換個角度看問題——準晶體與非周期鑲嵌（非周期密鋪）

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AIM SQuaRE的準晶體譜理論研究項目團隊結合非周期鑲嵌（非周期密鋪）與圖論，借助圖拉普拉斯算子探究準晶體特性，成果豐碩，還引出了待解的鑲嵌圖案譜特性問題。

作者：Michelle Manes（米歇爾?梅恩斯）

AIM（美國數學研究所）副主任 2026-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-11

美國數學研究所（AIM）的 SQuaRE 項目 “準晶體譜理論”，于2022年1月至2024年10月間共召開三次研討會。研究團隊 —— 成員包括萊斯大學的戴維?達馬尼克（ David Damanik ）、弗吉尼亞理工大學的馬克?恩布里（ Mark Embree ）、得克薩斯農工大學的杰克?菲爾曼（ Jake Fillman ）、加州大學歐文分校的安東?戈羅捷茨基（ Anton Gorodetski ）以及丹尼森大學的梅?梅（ May Mei ） —— 力求開發新的工具、技術與思路，以加深對準晶體數學模型的理解。該SQuaRE項目成果豐碩，三次研討會期間產出了12篇預印本與正式論文，另有至少3篇研究成果正在撰寫中。

準晶體（quasicrystals）是一類具備奇異材料特性與數學特征的新型物質。我們熟知的晶體（如鉆石、食鹽）的原子排列呈三維網格結構：原子在三個獨立方向上呈規則間距分布。此外，這類晶體在原子層面具有二次、三次、四次或六次旋轉對稱性。準晶體與上述晶體有部分共性，即其對稱圖案可鋪滿整個空間。二者的區別在于：準晶體中原子的排布僅為近似規則，而非完全規則；同時，準晶體可具有五次、十次或十二次旋轉對稱性。

準晶體是介于無固定原子結構的非晶態固體（如玻璃）與具有規則原子晶格的晶體（如鉆石）之間的物質。它硬度高、摩擦小、導熱導電性差，廣泛用于不粘鍋、手術器械、LED 等產品，獨特性質使其在量子力學等領域極具應用潛力。 丹尼森大學官網2026.3.3報道—— 數學系教授梅梅參與準晶體研究，準晶體數學模型有望推動量子力學系統等領域的應用

1982年，美國國家標準與技術研究院（NIST）的科學家丹?謝赫特曼（Dan Shechtman）在研究鋁錳合金時，觀測到了令人意外的衍射圖案，他在實驗記錄本上針對其中一項觀測結果寫下 “十次對稱？？？” （10 fold???）的疑問。

丹?謝赫特曼在美國國家標準與技術研究院（NIST）的實驗記錄本中，記載了首次觀測到具有十次對稱性晶體的相關數據。

圖源：丹?謝赫特曼

該衍射圖案表明材料具有十次旋轉對稱性，但當時學界普遍認為，晶體不可能存在這種對稱性。（謝赫特曼日后憑借這一發現榮獲諾貝爾化學獎。）

1985年于美國國家標準與技術研究院（NIST）召開的研討會上，謝赫特曼（左）正在闡釋準晶體的原子結構。

圖源：Wikimedia

幾乎在同一時期，物理學家保羅?斯坦哈特（Paul Steinhardt）提出了存在五次對稱準晶體的假說，最終他發現了兩種天然準晶體 —— 二十面體準晶與十邊形準晶。2023年，多倫多大學與麻省理工學院的研究人員成功制備出超導石墨烯準晶體。

鑒于準晶體的物理起源與潛在應用價值，學界對與其相關的量子力學系統產生了濃厚興趣。在數學層面，這一研究方向對應譜（spectral）問題的探究，這類問題與化學家用于分析物質結構的衍射圖案具有相似性。譜問題的研究范疇廣泛，每一類譜問題都對應一種自伴算子（self-adjoint operator）的選擇。

上文提及的準晶體均為三維物質，但深入理解一維與二維準晶體的數學特性，是研究三維準晶體的重要中間步驟。該 SQuaRE 項目團隊從一維準晶體入手，通過研究算子的遍歷族及其譜隙展開探索 —— 這是一個已活躍多年且成果顯著的研究方向。團隊的一項重要新貢獻，是對以平面非周期鑲嵌（即不具備平移對稱性的鑲嵌圖案，aperiodic tilings of the plane，鑲嵌也稱密鋪、平鋪）為模型的高維準晶體展開研究。

1961年，王浩首次提出了平面非周期鑲嵌的概念。1970年代初，羅杰?彭羅斯（Roger Penrose）提出了一種極具影響力的非周期鑲嵌方案，該方案僅需兩種不同的瓷磚即可實現平面鑲嵌。盡管這兩種瓷磚本身可用于構造周期性平面鑲嵌，但通過為瓷磚間的拼接方式設定匹配規則，就能強制形成非周期鑲嵌結構。（值得一提的是，這些嚴謹的數學描述，其實早于伊斯蘭裝飾圖案中出現的類似非周期鑲嵌設計 —— 相關鏈接：https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0 。）彭羅斯鑲嵌是一種二維結構，它與自然界中發現的準晶體有諸多共性，其中就包括五次旋轉對稱性。將準晶體的數學研究從一維拓展至二維是一項極具挑戰性的工作，因為適用于一維研究的諸多工具在二維場景下不再適用。

2024年，該SQuaRE項目團隊在《實驗數學》Experimental Mathematics期刊發表論文《彭羅斯鑲嵌與阿曼 - 賓克爾鑲嵌對應的拉普拉斯算子的積分態密度間斷性》Discontinuities of the integrated density of states for Laplacians associated with Penrose and Ammann–Beenker tilings https://arxiv.org/abs/2209.01443，研究了多種彭羅斯鑲嵌（以及知名度較低的阿曼 - 賓克爾鑲嵌）所對應的圖拉普拉斯算子（graph Laplacian）。

準晶體的構造方法

構造彭羅斯鑲嵌的方法之一是運用替代規則。以菱形彭羅斯鑲嵌為例，構造過程從 0 級開始：將五個 “厚菱形” 拼接成星形結構。

隨后反復應用兩條替代規則：

當出現 “厚菱形” 時，按特定結構將其替換為三個厚菱形與兩個薄菱形；

當出現 “薄菱形” 時，按特定結構將其替換為兩個厚菱形與兩個薄菱形。

通過不斷迭代這些替代規則，平面上的鑲嵌圖案會逐步擴展。我們可以設想持續這一過程，在極限情況下，整個平面將被非周期鑲嵌圖案完全覆蓋。

1級與2級鑲嵌結構

鑲嵌百科全書中詳細記載了這些替代規則的具體內容，相關鏈接：https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/ 。最早對這類結構展開研究的數學物理學家團隊由Takeo Fujiwara、Masao Arai、Tetsuji Tokihiro、Mahito Kohmoto組成，他們于1988年在《物理評論 B》期刊發表論文《二維彭羅斯晶格中電子的局域態與自相似態》Localized states and self-similar states of electrons on a two-dimensional Penrose lattice，闡述了相關研究成果。 https://doi.org/10.1103/PhysRevB.37.2797

利用圖論研究非周期鑲嵌

該SQuaRE項目團隊將每一種鑲嵌圖案與一個圖相對應，這一方法使他們能夠運用圖論領域的強大工具展開研究。構造鑲嵌圖案對應圖的規則如下：將鑲嵌圖案中的每個多邊形視為圖的頂點；當兩個多邊形共享至少一條邊時，就在對應的兩個頂點之間連接一條邊。下圖展示了0級、1級與2級鑲嵌圖案分別對應的圖結構。

0級、1級與2級鑲嵌分別對應的圖結構

圖論中有一個著名的自伴算子（self-adjoint operator），即圖拉普拉斯算子（graph Laplacian.）。將該算子作用于函數f時，其計算結果為函數f在每個頂點處的取值，與該頂點所有相鄰頂點上函數f取值平均值的差值之和。這一算子是在圖結構中求解 “波動” 問題的離散化對應工具。

更嚴謹的數學定義如下：設Γ=(V,E)為一個圖，其中V為頂點集，E為邊集；若頂點u與v相鄰，則記為u～v。那么圖拉普拉斯算子ΔΓ?的定義為：

圖拉普拉斯算子的實用價值在于，我們能夠通過該算子的特性 —— 尤其是其特征值與特征向量 —— 推導圖的結構信息。例如，著名的 “聽鼓辨形” 問題，在數學上可轉化為：兩個平面區域若具有相同的拉普拉斯算子特征值（即相同的譜spectrum），那么這兩個區域是否在幾何結構上完全一致？（研究結果表明，答案是否定的。）

該 SQuaRE 項目團隊通過對無限圖進行有限層級截斷（例如，前文所述的每一級鑲嵌圖案都對應一個有限圖），進而研究無限圖的拉普拉斯算子。在團隊發表的論文中，作者給出了這些截斷拉普拉斯算子的特征函數（eigenfunctions） —— 這類定義在圖上的函數，經拉普拉斯算子作用后僅表現為簡單的縮放變換。令人略感意外的是，這些特征函數具有局部支撐性（locally supported），即它們僅在圖的一個局部小區域內取非零值，而在圖的絕大多數頂點上取值均為零。這一特性與二維鼓面的振動模式形成鮮明對比：鼓面被敲擊后，除了被稱為節線（nodal lines）的特定曲線外，其余區域均會產生振動。

以前文所述的菱形彭羅斯鑲嵌為例，若在現有鑲嵌層級基礎上再迭代兩次，得到5級鑲嵌結構，此時可得到四個具有局部支撐性的特征函數。如下圖所示：特征函數在深藍色瓷磚對應的頂點上取值為 +1，在深紅色瓷磚對應的頂點上取值為 -1，在淺藍色瓷磚對應的頂點上取值為 +1/2?，在淺紅色瓷磚對應的頂點上取值為 -1/2?，在所有未著色瓷磚對應的頂點上取值為 0。上述每個特征函數對應的特征值（能量值）均為E=6。

5級結構、能量值為6的局部支撐特征函數

該論文融合了理論分析與數值計算方法，作者在論文中指出：“這些研究結果引出了一系列關于非周期鑲嵌拉普拉斯算子譜特性的問題，我們已將這些問題整理歸納在論文末尾。” 研究團隊未來還有大量有趣的工作亟待開展，他們將繼續圍繞這些問題，以及其他鑲嵌圖案的譜特性展開深入探索。 https://arxiv.org/pdf/2209.01443

術語與專有名詞標注說明

AIM SQuaRE：美國數學研究所（AmericanInstitute ofMathematics）的研討項目，全稱為StructuredQuartetResearchEnsemble

quasicrystal：準晶體（一種不具備平移對稱性但具有長程取向有序的固態物質）

aperiodic tiling：非周期鑲嵌（無法通過平移變換重合的平面 / 空間填充圖案）

graph Laplacian：圖拉普拉斯算子（代數圖論與譜圖論的核心算子）

self-adjoint operator：自伴算子（希爾伯特空間中與自身伴隨算子相等的線性算子）

integrated density of states：積分態密度（描述固體電子態密度隨能量變化的累積函數）

substitution rule：替代規則（構造分形、非周期鑲嵌的核心方法之一）

locally supported：局部支撐性（函數僅在定義域內有限區域取非零值的特性）

參考資料

https://drive.google.com/file/d/1KwaDsFdQK4AXIOuB3eHAvyfAI3N7brou/view

https://aimath.org/aimnews/newsletter/

https://arxiv.org/abs/2209.01443

https://www.sciencenews.org/article/ancient-islamic-penrose-tiles-0

https://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution/penrose-rhomb/

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.37.2797

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