《數學的雨傘下：理解世界的樂趣》這本書是法國巴黎高等師范學院概率學博士米卡埃爾·洛奈的著作，全書沒有用一個公式，卻講清楚了數學思維到底是什么。

一上市，就受到了科普圈的熱烈追捧，更是獲得了第十九屆文津圖書獎科普類提名圖書、2023年度《環球科學》·最美科學閱讀榜單、清華大學閱讀推薦等，被讀者稱為“讀過的最絲滑數學科普書，沒有之一”。

同時這本書也受到了讀者的廣泛喜愛，豆瓣上9.0的高分，微信讀書上也是好評如潮。

如果你不愿意讀復雜繁瑣的數學公式，卻又希望領略數學的樂趣，那么這本書就是最好的選擇。

《數學的雨傘下：理解世界的樂趣》

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

如果你有一臺舊計算機，它因為多年的頻繁使用而變得破舊，那么你可能會注意到鍵盤上鍵帽的破舊程度并不完全相同。E 鍵和空格鍵通常老化得更厲害，不像 $ 鍵或 ù 鍵，經過多年的使用之后看起來依然很新。

這一點兒也不奇怪。有些鍵是最常用的鍵，對應法語中最常出現的字母。在一份沒有特殊風格的普通文本中，E 占去了所用字母中的15.87%，約為僅占 0.24% 的字母 Y 的 66 倍。我們可以在售賣備用部件的網店買到單個的替換鍵帽。你會毫不意外地看到，銷售量最高的替換鍵帽是 E 鍵，A 鍵和 N 鍵緊隨其后。

這種使用不均的現象存在于不同的領域之中。彈吉他的人會看到，琴弦因自己彈奏曲目中和弦使用頻率的高低而出現不同程度的磨損。通往較高樓層的電梯按鈕通常會磨損得更厲害，因為一樓或二樓的住戶會更常選擇走樓梯。絕大多數四色圓珠筆在被丟棄的時候，綠色和紅色的筆芯仍然是滿的——藍色和黑色最先用完。

出于同一效應，過去幾個世紀的科學家發現，他們所用對數表的最前面幾頁，無一例外要比最后幾頁磨損得更快。換言之，以 1、2 或 3開頭的數被查找的頻率要高于以 7、8 或 9 開頭的數，而科學家們對小的數并沒有任何有意識的偏好，這就好像是大自然親自在給予科學家去研究的數中造就了這種不平衡。

這一觀察結果本該引起科學家的注意，但很可惜，他們中的大多數人并不認為這種現象值得研究。倘若不去尋找顯而易見之事，人們就會很容易看不到它。在三個世紀里，本福特定律實際上就擺在世界各地科學家們的眼前，但沒有一個人看到它。

直到 19 世紀末，一只羞怯的手才開始揭開這張神秘的面紗。1881 年 12 月，加拿大裔美國天文學家和數學家西蒙·紐科姆（Simon Newcomb）發表了一篇題為《關于不同數字在自然數中使用頻率的記錄》（“Note on the Frequency of Use of the Differents Digits inNatural Numbers”）的文章。這篇發表在《美國數學雜志》（AmericanJournal Of Mathematics）上的文章只有短短兩頁。紐科姆注意到他所用對數表頁面磨損程度的不均，于是出于好奇提出了前幾個數的分布問題，并用幾行字做出了解答。

可惜的是，他的發現幾乎無人問津。

必須承認，這種現象背后的數學原理非常簡單，而且不太值得專家的關注。然而，重要的不是計算，而是這些計算告訴我們的有關這個世界的信息。1881 年，似乎沒人意識到，西蒙·紐科姆的發現如同把聚光燈照在宇宙背后轉動的一個巨大齒輪上。直到五十多年后，弗蘭克·本福特才意識到這一發現的博大之處，并為它撰寫了一篇二十來頁的文章。

盡管篇幅很短，但紐科姆的文章很有啟發性，值得我們為它停留片刻。文章的結論很簡單：世間的數是均勻分布的，而且是從乘法角度來看的均勻分布！

因此，在一張源自任意一種自然現象的數據列表中，介于 1 和 2 之間的數會和介于 2 和 4 之間以及介于 4 和 8 之間的數一樣多（圖 1.22）。這種現象僅僅是因為數與數的距離在乘法上是相等的，即從一個數到其 2 倍的數的區間。自然而然地，以 1 或 2 開頭的數就會比以 7、8或 9 開頭的數要多。

顯然，如果數中的首位數字看起來分布不均，那是因為我們沒有去看應該看的信息：均勻分布的是這些數的對數。看看你在超市里記錄的價格清單、太陽系行星的直徑，或是世界上河流的長度，然后找到它們的對數。你會發現以 1、2、3、4、5、6、7、8 或 9 開頭的數同樣多。納皮爾的對數成功地轉換了數的乘法分布，并將這種規律引入加法之中。

基于這一觀察結果，西蒙·紐科姆計算出首位數字應當具有的理論分布。幸甚，幸甚！這種理論分布與弗蘭克·本福特在五十年后發現的真實分布奇跡般地吻合了（圖 1.23）。在理論與具體實驗的結果相符時，科學家會感到異常高興。現在我們可以確信自己清楚地了解了發生的事情。

只剩下最后一個問題了。是的，這個世界青睞乘法，但為什么？為什么現實似乎在所有的情況下都偏愛這種分布呢？同樣地，答案并不存在于大自然中，而是存在于人類對大自然的觀察偏差之中。鑒于本福特定律所具有的普遍性，它沒有任何理由要取決于我們看待它的方式。

例如，法國的地理學家以公里為單位丈量河流，而英國的地理學家則以英里為單位丈量河流。因此，根據你的所在地是位于英吉利海峽的這一邊還是那一邊，尼羅河的長度要么是 6650 公里（以 6 開頭），要么是 4130 英里（以 4 開頭）。而世界上所有的河流，其長度的首位數字都會根據所采用的計量單位是法式的還是英式的而發生改變。有人可能會認為，這種計量單位的改變會顛覆首位數字的整體分布，讓英國學者使用對數表的方式不同于法國學者的使用方式。但情況并非如此。公里和英里都是人類的發明，而大自然并不在乎我們使用哪種計量單位去測量它。從法國或英國的角度去看，每一條被分別丈量的河流，其長度不會有相同的首位數字，但如果我們制定出世界上河流長度的完整列表，則首位數字的總體分布應當會保持不變。

換言之，本福特定律應該是不變的。就像美索不達米亞式乘法的結果，就算沒有零和小數點也依然會保持不變；就像字母 E 在一個足夠長的文本中所占的比例始終會是大約 15%，無論文本的內容為何。無論我們使用什么方法去測量自然和收集數據，首位數字的分布都會保持不變。

如果你打算在世界不同國家的超市里進行統計的話，你會發現，本福特定律不會在乎你是以歐元、人民幣、美元還是第納爾來計算。無論使用哪種貨幣，這條定律都不會發生變化。

計量單位的改變，無論是把公里轉換成英里，還是把歐元轉換成第納爾，或是其他的單位轉換，都是一種乘法。一條河流的長度是另一條河流的兩倍，無論采用哪種計量單位，這個長度的兩倍都不會改變。一種價格比其他產品貴三倍的奶酪，無論使用哪種貨幣，它的價格始終都貴三倍。計量單位改變了，乘法的差距不變。因此，在任意數據列表中，我們都會發現介于 1 和 2、2 和 4 或 4 和 8 之間的數比例是相同的。所以，我們需要關注的是這種乘法的差距。

這就是為什么世界是乘法的。這就是為什么對數標度如此適切。這就是為什么我們的數字系統會不斷誤導我們的直覺。而這也是為什么本福特定律會是真實、美麗而又放之四海皆準的。

在隨后的幾年中，本福特定律在各處都得到了具體的應用。

美國經濟學家哈爾·瓦里安（Hal Varian）在 1972 年提出用本福特定律來檢測舞弊。原理很簡單：當舞弊者把一份數據列表篡改成利于自己的時候，他們會露出馬腳。也就是說，他們偽造的數據會有不同的首位數字分布。尤其是，偽造的數據會更頻繁地以 5 或 6 開頭，這與本福特定律不符。這或許是因為舞弊者傾向于認為，相較于以 1 或 9開頭的數，一個中等大小的數看起來不會那么可疑，或是更正常。盡管如此，這種偏差仍會導致首位數字中的 5 和 6 遠遠多于應有的數量。這種偏差的幅度可以用來估算潛在舞弊者的數量。例如，這種方法被用來追蹤稅務申報中的統計異常，或發現選舉時操縱選票的行為。但我們必須承認：如果排除幾種不同的應用，本福特定律在我們的日常生活中并沒有重大的影響。知道超市貨品的價格遵循這一定律很有趣，但其實沒有太大用處；知道各國的人口、世界上的河流或天空中的天體都遵循這一定律，也沒有太大用處。“沒用處”究竟是好是壞，由你來定奪。

但是，我們因好奇而踏足的這條道路上充滿了驚喜。當然了，出于純粹的智力挑戰，出于體驗數學的形式之美，出于讓我們的思維變得多姿多彩，不帶任何期待地去理解一件事，未必不會讓人獲得極大的滿足。然而，即便是最無用的事情，有時也會暗藏意料之外的寶藏。可不要低估了這些定理。

或許有一天，在你完全沒有想到的那一刻，“有用之處”會不期而至。它們會像成熟而甜美的果實那樣，自然而然地落入你的手中。

作者：[法] 米卡埃爾?洛奈（Micka?l Launay）

譯者：歐瑜

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