小樂數學科普：丟番圖方程的有理解

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格爾德?法爾廷斯（Gerd Faltings）剛剛獲得2026年阿貝爾獎，他是算術幾何領域的泰斗級人物。其學術思想與研究成果重塑了整個領域，不僅攻克了多項懸而未決的重大猜想，更構建了全新的理論框架，為后續數十年的相關研究指明了方向。本文簡單介紹格爾德?法爾廷斯的學術成就。

圖源：Peter Badge/Typos1/The Abel Prize

作者：阿貝爾獎官網（abelprize.no）2026-3-19

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-20

亞歷山大的丟番圖（Diophantus of Alexandria）

圖源：famousmathmaticians.net

“丟番圖方程（Diophantine equation）”這一表述，源于公元3世紀的希臘化時期數學家亞歷山大的丟番圖。丟番圖是尋找整系數多項式方程整數解的先驅，自此以后，他的名字便與這類方程的整數解及有理解求解問題緊密相連。

多項式方程的有理解求解問題可追溯至數百年前。早在古代，人們就已發現，畢達哥拉斯方程 x2+y2=z2 存在無窮多組整數解。對于任意兩個正整數 p 和 q，該方程的所有解可通過以下公式完整描述：

x=p2-q2

y=2pq

z=p2+q2

畢達哥拉斯方程是二次方程，其存在無窮多組整數解這一事實，可看作是整數中平方數出現頻率相對較高的一種體現。一般來說，方程次數的提高會導致整數解的數量減少——解的數量可能從無窮變為有限，甚至可能變為零，即某些整系數方程根本不存在整數解。

1900年，在巴黎舉辦的國際數學家大會上，德國數學家大衛·希爾伯特（David Hilbert）提出了10個未解決的數學難題。后來，他又發布了一份包含23個難題的擴展清單，這些難題被認為對20世紀的數學發展產生了深遠影響。其中部分難題至今仍未解決，另有一些則已被攻克。希爾伯特在介紹這23個難題時寫道：“我們之中，誰不樂于揭開未來的面紗，窺探科學的下一次進步，以及未來幾個世紀里學科發展的奧秘呢？未來幾代數學界的領軍人物將追逐哪些特定目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新的世紀將揭示哪些新方法與新發現？”

大衛·希爾伯特（David Hilbert），1862-1943

圖源：維基百科（Wikipedia）

希爾伯特的難題之一，即著名的“希爾伯特第十問題”，聚焦于丟番圖方程的解：“給定一個含任意數量未知數且系數為有理整數的丟番圖方程，能否設計一種方法，通過有限次運算判斷該方程是否存在有理整數解？”

希爾伯特并不關注方程具體解的求解，而是聚焦于“方程是否存在解”這一判定問題。法國數學家亨利·龐加萊（Poincaré）也對這類問題表現出濃厚興趣，并于1901年提出了關于橢圓曲線（即三次方程的解集）有理解的猜想。他斷言，橢圓曲線上的有理點集合構成一個有限生成阿貝爾群（abelian group）。約二十年后，美裔英國數學家路易斯·莫德爾（Louis Mordell）證明了這一猜想。

在此期間，數論學家們發表了多項關于丟番圖方程解的研究成果。1909年，挪威數學家阿克塞爾·圖厄（Axel Thue）證明（眾多結果之一），方程 y3-2x2=-1 僅有有限多組整數解。后來進一步證實，該方程恰好存在一組解，即 x=78，y=23。

阿克塞爾·圖厄（Axel Thue），1863-1922

圖源：維基百科（Wikipedia）

圖厄的更具一般性的成果被稱為“圖厄定理（Thue's theorem）”，其內容為：若 f(x, y) 是一個整系數齊次多項式，在有理數域上不可約，且次數 ≥3，則對于任意整數 k，方程 f(x, y)=k 僅有有限多組整數解。莫德爾本人早在1913年就已證明，方程

y2=x3+k

（其中 k 為整數）僅有有限多組整數解。

莫德爾在1922年發表的論文中，核心成果便是后來被稱為“莫德爾定理（Mordell's theorem）”的結論：橢圓曲線 E 上的有理點群 E(?) 是有限生成的。這一成果回應了龐加萊在1901年提出的問題。

路易斯·莫德爾（Louis Mordell），1888-1972

圖源：曼徹斯特大學

莫德爾定理的核心依據是：橢圓曲線（通常定義為形如y2=x3+px+q的方程的解集）具有阿貝爾群的附加結構。該群的運算規則常被稱為“弦切法則（chord and tangent rule）”，因為其構造完全基于幾何方法，涉及弦與切線的運用。莫德爾通過經典的“無窮遞降法（infinite descent）”證明了這一定理：若方程存在無窮多組解，則所有解都可通過弦切法則追溯至有限多個生成解。莫德爾還證明了其定理的關鍵前提：橢圓曲線上兩個有理點的和仍是一個有理點。

根據三次方程解集的形態，橢圓曲線也被稱為“虧格1曲線”。更高虧格的曲線由更高次數的方程定義，其解集也愈發復雜。

莫德爾在1922年發表的論文《論三次與四次不定方程的有理解》中，還提出了“莫德爾猜想（Mordell’s conjecture）”：虧格 ≥2 的曲線上的有理點集合是有限的。這一結論對橢圓曲線并不成立——有限生成并不等同于有限，因為曲線上的有理點可能具有無限階。

特里格夫·內格爾（Trygve Nagell），1895-1988

圖源：維基百科（Wikipedia）

挪威數學家特里格夫·內格爾（Trygve Nagell）是阿克塞爾·圖厄的學生，他找到了橢圓曲線上有理點為有限階的判定準則。這一成果被稱為“內格爾-盧茨定理（Nagell-Lutz Theorem）”，以紀念內格爾與伊麗莎白·盧茨（Elisabeth Lutz）——后者是一位法國數學家，獨立于內格爾發現了該定理。內格爾-盧茨定理描述了整數域上橢圓曲線上的有限階有理點：設方程

y2=x3+px+q (p, q ∈ ?)

定義了一條非奇異橢圓曲線 E，其判別式為

Δ=-4p3-27q2≠ 0

若 P=(x, y) 是 E 上的有限階有理點，則 x 和 y 均為整數，且要么 y=0（此時 P 的階為2），要么 y 整除 Δ（這意味著 y2 也整除 Δ）。

例如，考慮橢圓曲線 E：y2=x3-4x+9，其判別式 Δ=-256+2187=1931。

易知 P=(2, 3) 是 E 上的一個有理點。顯然，3不是1931的因子，因此根據內格爾-盧茨定理，P 具有無限階。

再舉一例，方程 y2=x3-x 僅有4個有理點，包括無窮遠處的加法單位元 0，分別為 P=(1, 0)、Q=(-1, 0)、P+Q=(0, 0)，且 2P=2Q=0，即 E(?)? ?? × ??。這兩個例子共同表明，橢圓曲線可能存在無窮多組有理點，也可能僅存在有限組有理點。

阿克塞爾·圖厄與路易斯·莫德爾均為數論學家，他們的研究方法要么是純算術的，要么偏向逼近論。而在法爾廷斯與懷爾斯之后，我們逐漸意識到，數論問題的解法很可能存在于數論之外的其他數學領域。

專業術語注釋

中文名稱

簡要說明

阿貝爾獎

國際頂尖數學獎項，表彰在數學領域作出卓越貢獻的學者

丟番圖方程

含整數系數的多項式方程，核心研究其整數解或有理解存在性及求解問題

畢達哥拉斯方程

形如 x2+y2 =z 2 的二次方程，存在無窮多組整數解

希爾伯特第十問題

判定含任意未知數的整系數丟番圖方程是否存在有理整數解的有限步算法設計問題

橢圓曲線

通常定義為三次方程 y2=x3+px+q 的解集，具有阿貝爾群結構

有限生成阿貝爾群

可由有限個元素生成的阿貝爾群，是橢圓曲線有理點集合的重要性質

圖厄定理

關于高次齊次多項式方程有限整數解的重要定理（次數≥3）

莫德爾定理

橢圓曲線上的有理點群是有限生成的，回應龐加萊猜想

莫德爾猜想

虧格≥2 的曲線上的有理點集合是有限的

無窮遞降法

證明數論問題的經典方法，通過遞降推導有限性或無解結論

弦切法則

橢圓曲線阿貝爾群的運算規則，基于幾何中的弦與切線構造

虧格 1 曲線

橢圓曲線的另一稱謂，依據解集形態分類

內格爾 - 盧茨定理

判定橢圓曲線上有理點為有限階的準則

非奇異橢圓曲線

判別式≠0 的橢圓曲線，無奇點

判別式

橢圓曲線的重要參數，形如 Δ=?4p3?27q2

有理點

坐標為有理數的點，是丟番圖方程與橢圓曲線研究的核心對象

有限階（有理點）

橢圓曲線上經有限次群運算可回到自身的有理點

無限階（有理點）

橢圓曲線上需無限次群運算才能回到自身的有理點

齊次多項式

各項次數相同的多項式，圖厄定理的核心研究對象

有理數域上不可約

多項式不能分解為兩個次數更低的有理系數多項式的乘積

參考資料

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/Rational%20solutions.pdf

https://abelprize.no/page/introduction-laureates-work-timandra-harkness

https://abelprize.no/sites/default/files/2026-03/pressrelease_english__Abelprize%202026.pdf

https://abelprize.no/page/press-room-2026-abel-prize-laureate

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