了一年。

互聯網梅森素數大搜索項目會為新發現的梅森素數頒發 3000 美元的科研發現獎金，杜蘭特表示，這筆獎金將捐贈給阿拉巴馬數理科學學校。雖然針對重大里程碑的獎金數額更高，但和大規模搜尋所需的基礎設施成本相比，依舊杯水車薪。

追尋更大素數的過程，就像是對當代計算工具的極限壓力測試。即便這個巨型素數當下不會用于銀行加密等場景，但發現它的整套流程，驗證了GPU 驅動型科研探索這一全新模式的可行性。從歷史維度來看，這項成果也搭建起一座橋梁：一端是 17 世紀那位博學修士的數學猜想，另一端則是 21 世紀依靠芯片硬件不斷拓展數學邊界的現實。

歸根結底，人類執著于探尋這些巨型數字，更多是源于與生俱來的好奇心。我們并非為了增添一份冰冷的數據記錄，而是想借此探索未知的世界。素數無窮無盡，人類的求知欲亦是如此。

參考資料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/mersenne-primes-gpus-and-a-number-with-41-million-digits/

https://www.mersenne.org

https://www.mersenne.org/primes/

https://zzllrr.github.io/mather/wiki.html?q=Concept/Number/Prime/Prime%20Mersenne%20Number

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