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IAS數學-自然科學圖書館里的這三本書，跨越多年研究歷程，共同展示了如何從噪聲中提煉出隱藏的秩序。

圖源：Maria O'Leary

作者：普林斯頓高等研究院2026年春夏刊（IAS Letter）2026-4-26

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-22

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計算機如何 “看見”？這個最初源于計算機科學工程實踐的問題，經過數十年學術探索，已催生出純數學中一系列優美的研究課題。研究院數學-自然科學圖書館館藏的三本關鍵著作，記錄了這段引人入勝的思想脈絡 —— 其中最老牌的著作出自1990年代，最新著作則匯集了本院數學學院教員的前沿開拓性成果。

我們觀看一張數碼照片時，無論照片里是人、樹還是香蕉，即便畫面因拍攝者手抖或光線不足產生 “噪聲”，人腦也能輕松區分主體與背景。但對計算機而言，同一張圖像只是一組代表亮度或色彩的數值網格。若用高斯模糊這類標準數學濾波器為計算機去除噪聲，結果往往會破壞并模糊標記圖像主體的重要 “邊緣”，導致照片丟失關鍵細節。

菲爾茲獎得主、數學學院研究員（1962–1963年、1981–1982年）戴維?芒福德（David Mumford）解決了這一難題。1980年代，芒福德與同事賈揚特?沙阿（Jayant Shah）提出了一套用于 “圖像分割” 問題的數學公式。他們提出的芒福德-沙阿泛函（Mumford–Shah functional），能讓計算機生成圖像的簡化版本：該版本幾乎處處光滑，但在邊緣信號顯著的位置保留重要的 “裂隙” 或 “斷點”。它的核心是平衡三項關鍵指標：

• 保真度：簡化圖像應盡可能貼近原圖。

• 光滑性：在區域內部，圖像應平緩變化，消除噪聲。

• 經濟性（簡約性）：區域之間的邊界（即邊緣）應盡可能短、盡可能簡單。

圖源：Maria O'Leary

該泛函讓計算機能夠在去除噪聲圖像的同時，不丟失重要邊界處的關鍵信息。本院數學-自然科學圖書館藏有芒福德1993年的著作《濾波、分割與深度》，書中收錄了對該泛函的系統論述。

圖書館書架上與這本書并列的，是路易吉?安布羅西奧（Luigi Ambrosio）、尼古拉?富斯科（Nicola Fusco）、迭戈?帕拉拉（Diego Pallara）合著、2000年出版的《有界變差函數與自由間斷問題》。該書將芒福德-沙阿泛函從直觀工具提升為嚴格的數學理論。

要理解這本書的貢獻，不妨把芒福德-沙阿泛函看作一個數學上的 “孤兒”：它打開了一類新幾何的大門，卻在嚴謹分析學中沒有正式的歸屬。原因在于，傳統微積分研究的是光滑函數，也就是平緩變化的曲線。但計算機圖像存在銳利邊緣，比如陰影與亮墻交界，色彩數值會瞬間跳變。

安布羅西奧等人提供了一套全新的數學語言，用來描述那些局部光滑、但可出現裂隙（cracks）或斷點（breaks）的曲面。他們還證明，在被稱為 “有界變差的特殊函數” 的空間條件下，這類曲面的裂隙與斷點可以達到最優形態。最優裂隙的含義是：恰好保留足夠多的斷點以體現圖像的劇烈變化，同時讓這些裂隙盡可能短、盡可能簡潔。

安布羅西奧當年的博士生、現任本院數學學院IBM馮?諾依曼教授卡米洛?德萊利斯（Camillo De Lellis）接過了這一研究方向。他與馬泰奧?福卡爾迪（Matteo Focardi）合著的最新著作《平面上芒福德-沙阿泛函的正則性理論》，全面梳理了該泛函的已有文獻，重訪經典結論并融入最新進展。最值得關注的是，該書攻克了芒福德與沙阿留下的最持久難題 —— 所謂正則性猜想。

安布羅西奧及其合作者證明，圖像曲面的 “最優斷點” 在數學上總是存在，但這些斷點與裂隙的精確形態與幾何結構仍是謎團。若沒有正則性證明，理論上斷點邊緣可以無限鋸齒化，無論如何放大都不會變光滑。而芒福德 -沙阿正則性猜想認為：簡化復雜圖像的最有效方式，應當產生干凈、可預測的幾何結構。該猜想尚未在完全一般情形下被證明，但已取得重大進展。

德萊利斯與福卡爾迪在書中綜合數十年研究成果，證明在二維平面上，裂隙與斷點確實會呈現優美的幾何秩序。具體來說，這些邊緣只以兩種方式交匯：

一是 “三重交匯點”，三條線以嚴格120度相交；

二是 “裂隙端點”，即線條單純終止。[1]

這種120度交匯結構與肥皂泡的結構一致，是自然界中區域交匯最高效的形態。歸根結底，德萊利斯與福卡爾迪的著作表明：即便數學對象允許雜亂無章，效率也會迫使它進入幾何有序的狀態。[2]

數學-自然科學圖書館里的這三本書，跨越多年研究歷程，共同展示了如何從噪聲中提煉出隱藏的秩序。

腳注

[1] 德萊利斯與福卡爾迪整合的基礎性成果包括蓋伊?戴維（Guy David）的工作，他在正則性猜想上取得重要進展。本書還詳細記述了路易吉?安布羅西奧、約翰?安德森、亞歷克西斯?邦內、尼古拉?富斯科、讓 — 克里斯托夫?萊熱、哈伊克?米卡耶良、迭戈?帕拉拉以及德萊利斯與福卡爾迪本人的關鍵貢獻。

[2] 對這類結構（尤其是 “裂隙端點” 行為）的決定性分析，建立在德萊利斯、福卡爾迪與數學學院訪問學者（2019–2021年）西爾維婭?吉納西（Silvia Ghinassi）的合作研究基礎之上。

本文刊載于《IAS高等研究院通訊》Institute Letter2026年春夏刊

參考資料

https://www.ias.edu/ideas/old-and-new-math-ns-library-computer-vision-pure-math

https://www.ias.edu/publications/institute-letter/institute-letter-springsummer-2026

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