如何解開分式的 “纏繞”——AMS美國數學會專欄

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你可以拿起環面，水平旋轉它，就像擰開一罐花生醬的蓋子一樣……

作者：戴安娜?戴維斯（Diana Davis，菲利普斯埃克塞特學院）2026-3-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-6

百吉餅上的繩子

問題是這樣的：你的百吉餅上繞著一個環面紐結，你需要把它解開才能取下來。怎么做才最妥當？簡單來說，答案就是歐幾里得算法。詳細解釋的話，這趟旅程會串聯起幾何、動力系統和群論等優美的數學分支。我們現在就開始吧！

首先，假設有一根繩子繞在百吉餅上。它穿過百吉餅中心的孔洞12次，沿著赤道環繞5次：這就是一個 (12, 5) 環面紐結。我選擇12和5這兩個數字，是因為5月12日是瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani，伊朗菲爾茲獎得主）的生日。

示意圖：一個環面，上面的繩子穿過中心孔洞12次，沿赤道環繞5次

這個(12, 5)環面紐結對應的路徑斜率為12/5。我們的目標是把這條路徑解開，直到它的斜率變為0。

示意圖：箭頭指示一次“解繞”操作，最終環面上只留下一圈沿赤道的繩環

答案揭曉

具體方法是：先將百吉餅垂直解繞兩次，再水平解繞兩次，最后再垂直解繞兩次。大功告成！

示意圖：箭頭展示了多步解繞的完整過程

我們是如何想到這個方法的？這背后又有什么原理？請繼續往下看。

我們的工具

1. 歐幾里得算法

給定兩個正整數，如果你想求它們的最大公約數（Greatest Common Divisor, GCD），最好的方法就是使用歐幾里得算法，步驟如下：

1. 用較大的數減去較小的數；

2. 重復上述步驟，直到兩個數相等；

3. 此時的數就是最大公約數！

示例：布萊娜·克拉（Bryna Kra）是美國數學會（AMS）上一任主席，她的生日是10月6日。我們來求10和6的最大公約數：

• (10, 6) —— 6更小，用10減6 → (4, 6)

• (4, 6) —— 4更小，用6減4 → (4, 2)

• (4, 2) —— 2更小，用4減2 → (2, 2)

• (2, 2) —— 大功告成！10和6的最大公約數是2。

人們青睞歐幾里得算法，因為它快捷高效。很多人會對算法進行優化，一次性減去較小數的所有倍數，但在本文中，我們選擇逐次相減。

留給你的思考題：任意給定一個生日（月和日），月數和日數的最大公約數為1的概率是多少？

2. 環面的扭轉

我們要用到的“扭轉”，是方形環面的自同構映射——這類映射是環面的對稱變換，既能保持環面的結構，又能將相鄰的點映射到相鄰的位置。

旋轉就是一種很直觀的自同構映射：你可以拿起環面水平旋轉（就像擰開花生醬罐子的蓋子），也可以穿過孔洞旋轉（就像把皺成一團的襪子拉平整套在腿上）。不過，我們要用到的自同構映射不是旋轉，而是扭轉，扭轉分為水平扭轉和垂直扭轉兩種。

我們先來看垂直扭轉：

1. 用一個豎直平面把環面切開，就像把一個美味的甜甜圈切開，準備和朋友分享；

2. 固定住其中一側，抓住另一側，將其完整扭轉一圈；

3. 最后把切開的兩端重新粘在一起。（哎呀！看來你最終還是沒舍得和朋友分享。）

恰好扭轉一整圈時，相鄰的點會完美地重新貼合，和扭轉前的狀態完全一致，因此這是一種環面的自同構映射。

示意圖：一個甜甜圈被豎直平面切開，箭頭指示扭轉的方向

垂直扭轉對環面紐結有什么影響？以本文的例子來說，它會把 (12, 5) 紐結 變成 (7, 5) 紐結。

示意圖：垂直解繞一個紐結的過程

需要注意的是，扭轉方向是可以相反的——反向扭轉不會簡化路徑，反而會讓它變得更復雜，比如會把(12, 5)紐結變成(17, 5)紐結。

示意圖：垂直反向扭轉導致紐結更復雜

命題：若p > q，上述簡化性垂直扭轉操作，會將 (p, q) 環面紐結轉化為 (p-q, q) 環面紐結。

證明：(p, q)環面紐結原本穿過孔洞p次。當你切開環面時，切口處會有q個繩結交點。每進行一次垂直解繞，每個交點都會“退出”一次孔洞穿越，因此最終路徑穿過孔洞的次數變為p-q。由于扭轉僅在垂直方向進行，沿赤道環繞的次數q保持不變。

接下來我們看水平扭轉：

1. 用一把鋒利的刀沿著環面的赤道切開，就像你準備把百吉餅切成兩半抹奶油芝士，但又還沒下定決心；

2. 固定住下半部分，抓住上半部分，像擰花生醬瓶蓋一樣將其扭轉；

3. 把上半部分完整扭轉一圈后，再將兩部分粘回去。（算了，今天還是不吃奶油芝士了。）

和垂直扭轉同理，恰好扭轉一整圈能保證相鄰點完美貼合，因此這也是一種自同構映射。

示意圖：水平切開紐結，再進行扭轉的過程

水平扭轉對環面紐結的影響是什么？它會把 (2, 5) 紐結 變成 (2, 3) 紐結。

示意圖：通過水平扭轉簡化紐結的過程

同樣需要注意，反向水平扭轉會讓路徑更復雜，比如把(2, 5)紐結變成(7, 5)紐結。

示意圖：水平反向扭轉導致紐結更復雜

命題：若p < q，上述簡化性水平扭轉操作，會將 (p, q) 環面紐結 轉化為 (p, q-p) 環面紐結。

證明：與前述垂直扭轉的證明類似，只需將垂直和水平的作用互換即可。

讓分式變得更簡單

現在我們來揭示環面扭轉與歐幾里得算法的關聯。我們從 (12, 5) 環面紐結 開始：

1. 因為12 > 5，我們進行垂直扭轉，將(12, 5)紐結轉化為(7, 5)紐結；

2. 此時仍然滿足 7 > 5，再次進行垂直扭轉，將(7, 5)紐結轉化為(2, 5)紐結；

3. 現在 2 < 5，我們切換為水平扭轉，將(2, 5)紐結轉化為(2, 3)紐結；

4. 仍然滿足 2 < 3，繼續進行水平扭轉，將(2, 3)紐結轉化為(2, 1)紐結；

5. 此時 2 > 1，我們連續進行兩次垂直扭轉，依次將(2, 1)紐結轉化為(1, 1)紐結，最終得到(0, 1)紐結。

大功告成！這就是我們夢寐以求的赤道繩環。至此，我們成功將復雜的(12, 5)環面紐結，解繞成了最簡單、最“樸素”的赤道路徑。值得驕傲！

反向操作：構造復雜紐結

假設你想給英格麗·多貝西（Ingrid Daubechies）準備一份別致的禮物。她的生日是8月17日，所以你決定送她一個繞著(17, 8)環面紐結的環面。現在你手上只有一個帶著樸素赤道繩環的環面，需要通過哪些扭轉操作，才能得到想要的紐結呢？

我們可以先用歐幾里得算法拆解(17, 8)：

(17, 8) x→V (9, 8) x→V (1, 8) x→H (1, 7) x→H (1, 6) x→H ? x→H (1, 1) x→V (0, 1)

注：箭頭標注V代表垂直扭轉，標注H代表水平扭轉。

從上述過程可以看出，要把(17, 8)紐結簡化為(0, 1)赤道繩環，需要依次執行的變換為：VVHHHHHHHV = V2H?V。

因此，要反向操作——把赤道繩環扭轉成英格麗·多貝西生日對應的(17, 8)紐結，我們需要逆序執行上述變換，即：VH?V2。

（注：簡化紐結時，我們用的是“解繞”方向；構造紐結時，我們用的是每個自同構映射的“扭轉”方向。）

我們來實際操作一下！

示意圖：一系列扭轉操作的動態演示，展示赤道繩環如何逐步變成復雜的紐結

英格麗·多貝西，生日快樂！

動手制作你專屬的紐結

你最近有朋友要過生日嗎？想給那個特別的人準備一份獨一無二的禮物？本文所有示意圖都是用Desmos 3D函數制作的，點擊鏈接即可使用同款工具：https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

延伸數學閱讀

本文的核心思想，來自我最近與美國數學會（AMS）合作出版的一本問題導向型著作——《臺球、曲面與幾何》

Billiards, Surfaces, and Geometry

這本書的前兩章構建了一套“大一統理論”，將方形臺球桌上的臺球軌跡、臺球撞擊桌邊的順序列表、環面的自同構映射，以及連分數這幾個概念串聯起來。本文探討的環面紐結與歐幾里得算法的關聯，正是這套宏大理論的一部分。如果你喜歡本文的內容，不妨讀一讀這本書，探索更多精彩內容，還能親自參與到問題的推導中。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/03/01/how-to-untwist-your-fractions/

https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

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