別迷信：錢學森數學厲害嗎？不！一點都不厲害！就是一般水平！

實話實說，人得有清醒的自我認知，要不然會飄。這是今天討論問題的前提。

W君一直覺得頭條這邊的粉絲關心的話題是軍事、國際形勢以及生活中的那些屎尿屁。前陣子頭條的認證規則變了，W君從軍事領域轉到科學領域，最近寫文章也就盡量脫離開一些軍事內容，想給大家講講批在軍事外衣下的科技和狠活。但始料不及的是最近發現一篇講數學的文章大家的回復和關注度超級高。甚至有人這樣回復，已經開始讓W君推薦數學的入門書了。

第一、真心高興，大家能對數學有興趣；第二、就是有點慚愧了。慚愧就在于W君自己也不是什么數學家，只是日常的工作中經常拿著別人寫好的公式當作工具來用罷了。這和建筑工地上的農民工并沒有什么分別，只不過他們拿著的是別人發明的鐵鍬和風鎬，而W君用的是別人總結出的公式。

恰巧，最近關于錢老的一個言論又成了新聞熱點，錢老說“人再笨，還能學不會微積分嗎？”

有人就回復“錢老還是被保護的太好了，很少接觸我們這些沒進化完全的猴子”。

其實，如果你在工作中經常用到數學，你會覺得錢老這句話一點都不為過。

這句話相當于成吉思汗討論騎馬射箭，他也會說“人再笨還能學不會騎射嗎？”，放在一般的草原牧民的視角這句話一點毛病都沒有，就是完全絕對正確的。但放在當時中原農耕百姓的眼里大多數人別說騎馬射箭，敢騎牛而不摔下來的都是少數。

在騎射這件事上，草原人與中原人的差距并不是天生的，而是環境與文化使然。草原上的孩子從小就跟著父輩騎馬放牧，日常飲食、生計乃至榮譽都與騎射緊密相連，它幾乎是生存的“常識”。而中原農耕社會以土地為中心，牛是耕地的工具而非坐騎，百姓從小缺乏接觸騎馬的機會，更別說邊騎邊射了。草原人視之為日用之學，中原人則覺得是危險的專門技能。

換句話說，中原漢人騎馬不行，原因在于摔下馬的次數太少，而一個草原牧民小孩成年前摔下馬的次數恐怕要比中原一個村子的人落馬的總數還要多。

所以，如果成吉思汗當年和治下的中原人說14歲就應該學會騎馬，那么中原百姓大抵會這樣回復“大汗自幼馳騁于馬上，弓矢如臂使指，自是天經地義之事。然我等農家子，生來伏牛執犁，能不被牛角頂翻已屬僥幸。大汗言人人可習騎射，此誠至理，然于吾輩，猶若未脫毛之猿猴，未嘗進化，豈敢與大草原子弟同日而語。”

這和今天許多人看待微積分如出一轍：對科研工作者而言，它不過是日常工具；可在缺乏數學語境的教育環境里，微積分就像騎射之于中原人，看似高不可攀，實則只是環境不同所造成的隔閡。

老實講，大多數普通人的生活里，數學毛用沒有。買菜靠四則運算，做賬靠Excel，手機上自帶計算器，算法的邏輯也被APP封裝得干干凈凈。換句話說，哪怕你一輩子不懂微積分只懂得算術也沒問題，該吃吃、該喝喝，人生一樣能過下去。

正因如此，很多人一聽“微積分”就條件反射：這玩意兒跟我八竿子打不著。而再把視角轉回錢學森，你會發現他在科學界的“牛逼”，其實并不是像愛因斯坦那樣提出震驚世界的理論，而是站在一個需要工程落地的體系里，把微積分、控制論、空氣動力學這些現成的工具用得很熟練。

畢竟，錢老在1934年畢業于交通大學、后赴美在麻省理工大學、加州理工學院深造，從1936年開始師從航天泰斗馮·卡門，在1939年，獲得加州理工學院航空學和數學博士學位。這里有一個咱們國內很多自媒體沒弄明白的事情，很多人認為錢老在1939年6月9日同時獲得了了航空學博士和數學博士兩個學位，其實錢老所獲得的學位是一個工學博士（Doctor of Philosophy inaeronautics and mathematics）其中航空學和數學是并列在一起的。

這個學科是一個結合了航空航天工程和數學領域的專業博士學位，通常專注于航空航天領域的研究和高級問題解決。主要是學會利用數學建模和分析來應對空氣動力學、推進和航空航天結構等領域的各種挑戰和問題。

不過錢老的這個博士證書的含金量就比普通的博士證書高多了，注意Doctor of Philosophy下的一行小字“Magna Cum Laude（拉丁文：極優等成績）”。這個位置一般會有四個情況，不標記、“Cum Laude”優等成績、“Magna Cum Laude”極優等成績和“Summa Cum Laude”最優等成績。不過W君查過加州理工學院的記錄的，至今“最優等”這個榮譽還沒有發出來過。即便是Magna Cum Laude也是鳳毛麟角——這才是錢老在加州理工拿博士學位最值得夸耀的地方。以至于后期錢老和馮·卡門搞出來的錢·卡門定律（rule），到現在還在NASA的各種計算和驗證中不停的在使用，且沒有更好的替代。

不過，就數學本身而言，錢老就是一般水平了。這并不是貶低錢老的成就，而是一個實事求是的事情。你要理解一個很重要的個事情——貝多芬是偉大的鋼琴家，但不一定會造鋼琴。也像我們一樣，我們都會用電腦，但不一定都會造電腦，所以，我們都是“計算機用戶”。錢老實際上是一名“數學用戶”，數學在他的工作中就是一個已經被熟練使用的工具，騎馬射箭而已。在數學領域上并沒有錢學森定理和錢學森猜想，甚至可以毫不客氣的說，錢學森在數學上的建樹為零。當然了，這并不妨礙他的工程學地位也并不妨礙他的《工程控制論》成為封神之作。

所以說，在錢老談微積分的時候，我們大多少人真的沒必要妄自菲薄菲薄把自己比成猴子。

其實前面鋪墊這么多，咱還沒進入正題呢，就是為了勾起大家的好奇心，讓大家對后面的內容哪怕感一點興趣，W君也就覺得寫了2000多個字的鋪墊值得了。

錢老說“人再笨，還能學不會微積分嗎？”這話W君是同意的，今天也想用后面的一兩千字給大家聊聊怎么入門微積分——好了，正片開啟：

一、極限：

微積分的門檻，叫“極限”。聽著高大上，其實它回答的問題特別樸素：一個東西越來越接近某個點時，它到底會靠到哪兒去？

打個比方，你端著一杯熱水放在桌子上，溫度會從 90℃ 慢慢降到室溫 25℃。你可以問：這水最后會變成幾度？答案顯然是 25℃。這就是一個“極限問題”：時間無限延長，水溫無限接近 25℃，這 25℃就是它的極限。

再換個更形象的例子：想象你追一只小貓，每次快追上時它又往前蹦一小步。你可能永遠追不上，但你們之間的距離會越來越小——小到最后無限接近 0。雖然“0”這個瞬間在現實里可能永遠不會發生，但數學告訴你：它就是這個過程的極限。

所以，極限的精髓就是：看清變化的終點趨勢，而不是糾結于過程里的一次次波動。在數學上“極限”的意義在于讓“瞬間”和“連續”變得可描述，同時是可以依據極限來定性的。

例如，肉包子是我們常見的食物，如果我們觀察餡，當“餡”趨近于沒有的時候以及當餡趨近于無窮的時候，我們會發現下面兩個極限關系。

但我們還可以擴展更多的觀察點，例如形狀。這時候我們就會發現下面的公式：

于是，一個簡單的“包子”，在不同極限下就能演化出饅頭、烙餅、丸子、肉餅、甚至面條。

這其實就是“極限”的精髓：我們不需要一步步去做飯，只要抓住變量的趨勢，就能知道最終會得到什么菜。 數學家是用這種思維，把復雜無比的物理過程、經濟模型、工程系統變得可以分析和預測。

——看你是不是不太笨？其實理解到這一步，就已經比當年被“極限”嚇跑的中學同桌強多了。

二、導數

在數學里，往往會把導數被定義成一個極限。

在微積分里，導數回答的是這樣一個問題：某個量在某一瞬間究竟是怎么變化的。你看這張圖，藍色的曲線代表一個過程，它可以是汽車的行駛路程、股票的價格，甚至是你往包子里塞餡的數量。現在我們關心的，是在某個點 x?，它的變化趨勢到底是什么。

紫色的線段叫“割線”，它連著兩個點，表示的是平均變化率。比如說，汽車 1 小時跑了 60 公里，平均速度就是 60 公里每小時。但你真正開車的時候，不可能每一秒都剛好 60，有時候快一點，有時候慢一點。所以，更關鍵的問題是：在某一瞬間，速度是多少？

這就需要“切線”。紅色的直線就是曲線在 x? 點的切線，它完美貼合曲線，斜率就是這一瞬間的變化率，也就是導數。數學上寫作：

生活里，導數就是車速表上的即時讀數，是股價此刻的漲跌，是你手上這勺肉餡落放到包子皮里那一瞬間的“肉量”。它不關心你過去或未來的波動，而是精準刻畫“此刻”。

例如人在走路的時候需要抬起左腿、扭胯、放下左腿、抬起右腿、扭胯、放下右腿、再抬起左腿……這樣才能向前行走。如果我們考慮人的步幅度停頓那么我們精確的建立時間（橫軸）和步幅換算成移動距離（縱軸）的圖形就是這樣的：

它遵從了下面的公式

單步內速度：

單步累計位移（從該步起點算）：

整段位移s(t)（把前 N 步與當前步相加）：

這樣，一來s(t) 就是如果這個人行走t秒后的位移。說白話也就是一段時間內人走出的距離。

如果我們求導數，對 t 求導

最終你會發現

于是你就可以得到了v（速度），那么如果按照v來看這個鋸齒形的速度表，你會發現圖片就成了這樣：

這是啥呢？移動距離=時間 X 速度，速度單位是啥？米/秒！看坐標軸，橫軸是秒縱軸是米，很明顯速度在這個案例中就是一個斜率。

3、微分

在上一步我們說：速度 v(t) = 位移 s(t) 的導數。換句話說：

這就是微分的原型。

這句話背后的意思特別樸素：人在走路時，30 秒走了 45 米，你算出來的平均速度是 1.5 米每秒。但現實里你哪有“平均速度”這個東西？腳剛抬起來那一瞬間速度幾乎是 0，邁出去一半時速度達到最大，落地的時候又慢下來了。所以真正有意義的不是平均速度，而是某一秒、某一個瞬間的速度是多少。數學家把這個問題寫成極限，就得到了導數。而一旦我們把這個瞬時速度和極小的時間段結合起來，就有了“微分”。微分的意思是：在一個極小的時間間隔 dt 里，你走出去的那一小段路程叫做 ds，它等于速度乘以時間，也就是 ds = v(t)\\,dt。你可以把整條路程想象成無數個微小的 ds 一點點拼出來的結果，就像一段流暢的動作其實由一幀幀畫面連起來一樣。微分做的事情，就是把這些“無限小的片段”刻畫出來，讓變化可以被追蹤、被計算。

4、積分

說完了微分，我們自然就會遇到它的“孿生兄弟”——積分。微分是把一個過程拆開看，盯住那一瞬間的變化；積分則恰好相反，它是把無數個瞬間再拼接回去，重新得到整體。還記得剛才我們說的 ds = v(t)\\,dt 嗎？這玩意兒如果只看一瞬間，沒啥意義，可一旦我們把所有時刻的 ds 都加起來，從 t=0 到 t=T，它就成了一段時間里的總路程：

這就是積分的本質：把“局部”拼成“整體”。想象你走路，每一步的快慢不一樣，停頓、加速、減速交替出現，單看某一瞬間的速度你只知道當下，但只有把所有瞬間的變化都累積起來，你才知道最終走了多遠。換句話說，積分就是幫你“結賬”的那只算盤——你在時間軸上留下的每一筆運動痕跡，它都老老實實地加進去，最后告訴你一個總數。

生活里這事兒到處都是：水龍頭滴水，每一秒滴幾毫升，單看瞬間沒啥，但積個一晚上，盆就滿了；股票價格漲漲跌跌，每分鐘的波動誰也說不清，可把面積加起來，你就能算出一整天的成交量。積分做的事，說白了就是“把細節還原成全貌”。

如果不笨的話，到此大家就應該知道極限、導數、微分、積分的基本概念了，剩下的怎么算其實都是相當工具化的數學方法論，這些數學方法并不比在工地上掄大錘復雜。

但到這里，很多人會覺得微積分似乎對我們沒有任何用處，如果你有這種感覺，你覺得對其實也不對。

牛頓之所以被后人奉為大神，不光是因為他看蘋果掉下來想到了萬有引力，而是因為他手里有了微積分這把鑰匙。你想想，如果只會代數，他能算出行星軌道嗎？能描述出加速度、力和運動的關系嗎？所以他干脆自己把微積分發明了出來，用它去刻畫運動和力的連續變化。

例如F = ma，這個公式怎么來的？其實就是牛頓用用微積分一路“算”出來！

在這個過程中，牛頓先觀測沖量—動量關系：對物體作用一段時間的力，其“時間累積量”叫沖量。

量碰撞與拉壓實驗告訴我們：這個沖量正好等于動量變化 Δp。把極限放到瞬間，就得到連續形式

這一步已經把力學塞進了微積分：力是動量關于時間的導數。若質量恒定動量 p=mv，于是：

換句話說，力等于“速度的一階導數再乘質量”，也等于“位置的二階導數乘質量”。

在生活中F = ma大家耳熟能詳的一個公式對吧，其實就是一個微積分計算之后的簡化結果。

我們看到海面上的冰山就是“F = ma”，而它的微積分推導過程其實才是F = ma這個公式展開后的全貌。

大多數人覺得自己跟微積分沒半點關系，說白了，是因為我們日常生活只碰到冰山露出水面的那一角——能用算術解決的問題已經綽綽有余了。買菜算錢、工資報表、手機分期，這些四則運算足夠讓日子過下去�？烧嬉穯栆痪洌哼@些計算的依據從哪兒來？這些事物背后有沒有一套完整的數學模型？答案就指向了水下那片龐大的冰山——微積分。它并不高冷，相反，它就是那個能把零碎經驗變成規律、把復雜現象抽絲剝繭的工具。但是，這個工具僅僅限于兩種人接觸，第一是真心喜歡數學和對數學感興趣的人，第二就是類似于W君這樣不得不用這些東西做工作中的工具的人。

只不過，真正用起來，掌握了使用方法你不會覺得微積分有多難。所以錢老說“人再笨，還能學不會微積分嗎？”這話說得是完全正確的，錢老本人在數學界并不是牛頓、萊布尼茨、黎曼、希爾伯那種能在數學領域開天辟地的人物，他的水平——嚴格講——也就是“用得熟”。他的厲害之處不在數學本身，而在于能把微積分這門工具玩得爐火純青，用來解決空氣動力學、控制論、航天工程中的實際問題。換句話說，錢老是個頂級“數學用戶”，而不是數學的創造者。

當然了，前面還有粉絲回復要推薦幾本數學書。W給出的推薦書單是：

沒有數學基礎的人（99%的普通人）先從《數學的故事》看起，看看你能不能喜歡上數學。

然后對數學有點興趣之后去看《什么是數學》

這本書的唯一看點是——讓你真正理解為什么數學不是“算數”這么簡單。

然后，你就可以去看《微積分入門》這類的工具類使用書了。

看過這本書之后，你會覺得萬物皆可微積分。

不過還得繼續深入，你就應該看看《分析入門》或者叫做《Understanding Analysis （理解分析）》，Abbott的就沒錯了。

到這種書就已經進入真正的“學院派”了�？催@本書會讓一般僅僅是對數學感興趣的人看起來非常痛苦。而且你越對數學感興趣你就會越體會到這種痛苦。不過只要挺過來你會覺得自己在精神上脫胎換骨，原來你對極限、連續、導數、積分的理解會發生一次“徹底重構”：之前以為自己懂，其實只是“會用”；讀完之后，你才知道什么叫“真正理解”。

不過，你以為這就能走出來了嗎？還沒呢，《分析入門》只是“入門”，還有更重要的是《數學分析原理》

很多人學到這里會“勸退”，因為這本書太干太硬了，但堅持下來的人，就會發現自己已經能獨立地看懂學術論文、推導復雜模型了�；旧�，你就能跟上韋神的課了。

到此基本上你也就不需要別人給你推薦書單了。如果真按照W君的建議做下去，W君心里冷笑一下，得嘞又送走一位……