《夏洛特煩惱》

撰文 | 烏其多

審校 | 劉六七

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眾所不周知，大部分編程語言都算不出0.1+0.2=0.3。

比如Javascript一通計算下的結果就為：0.30000000000000004！

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你可能會說：“你先等會兒!”

然后打開windows上自帶的計算器，輸入“0.1+0.2”,然后拿著計算結果掄圓了準備打我的小臉。

自制

其實，計算器看似正確的結果，只是計算器把存在精度問題的最后幾位在顯示的時候舍入掉了而已。我們可以理解為這是一種“障眼法”。

自制

那問題到底出在哪兒？

要理解這個現象，得先搞明白計算機是怎么看待小數的。

我們平時用的是十進制，但計算機只懂二進制，也就是那一堆0和1。把十進制小數轉成二進制，用的是“乘2取整”法。以 0.1 為例：

自制

看出來了嗎？0.1 的二進制是無限循環的：0.00011001100110011……（0011 循環）。

同樣，0.2 的二進制也是無限循環：0.0011001100110011……（0011 循環）。

看不出來也不要緊，我們只要記住：我們十進制世界里大部分稀松平常的小數，二進制都是無法精準表達的。

0.1 和 0.2在二進制世界里，就是“無限循環小數”，也就如同十進制無法精確表示 1/3 一樣。

除了0.1和0.2以外，π、√2等數學上的無理數（無限不循環小數），二進制下更是超綱了，計算機同樣也是無法精確表示的。

弄懂了這個概念，我們再來看計算機的存儲法則。

我們現在主流的編程語言，通用的存儲法基本都是“IEEE 754浮點數標準”，只要是使用了這個存儲標準的語言，比如JavaScript、C/C++、Java、以及曾號稱人人都應該掌握的Python等等，都是無法準確計算出“0.1+0.2=0.3”的。

自制

IEEE 754是由電氣與電子工程師協會（IEEE）于1985年制定的浮點運算技術標準。

在這部“數字憲法”制定之前，各大計算機廠家都有自己的浮點數存儲法則，你不兼容我的，我不care你的，主打一個各論各的，造成了很多混亂。

IEEE 754標準就規定了浮點數在計算機中的存儲格式，常見的有32位單精度和64位雙精度。每個數被拆分為符號位、指數位和尾數位三部分，尾數位長度是固定的（如雙精度為52位），那么遇到無限循環或者無限不循環小數的時候，怎么辦？那就是把尾數“一剪沒”了。

這樣截斷或舍入，就給0.1和0.2造成了存儲誤差。兩個近似值相加，誤差累積，就導致了0.1+0.2≠0.3的現象。

梅開二度、二度返場｜《夏洛特煩惱》

你可能又得問：浮點數存儲為啥非得把尾數截了？計算機這么牛，全存了不行嗎？

答案很簡單：不是不想，是做不到。

很多人以為計算機存儲和計算都是絕對精確的，其實這是個誤解。

存整數確實可以——比如數字 42，轉成二進制 101010，放進固定大小的空間里，只要空間夠大（不溢出），拿出來還是 42，分毫不差。就像把雞蛋放進倉庫，拿出來還是那個雞蛋。

但問題是，數學世界里的數遠不止如此。無限循環和無限不循環的數，遠遠多于整數。

計算機的存儲空間是有限的，無論用多少位，都裝不下一個無限長的二進制串。所以，它只能截取前幾十位，后面的直接扔掉。

你可能又會想：那能不能把空間做得再大點，存更多位？從幾十位變成幾百位也行啊！

理論上可以，但實際意義不大。

對絕大多數工程、圖形、科學計算來說，“IEEE 754浮點數存儲法”所用的 64 位雙精度（約 15-17 位有效數字）已經足夠精確。

對不同領域來說，計算精度要求是不同的，天文學家能算準光年就很牛了｜網絡

如設計飛機、渲染電影、模擬天氣，沒人需要知道 π 的第10000位是什么（當然，π能不能算到最后一位，在數學上意義重大，可能意味著數學大廈的地基比如微積分、極限理論被動搖）。況且，無理數有無窮多個，再大的空間也裝不完。

所以計算機選擇了一種“務實”的策略：用有限的存儲，近似地表示所有的實數。專業的相關學科就叫做計算機數值分析，研究的就是“近似”的藝術。

對于任何一個數值計算問題，數值分析都會追問：誤差有多大？算法快不快？結果穩不穩？能不能算出來？只要這四個問題都能給出滿意的答案，那就是合格的計算結果。

回到 0.1 + 0.2。這不是程序的 bug，而是二進制與有限存儲共同作用的必然結果。

理解這個“誤差”，就是數值分析教給我們的最重要一課：

認識誤差，理解誤差，最終學會與誤差共存，并控制它。

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參考資料：

[1]https://bbs.huaweicloud.com/blogs/287063

[2] https://www.puntoflotante.net/FLOATING-POINT-FORMAT-IEEE-754.htm

[3]https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html

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