《用初等方法研究數論文選集》連載 003

《用初等方法研究數論文選集》連載 003

003.如何尋找大素數

如何尋找大素數是一個古老的問題，最早采用的方法是埃拉托色尼篩法。該方法未借助數學公式，因而在從理論層面研究素數規律時存在一定的局限性。

如今，我運用Ltg - 空間理論來解決這個問題。

正整數可作如下分類：

單位：1

合數：4、6、8、9、10……

素數：2、3、5、7、11……

素數的定義為：在空間N + 1中，那些無法被素數所形成的合數項覆蓋的位置。

請看下圖。

就是項數N 取 2、4、6、10……這些數值時，這些項數可以用 K(n) = 2n + 2 來表示。在這個初等函數直線方程里，存在新素數以及由它們形成的合數。需注意這個特殊結構，2 既是偶數，也是最小的素數，從 2 往后，素數從 3 開始就全是奇數了。

在N+A(A=1)的基礎空間里，有一個合數項公式，

Nh =a(b+1)+b

Nh、a、b都是項數 a≥1、b≥1

我們在項數欄上取一個區間，（1，N], N=16

當a=1 ，b=1 時，Nh=3

當a=1 ，b=2 時，Nh=5

當a=1 ，b=3 時，Nh=7

當a=1 ，b=4 時，Nh=9

當a=1 ，b=5 時，Nh=11

當a=1 ，b=6 時，Nh=13

當a=1 ，b=7 時，Nh=15

我們設定的區間，決定了Nh≤N=16

當a=2 ，b=1 時，Nh=5

當a=2 ，b=2 時，Nh=8

當a=2 ，b=3 時，Nh=11

當a=2 ，b=4 時，Nh=14

當a=3 ，b=1 時，Nh=7

當a=3 ，b=2 時，Nh=11

當a=3 ，b=3 時，Nh=15

當a=4 ，b=1 時，Nh=9

當a=3 ，b=2 時，Nh=15

當a=5 ，b=1 時，Nh=11

在區間（0，N]

合數項Nh有，3、5、7、8、9、11、13、14、15

總數量Nh′有 9個。

素數項Ns有，1、2、4、6、10、12、16

素數項總數量 Ns′有7個。

用公式可以這樣表示：在區間（1，16]中

素數項總數Ns′=N-Nh′ =16-9=7 項。

這樣一來，我們就能夠用 PN = S 來表示每一個正整數中的素數，如P1 = 2，P2 = 3，P4= 5……如此，每一個素數都能與唯一的一個項數 N 相對應。

若用 π（Hs′）表示某一區間（0，N] 內素數的總數量，那么有 π（Hs′） = N - Nh′。

需注意，我們這里的 Nh′ 與 Nh 在概念上是有區別的，切勿混淆。

這里我們可以有一條定理：

在正整數中，沒有一般的素數公式存在。

證：看公式 Ns =N-Nh 我們注意到項數N可以是一個f(N)=N的線性方程，

而Nh =a(b+1)+b 是一個非線性的曲面方程，二者不在一個維度空間里，所以形不成Ns的一般初等函數的方程。

證畢。

這一般人很難理解。道理就如同不同空間里的方程組，好比曲線與直線，它們永遠不會相交，只會無限趨近，所謂的相交不過是投影的重疊而已。這確實太難了，理解不了就算了。

基本內容都已講解完畢，最后我們來講講如何尋找大素數，以及判斷一個大數究竟是素數還是合數。

借助大型計算機，運用公式 Nh = a(b + 1) + b （其中 Nh、a、b 均為項數，且 a ≥ 1、b ≥ 1 ），能夠得出計算機可能容納的最大合數項數 Nh，而那些未被涵蓋的數便都是素數項。

若遇到一個大數，將其減 1 就得到它的項數，輸入該項數即可知曉這個數是素數還是合數，操作十分簡便。不過，人工計算難度較大，好在數學領域還有三角函數表以及對數表可供參考。

在 N + 1 空間里，制作與項數 N 相對應的素數表格也并非不可行。

我所采用的這種方法與埃拉托色尼的篩法最大的不同之處在于，引入了“正整數空間概念”和“合數項公式”。

李鐵鋼2025年10月26日星期日