導語

離散跳躍式隨機演化是諸多自然科學領域的重要研究方向。本期讀書會為隨機動力學讀書會第七期，東北大學未來技術學院博士生張鵬將聚焦主方程與帶跳隨機過程核心理論及應用，系統闡述離散隨機系統數學框架，講解生滅主方程、兩類經典近似方法與泊松表示理論，梳理離散跳過程與連續擴散過程的關聯，分享實用性極強的泊松表示理論。

集智俱樂部聯合北京工業大學諸葛昌靖老師和北京化工大學王利老師共同發起。采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，主讀文獻《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》 ，輔助文獻《Stochastic Processes in Physics and Chemistry》，通過物理直覺啟發與數學理論推導的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學邏輯結構和知識體系。

報告簡介

本次分享聚焦主方程與帶跳隨機過程的核心理論與應用，這類過程以狀態的離散跳躍為核心特征，廣泛存在于種群動力學、化學反應、電子噪聲等場景。分享基于《Handbook of Stochastic Methods for Physics, Chemistry and the Natural Sciences》的主方程、生滅過程及近似方法等內容，系統闡述了描述離散隨機系統演化的數學框架。報告以生滅主方程這一精確模型為起點，進而探討如何通過Kramers-Moyal展開和Van Kampen系統大小展開兩種經典方法，在極限近似下搭建起連接離散跳過程與連續擴散過程的橋梁。最后，報告引入了更為強大和富有洞察力的泊松表示理論，該理論對某類主方程建立了?？?普朗克方程與主方程建立精確等價，為處理復雜非線性隨機系統提供了先進的解析工具。

分享大綱

• 核心動機：離散跳躍型隨機現象的建模需求

• 單變量生滅主方程：基本形式與物理意義

• 主方程的 多種Fokker-Planck 近似方法：適用場景與轉化方法

• 多變量生滅系統：擴展形式與耦合效應

• 典型范例與 Poisson 表示：實用工具與應用場景

核心概念

概念一：生滅主方程（單變量）

• 定義：描述單變量離散狀態系統 “生成” 與 “消亡” 過程概率演化的微分方程，核心形式體現 “增益 - 損失” 平衡，即單位時間內某狀態的概率變化等于從其他狀態轉入的 “增益” 減去向其他狀態轉出的 “損失”。

• 核心本質：針對離散狀態的跳變過程，無需追蹤連續樣本路徑，直接刻畫狀態概率的動態變化，是離散隨機過程的基礎建模工具。

• 應用場景：種群數量的增減、單組分化學反應中分子數的隨機變化、電子系統中載流子的產生與復合等離散狀態演化過程。

概念二：Kramers-Moyal 展開

• 定義：一種將主方程近似轉化為連續型福克-普朗克方程的數學方法。其核心思想是將主方程展開為冪級數，然后在無窮小跳變步長極限下忽略三階及以上的高階項，從而得到?？?普朗克方程。

• 核心優勢：數學操作直接，能夠形式上從主方程導出具有漂移和擴散項的連續方程，提供了一個從離散到連續的快速近似途徑。

• 應用價值：作為初步的連續近似工具，用于在跳躍步長很小的假設下，對主方程進行簡化分析，是連接離散與連續描述的傳統方法之一。

概念三：Van Kampen系統大小展開

• 定義：它引入系統尺度參數，將總變量分解為服從確定性方程的宏觀主體部分與描述隨機漲落的部分，并在大系統極限下對隨機漲落進行研究，得到其對應的?？?普朗克方程。

• 核心優勢：具有清晰的物理意義和嚴格的漸進性。它實現了“確定性規律”與“隨機漲落”的自然分離。在 Ω→∞的極限下，確定性宏觀量服從確定性速率方程，而漲落變量 則服從一個線性的福克-普朗克方程（或等價的線性隨機微分方程）。

• 應用價值：是推導化學宏觀速率方程、計算大系統噪聲統計量（如方差、關聯函數）的標準且強有力的工具。它還能通過修正標度，專門處理系統處于臨界點（穩定性發生改變）時的反常漲落行為。

概念四： 泊松表示

• 定義：一種深刻的數學變換，它將離散概率分布表示為一系列連續泊松分布按某個權重函數的混合或疊加。

• 核心優勢：追求精確而非近似。對于雙分子反應等一大類系統，它能導出一個與原始主方程完全等價的?？?普朗克方程，從而完整保留系統的非線性漲落特性，超越了所有漸進近似方法。

• 應用價值：為研究有限尺寸系統的隨機動力學提供了精確的連續化框架，是連接離散與連續描述的更高階理論。它還能自然引導出“高階噪聲”等概念，為處理更復雜的反應網絡（如三分子反應）擴展了理論邊界。

主講人介紹

主講人：張鵬，東北大學未來技術學院控制科學與工程方向博士生，碩士畢業于東北大學流程工業綜合自動化國家重點實驗室。研究興趣：網絡的魯棒性分析與攻擊，機器學習，組合優化。

時間信息

2026年5月21日（周四）晚19:30-21:30，騰訊會議線上進行，感興趣的朋友掃碼報名加入隨機動力學讀書會后，可進入學員群進行交流。

報名讀書會：「隨機動力學」

本次讀書會由諸葛昌靖、王利兩位老師共同發起，采用“一主一輔”的閱讀模式，帶領大家系統研讀隨機過程領域的兩部經典著作，通過物理直覺與嚴謹理論的交織，助力參與者構建完整的隨機動力學知識體系。讀書會將于2026年4月9日起每周四晚上（創建讀書會暫定時間為19:30-21:30）線上開展，持續約10周，包含主講分享與討論交流，并提供會后視頻回放，誠邀相關領域研究者及跨學科興趣者參與。

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加入社區后可獲得的資源

完整權限包括：線上問答、錄播回看、資料共享、社群交流、信息同步、共創任務獲取積分等。

特色退費與激勵機制

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1. 任務達標退費路徑
   

   認領并合格完成任意兩期字幕任務，即可退還全額報名費，并額外獲得集智專屬周邊獎勵。

2. 運營成長激勵路徑
   

   合格完成一個字幕任務后，可申請成為運營助理。在讀書會項目順利結項后，將退還學費。表現優異者，還有機會獲得額外的獎學金。