下列二重極限求解過程是否都正確，關于二重極限存在性判定與計算的一些注意事項

打卡

｜思考與練習

問題: 試問下列求極限過程對嗎? 如果不對, 錯誤的原因是什么? 請指出錯誤并給出正確解答過程.

判 斷 極 限 的 存 在 性

【注1】打卡內容為基本概念、基本思想與基本方法的查漏補缺，練習和問題相對比較基礎，更多提高、強化專項訓練專題可以查閱。所有練習適用于非數學專業的高等數學、微積分、工科數學分析與數學專業的數學分析課程的學習、競賽備賽與考研備考。

特別提醒：不管是基礎綜合練習，還是專項強化訓練，或者是做其他練習，一定不要做完、核對完答案后就不管了！這些題目都具有代表性，一般代表了一類問題，或者某個知識點的應用、或某個題型的求解思路與方法，不僅對于解題思路要理解、掌握，同時對于涉及的知識點、解題思想與方法要總結，對于其中的一些結論、結果最好能夠記住。同時，對于給出的參考解答過程，要仔細推敲一下，為什么這么做？問題解決的突破口在哪里？還有沒其他更好的方法，自己的方法為什么不對，或者自己想不到求解思路的主要原因是什么？最后要注意及時查漏補缺，保證在再出現類似問題時，能夠重現求解思路與過程，從而保證訓練的有效性！

【注】數學內容推文整理分享、閱讀都不容易，費時費力更費腦！參考解答僅供參考，解答過程與思路僅代表作者對問題的理解，解答過程不一定嚴謹或完全正確，或者是最優的，希望在對照完以后，不管是題目有問題，還是參考解答過程有問題，希望學友們在文后留言不吝指出！如果有更好的解題思路與過程，也歡迎通過管理員郵箱、微信或QQ以圖片、或Word文檔形式發送給管理員，對于分享的完整思路與解答過程，管理員將盡可能在第一時間推送和大家分享，謝謝！

練習參考簡答

解答：(1) 不對。因為改寫后的極限式與原極限式不等價。原極限式中僅僅是 ，而改寫后的極限式中要求 且 ，即改寫后的極限式比原來極限式少了一條逼近的路徑，因而由右端的極限式的極限的存在性不能斷定原極限存在，所以由右端極限等于 不能斷定左端極限也等于 。

正確方法：[法1]對任意的 ，由 ，故有

所以由夾逼準則可知 。

[法2]因為是 ，故可考慮極坐標方法，令 ， ，則當 時，不管 如何變化，都有 ，故

于是由等價無窮小與有界量乘以無窮小, 得

(2) 正確。

(3)[法1]選取路徑 ，則

選取路徑 ，則

所以 時，二重極限不存在。

[法2]由極坐標方法，令 ， ，則

如果 與 無關，直接的結論應該是極限等于 ——這個與[法1]矛盾？ 也可以是 的函數，通過 的變化轉換為趨于 的過程。如 （ ， ），即 按照這個正弦曲線路徑趨于 ，則代入上面極限式，得

對于上式，如果取 ，則以上極限為

如果取 ，則以上極限

所以 時，二重極限不存在。

注：關于二重極限的注意事項：

• 二重極限存在，要求 按照任意路徑趨于 的極限都存在且相等。如果有兩條不同的路徑極限都存在，但是極限值不等，則二重極限不存在；如果有一條路徑極限不存在，同樣二重極限也不存在。對于 ，常用的路徑取為沿坐標軸，如 ， ， ， （ 為實常數），當然也可以取為其他路徑，比如 等。

• 一般一元函數求極限的思想與方法也適用于二重極限，但要注意在改寫函數表達式時要注意是恒等變換，如果不是恒等變換，要對可能出現的情況專門進行說明與討論。

• 極坐標方法求極限一般適用于 ，同時要注意 不僅可以取任何值，而且可以取為 的函數變化，當然 本身的變化也可以取為趨于 某個定值的過程，而比如當 ，此時 可以取為 的變化過程，也可以取為 的變化過程。

其中(3)題來自于《高等數學、數學分析綜合提高練習冊》,點擊推文:.

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