人類學(xué)數(shù)學(xué)，從小就要死記正弦、余弦、對(duì)數(shù)、指數(shù)……一堆公式，每一個(gè)都是獨(dú)立的規(guī)則，每一個(gè)都有專屬的計(jì)算器按鍵。

但2026年4月，波蘭物理學(xué)家安德烈·奧德日沃萊克（Andrzej Odrzywo?ek）在預(yù)印本網(wǎng)站發(fā)表了一篇名為《從單一運(yùn)算符生成所有初等函數(shù)》（All Basic Functions from a single 二元運(yùn)算符）正在徹底顛覆這個(gè)認(rèn)知。

他證明了：只需一個(gè)算子，就能推導(dǎo)出所有初等數(shù)學(xué)函數(shù)。

論文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852

一個(gè)按鍵，一個(gè)世界

這個(gè)神奇的算子叫做EML，定義極其簡(jiǎn)潔：eml(x, y) = e? ? ln(y)。再配上常數(shù)1，你就擁有了一臺(tái)完整的科學(xué)計(jì)算器。所有的加減乘除、開方、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、雙曲函數(shù)，乃至圓周率π和虛數(shù)單位i，全部可以由這個(gè)算子反復(fù)嵌套組合而得到。

舉個(gè)例子，自然對(duì)數(shù) ln(z) 可以用EML表達(dá)為：ln(z) = eml(1, eml(eml(1, z), 1))。聽起來像繞口令，但它是完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)恒等式。

這一發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)史上有一個(gè)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典先例，叫做NAND門。數(shù)字電路領(lǐng)域有個(gè)著名定理：只用一種邏輯門（NAND，即"與非門"），就能構(gòu)建任意布爾邏輯電路。整個(gè)數(shù)字計(jì)算機(jī)的底層，可以只由這一種磚塊搭起來。

EML算子之于連續(xù)數(shù)學(xué)，正如NAND門之于數(shù)字邏輯。奧德日沃萊克本人也明確使用了"謝弗算子"（Sheffer operator）這個(gè)概念，向那個(gè)劃時(shí)代的邏輯發(fā)現(xiàn)致敬。

系統(tǒng)化窮舉，與AI聯(lián)手破局

這個(gè)結(jié)果不是從天而降的。奧德日沃萊克供職于波蘭雅蓋隆大學(xué)理論物理研究所，他從一個(gè)工程師的好奇心出發(fā)：Wolfram Mathematica軟件的內(nèi)核，已經(jīng)是人類精心優(yōu)化過的極簡(jiǎn)函數(shù)集了，能不能繼續(xù)削減？

他采用"消融測(cè)試"法，從36個(gè)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)元素（包括常數(shù)、一元函數(shù)、二元運(yùn)算）出發(fā)，每次移除一個(gè)，驗(yàn)證剩余集合是否還能重建所有功能。就這樣一步步壓縮，從36個(gè)元素縮減到6個(gè)、4個(gè)、3個(gè)，最終抵達(dá)EML這個(gè)單一算子。

整個(gè)搜索過程，他借助了GPT Codex將核心驗(yàn)證代碼從Mathematica翻譯為Rust語(yǔ)言，速度提升了三個(gè)數(shù)量級(jí)，從"驗(yàn)證一次需要數(shù)小時(shí)"變成了"數(shù)秒內(nèi)完成"。這是人類數(shù)學(xué)直覺與AI工程能力協(xié)作的一次具體而微的勝利。

不只是數(shù)學(xué)游戲，而是AI的新基礎(chǔ)

這個(gè)發(fā)現(xiàn)的意義，遠(yuǎn)不止"令人震驚的數(shù)學(xué)美感"這一層。

EML算子的一個(gè)關(guān)鍵特性是：所有初等函數(shù)的表達(dá)式，在EML形式下都是由完全相同節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的二叉樹。文法極其簡(jiǎn)單：S → 1 或 eml(S, S)。這種統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，讓"符號(hào)回歸"這一AI方向看到了新的曙光。

所謂符號(hào)回歸，是指AI從數(shù)值數(shù)據(jù)中自動(dòng)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式。現(xiàn)有方法的困難之一，正是搜索空間由多種異質(zhì)算子構(gòu)成，結(jié)構(gòu)復(fù)雜且不完備。而EML樹提供了一個(gè)完備的、結(jié)構(gòu)均勻的搜索空間，理論上可以發(fā)現(xiàn)任何初等函數(shù)形式的規(guī)律。

奧德日沃萊克的實(shí)驗(yàn)已經(jīng)展示了初步可行性：在樹深度為2時(shí)，梯度優(yōu)化能100%精確還原目標(biāo)函數(shù)；在深度3至4時(shí)，成功率約25%。這只是概念驗(yàn)證階段的數(shù)字，但方向已經(jīng)打開。

背公式的時(shí)代，或許真的要走到盡頭了。數(shù)學(xué)的底層，只剩下一塊磚。