算法輔助發現數學常數間的內在規律——Rotem Elimelech

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近幾十年來，計算機算法為數學領域的諸多發現提供了助力，其應用主要集中在大參數空間的探索。隨著計算機算力的不斷提升，一種極具吸引力的可能性逐漸顯現 —— 人類直覺與計算機算法的結合，有望發現那些原本難以捉摸的數學結構。

本文中，我們將展示如何通過計算機輔助，發現一種此前未知的數學結構 ——守恒矩陣場（CMF，conservative matrix field）。借鑒拉馬努金機器項目的研究思路，我們開發了一款大規模并行計算機算法，為眾多數學常數推導出了大量連分數形式的公式。從這些公式中提煉的規律，不僅助力我們構建出首個守恒矩陣場，還揭示了該結構的核心特性。

守恒矩陣場讓 π 與 ln2、自然常數 e 與岡珀茨（Gompertz）常數等不同數學常數之間顯現出意想不到的關聯。此外，這一矩陣場還能建立起看似毫無關聯的公式之間的聯系，實現了數百個現有公式的統一，并能衍生出無窮多個新公式。我們以黎曼 ζ 函數 ζ(n) 的取值為例驗證上述結論，該函數在數學和物理領域已被研究數百年。

同時，守恒矩陣場也為數學常數的無理性證明提供了新方法，例如，我們利用這一結構對阿佩里（Apéry）關于 ζ(3) 無理性的經典證明進行了推廣。本研究借助全球數千臺個人計算機開展計算，證明了大規模計算方法在解決數學領域長期懸而未決的難題、發現不同科學領域間潛在關聯方面的巨大潛力。

作者：Rotem Elimelech等（以色列海法理工學院電氣與計算機工程系）2024-6-14

Rotem Elimelecha, Ofir Davida, Carlos De la Cruz Menguala, Rotem Kalischa, Wolfgang Berndta, Michael Shalyta, Mark Silbersteina,Yaron Hadada, Ido Kaminera

PNAS《美國國家科學院院刊》

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-3-28

摘要

數學常數在幾何學、組合數學、數論、概率論等眾多數學分支和科學領域中自然出現。π、e、黃金分割比 φ 以及黎曼 ζ 函數的取值

ζ(n)=1??+2??+3??+…（n=2,3,…）

都是廣為人知的數學常數。黎曼 ζ 函數是數論領域數學探索的核心，其零點分布與素數分布存在密切關聯，而黎曼 ζ 函數零點的精確分布問題構成了黎曼猜想 —— 這一至今仍是純數學領域最重要的未解難題。

一個數學常數出現在不同的數學場景中，既體現了其重要性，也往往能推動學者發現數學領域的核心關聯。歐拉解決巴塞爾問題的經典案例便是這一規律的絕佳印證，他證明了 ζ(2)=π2/6的恒等式，由此建立起 π 與素數分布之間的深層聯系。

數學常數與其他數學結構間新關聯的發現，往往源于研究者的敏銳直覺或創造性突破。人們不禁猜想，是否存在一種更底層的核心概念，能夠涵蓋全部或大部分數學常數，并為這些常數的分類和排序提供理論框架。本文中，我們提出了這樣一種數學結構 ——守恒矩陣場（CMF，conservative matrix field），并證明該結構不僅能復現已知的常數間關聯，還能揭示此前未被發現的新關聯。通過這些關聯，守恒矩陣場構建了一個統一的理論框架，有助于深入研究數學常數的相互關系、內在特性及復雜度。

研究意義

本研究屬于科學人工智能領域，通過連分數公式建立了不同數學常數之間的關聯，并為證明數學常數的無理性這一數論核心問題提供了新方法。本研究的關鍵突破是發現了階乘約簡（factorial reduction）現象 —— 這一現象在從經典研究到最新成果的眾多數學常數公式中普遍存在。本研究是實驗數學領域規模最大的自動化發現研究之一，數千名志愿者參與其中，使大規模并行算法連續運行超過兩年。該研究不僅展現了實驗數學對廣大數學愛好者群體的影響力，也為這類研究的進一步開展提供了借鑒。

利益聲明

作者聲明無利益沖突。本文為PNAS《美國國家科學院院刊》直接投稿文章，?2024 作者所有，由《美國國家科學院院刊》出版，采用知識共享署名 - 非商業性使用 - 禁止演繹 4.0 協議（CC BY-NC-ND）發布。

一、數學常數的復雜度

理解數學常數內在本質的核心問題是判斷其有理性，這一屬性可作為衡量常數復雜度的重要指標。判斷一個常數是有理數還是無理數并非易事，黎曼 ζ 函數在奇數處的取值情況便印證了這一點：1978 年阿佩里證明了 ζ(3) 的無理性，這是該領域為數不多的研究成果，而所有更高階的奇數 ζ 值的有理性至今仍未確定（相關部分成果見參考文獻 6-8）。同樣，卡塔蘭常數 G、岡珀茨常數 δ、歐拉 - 馬歇羅尼常數 γ 等著名常數的無理性也尚未得到證明。

除了將數簡單劃分為有理數和無理數外，無理性測度的概念為衡量數的復雜度提供了更精細的方法。該測度用于量化一個常數被無窮多個不同有理數逼近的速度：有理數的無理性測度為 0，無理數的無理性測度至少為 1，部分數的無理性測度甚至可以任意大。然而，絕大多數實數的無理性測度為 1，這意味著學界需要一套更精準的常數分類體系。

本研究的目標是通過量化表示各數學常數的公式復雜度，建立更精細的常數層級結構，并據此對常數進行聚類。接下來，我們將介紹連分數公式，并闡述這類公式為何特別適用于計算機輔助研究。

二、算法驅動的常數公式發現

阿佩里關于 ζ(3) 無理性的經典證明，正是利用連分數公式實現了對該常數的高效逼近：

該公式是多項式連分數（PCF，polynomial continued fraction）的典型例子，其部分分子和部分分母均為關于深度 n 的整系數多項式。對這類連分數進行截斷，可得到一列逼近目標常數的有理數，進而用于估算該常數的無理性測度。

多項式連分數的數學應用范圍十分廣泛，可用于表示三角函數、貝塞爾函數、伽馬函數、超幾何函數等多種數學函數，還能推廣一大類無窮級數，并對應具有多項式系數的線性遞推公式。同時，多項式連分數的計算復雜度較低，這一特性對計算機輔助研究至關重要。多項式連分數空間具有可枚舉性，因此可對其進行系統探索，且每個連分數都能被高效求解。

為致敬斯里尼瓦瑟?拉馬努金對數學的獨特貢獻而命名的拉馬努金機器項目（Ramanujan Machine project），首次提出通過算法自動發現多項式連分數公式的理念。該項目設計了兩種算法，通過將公式的數值解與常數匹配，發現如上述 ζ(3) 形式的連分數公式，其中中途相遇算法（meet-in-the-middle）是當時最成功的算法。該算法通過暴力搜索，將公式的數值展開式與常數 η 的線性分式變換形式(c?+c?η)/(c?+c?η)進行匹配，成功發現了大量公式，其中一個公式還為卡塔蘭常數的無理性測度建立了新的下界。

為突破中途相遇算法等暴力搜索方法的局限性，需要開發更先進的探索策略。通過分析拉馬努金機器項目得到的公式數據庫，我們在公式空間中發現了一個有趣的數值特性 ——階乘約簡（定義見第一部分），這一特性為我們開發更高效的公式發現算法奠定了基礎。

該算法屬于啟發式算法，其核心猜想為：著名數學常數的連分數公式常表現出階乘約簡特性，并基于此對搜索空間進行剪枝。盡管算法以啟發式猜想為基礎，但通過該算法發現的所有公式均經過了獨立驗證。該算法的一大優勢是適用于分布式計算，支持大規模并行搜索，由此發現的大量已知常數的多項式連分數公式，數量遠超以往所有人工推導的結果。

本研究采用了實驗數學的研究思路，即利用算法挖掘數學規律。算法能夠分析海量且難以人工處理的數據集，檢測數學結構中的模式和規律，為數學家提出更有力的猜想提供線索，甚至為嚴格的數學證明奠定基礎。這些研究結果會進一步推動新的實驗和猜想，形成數學領域的 “科學研究方法”。本研究通過兩輪算法驅動的科學研究，最終發現了守恒矩陣場的概念及其應用。

與物理實驗的作用類似，計算框架為數學家提供了 “虛擬實驗室”。算法與數學家的協同合作，加速了數學領域的發展，成為杰出數學家偶然靈感發現的重要補充。

三、數學結構的發現：守恒矩陣場

守恒矩陣場的發現，源于我們通過算法得到的大量多項式連分數公式數據集。對這些公式的分析顯示，其中存在反復出現的對稱性和規律，例如 π 的以下連分數公式：

上述第一個公式由布朗克爾發現、歐拉證明，第二個由拉馬努金機器項目發現，第三個由皮克特等人發現。在我們的公式數據集中，大量例子都呈現出這種顯著的相似性，這引發了一個問題：對于每個給定的常數，其所有公式空間中是否存在一個統御性的結構？

通過算法得到的海量公式，讓我們得以識別出若干無窮參數族公式，這些公式可表示 e、ln2、π、ζ(3) 等常數。對這些公式間關系的研究，催生了守恒矩陣場這一數學結構（定義見第二部分）。該結構不僅實現了對無窮公式族的統一，還能推導出收斂速度更快的公式。這一結構源于公式中發現的 “守恒律”，與物理學中表征守恒矢量場的守恒律相似。

守恒矩陣場的一個重要應用是，為證明數學常數的無理性指明了可行方向，我們以 ζ(3) 為例驗證了這一點，其他案例見補充材料第九部分。我們猜想，守恒矩陣場能夠統一一個特定常數的所有多項式連分數公式。此外，守恒矩陣場還揭示了不同常數間的有趣關聯，例如 π2 與卡塔蘭常數、π3 與 ζ(3)、e 與岡珀茨常數之間的關聯。這些發現表明，包括黎曼 ζ 函數取值在內的眾多數學常數，可能通過守恒矩陣場的框架相互關聯，這也支持了 “守恒矩陣場構建了數學常數層級結構” 的觀點。

1 分布式階乘約簡算法

與拉馬努金機器項目的算法類似，本研究的算法旨在發現將數學常數的線性分式變換與整系數多項式連分數相等的公式。該研究的核心挑戰在于搜索空間的無窮性 —— 隨著系數允許范圍的擴大，搜索空間呈指數級增長。若直接對搜索空間進行并行探索，會產生大量冗余計算：例如，將目標常數的搜索空間分配給不同計算節點時，不同節點會對同一個連分數進行重復計算，僅用于與不同常數或其變換形式匹配；而若讓計算節點共享結果以避免冗余，又會產生巨大的通信開銷。

為解決上述問題，本算法專門搜索具有階乘約簡特性的連分數。我們的核心猜想是：階乘約簡是連分數收斂于著名數學常數的標志性特征。該策略非常適合分布式計算，既不會產生冗余計算，也不存在通信瓶頸；同時，無需遍歷常數及其變換形式的無窮空間，大幅簡化了搜索過程。

該算法不僅用于搜索猜想的公式，其本身也基于一個指導性猜想。值得注意的是，算法生成的所有公式均經過獨立驗證，因此無需為階乘約簡算法的合理性進行證明，該算法本身可作為一個獨立的猜想等待形式化證明。

這一基于猜想的算法被證明是極為有效的，發現了大量數學常數的新公式，其中許多公式是以往方法未能發現的。階乘約簡特性的發現，得益于拉馬努金機器項目前期算法得到的海量公式數據庫。回顧研究過程，大量經過獨立驗證、且表現出階乘約簡特性的公式，進一步印證了 “階乘約簡是收斂于目標常數的公式的顯著特征” 這一觀點。

1.1 階乘約簡：實驗數學 “實驗室” 的發現

階乘約簡是關于多項式連分數漸近分數的分子p?和分母q?的最大公約數g?的一個觀測結論。

無窮連分數的第 n 個漸近分數，是將連分數在深度 n 處截斷后得到的數值，形式為：

該漸近分數也可表示為商p?/q?，其中p?和q?由以下遞推公式定義：

u? =a? u??? +b? u??? 【5】

初始條件為p??=1、p?=a?，q??=0、q?=1。若a?和b?均為整數，則p?和q?也為整數，此時記二者的最大公約數為g?。p?和q?的增長速度均為階乘的冪，即p?, q? ～ (n!)?（d 為正整數）。

表 1 展示了兩個連分數的漸近分數示例，及其對應的p?、q?和g?取值。

a? = 1+2n，b? = n2

n

p?

qg

0

1

1

1

1

4

3

1

2

24

19

1

3

204

160

4

4

2220

1744

4

5

144

→∞ ～n! ～n! ～n!

p?/q? → 4/π

a? = 4n，b? = n2

n

p?

qg

0

0

1

1

1

1

4

1

2

8

36

4

3

105

468

3

4

1808

8604

4

5

2

→∞ ～n! ～n! ?n!

p?/q? → 0.224216…

表 1 兩個多項式連分數的漸近分數示例

本算法的核心觀測結論為：收斂于目標數學常數的多項式連分數表現出一個特殊性質 —— 漸近分數的既約分子和既約分母的增長速度至多為指數級，即：

p?/g?、q?/g? ~ s? 【6】

而非約簡前p?和q?更快的階乘級增長速度，我們將這一觀測到的性質命名為階乘約簡（factorial reduction）。

研究發現，階乘約簡是一種極為罕見的特性：大范圍搜索表明，具有階乘約簡特性的連分數空間，是所有多項式連分數空間中的一個 “低維子空間”。但令人驚訝的是，拉馬努金機器項目前期算法發現的、收斂于 π、ζ(3)、卡塔蘭常數等眾多常數的所有多項式連分數公式，均表現出階乘約簡特性；同時，我們對數百年間文獻中收斂于這些常數的公式進行分析后發現，所有經過驗證的連分數和無窮級數均具有階乘約簡特性。

本研究的算法正是利用了這一意外卻簡單的特性：通過數值測試多項式連分數漸近分數的既約分子和既約分母的增長速度，僅保留指數級增長的連分數，舍棄階乘級增長的連分數。該方法無需預先確定極限常數，因此階乘約簡特性為高效識別收斂于數學常數的連分數提供了可能。圖 2 展示了對若干多項式連分數的測試，體現了本算法的有效性。

圖2 階乘約化（FR）性質的觀測結果——其與各類常數的關聯及其在連分數廣闊空間內的稀疏性

（A） 不同連分數的約化漸近分數增長率 s=?√(p? / g?)的計算結果，詳見表中內容。我們采用繪制負值 s 的方式，表示 p? / g? 存在負極限。即便是極為相似的連分數，也可能具有截然不同的增長率。我們觀測到，當連分數收斂于某一已知數學常數時，均會呈現指數增長特性。該方法可推導得出多種數學常數的表達式。

（B） 對同形式連分數的增長率進行對比后發現，唯一具有階乘約化性質的連分數，恰好是阿佩里（Apéry）在文獻（4,5）中發現的、收斂于ζ(3) 的那一個。連分數參數的細微變化即會對階乘約化性質產生影響，這表明該性質的存在具有極強的稀缺性。

（C） 表中列出了圖（A）中計算的各項多項式連分數，標注了其中具有/不具有階乘約化性質的連分數，以及收斂于已知常數或收斂于無閉合解析式常數的連分數。其中，G 為卡塔蘭常數；ζ^(5,1)=ζ(5)-ζ(4)+ζ(3)-ζ(2)+1 是公式11中取 s=5、R=1 時對應的連分數。

階乘約簡不僅是識別常數公式的有效工具，其本身也是一個值得研究的數學問題，該概念與阿佩里型無理性證明相關，還能為其他常數的無理性證明提供幫助。

1.2 公式搜索的分布式實現

階乘約簡特性的發現，讓分布式階乘約簡（DFR）算法的設計成為可能，該算法的核心步驟如下：

圖 3 差分階乘約化（DFR）算法的實現流程

本地方案構建：

我們的數據庫收集來自文獻資料和過往算法運行結果的公式，以此定義參數化多項式連分數的方案。搜索空間的參數范圍根據算力水平確定。

異地階乘約化驗證：

依托伯克利開放式網絡計算平臺（BOINC）志愿者社區提供的分布式計算能力，由各節點分別對連分數進行求值運算并開展階乘約化驗證 —— 這是該算法中計算量最大的環節。驗證通過的案例會被標記，以待后續分析。

本地結果核驗：

對所有標記案例的階乘約化特性進行獨立核驗，隨后采用整數關系探測算法（PSLQ）（文獻 40–42）將其與已知常數進行匹配。

1. 本地構建多項式連分數的搜索空間方案；

2. 將該方案發送至服務器，由服務器將其解析為若干小計算塊，確保普通家用計算機能在合理時間內完成單塊計算，計算塊通過伯克利開放式網絡計算平臺（BOINC）進行分發；

3. 由志愿者捐贈的遠端計算節點執行各計算塊，檢驗塊內每個多項式連分數是否具有階乘約簡特性，并將檢測結果返回（階乘約簡為極罕見事件）；

4. 本地對所有檢測到的階乘約簡案例進行自動驗證；

5. 嘗試將每個驗證后的、極限為 v 的公式與數學常數 η 匹配，將假設的等式(a+bη )/(c+dη)=v轉化為a+bη?cv?dηv=0，利用 PSLQ 算法尋找該方程的整數解 a、b、c、d，PSLQ 算法的成功求解即表示匹配成功，所有驗證后的公式（無論是否匹配成功）均被保存；

6. 對匹配成功的連分數進行更高深度的計算，對比更多位數值以進一步驗證，驗證后將這些匹配結果作為新猜想保存。

盡管絕大多數階乘約簡案例都能成功匹配到數學常數，但仍有部分案例無法匹配 —— 原因是 PSLQ 算法僅能針對輸入的有限常數列表進行測試。這些未匹配的案例仍會被保存為公式候選，用于后續結合更多常數進行測試、改進 PSLQ 算法的應用方式，或借助未來開發的更先進算法進行分析。

公式搜索中計算量最大的環節是階乘約簡的識別，原因是多項式連分數的候選空間十分龐大。例如，對次數分別為 5 和 10 的多項式a?和b?進行搜索（該子空間因包含 ζ(5) 的公式而具有研究價值，ζ(5) 的無理性仍是懸而未決的問題），僅系數在 -10 至 10 之間的多項式就包含3×1022個候選，現有計算能力難以完成這一計算量。為縮小搜索空間，我們采用非典范表示法對多項式進行篩選。

分布式計算為大參數空間的搜索提供了可能。我們首先在理工學院的宙斯計算集群上運行該分布式算法，隨后借助 BOINC 社區將算法部署到數千臺個人計算機上。本研究發現的數千個公式，很大程度上得益于 BOINC 社區的貢獻。通過 BOINC 實現分布式計算的一大優勢是，無論新手還是專家，都能參與到數學發現的過程中。

在 BOINC 社區的支持下，本研究的 DFR 算法從 2021 年 10 月開始在線運行。截至本文撰寫時，該算法已部署在 5000 多臺計算機上，運行期間有超過 1000 名志愿者參與。

1.3 算法發現的公式示例

本分布式算法發現了大量連分數公式，形成的數據集成為本研究后續發現的基礎。本節展示該數據集中的部分公式示例，這些公式均為首次發現，且截至目前大部分尚未得到證明。研究結果可在相關網站查詢，完整公式列表正以在線庫的形式整理，可供未來實驗數學研究使用。

首先展示黎曼 ζ 函數取值的部分公式，DFR 算法發現的結果包括：

該公式及其他相關公式可推廣為無窮公式族，與勒奇（Lerch）超越函數Φ 相關，該函數定義為：

其中 z、s 為復數，α>0。該函數的部分取值具有顯式表達式，且包含多個數學常數，例如以下公式建立了 ζ(3) 與 π3 的關聯：

算法還發現了包含不同 ζ 值的公式，例如：

以及公式【10】

該搜索還發現了無窮多族公式，這類公式可關聯任意數量的整數ζ值，其自變量取值上限為連分數中多項式b?次數的一半。我們在公式 【11】 中給出了其中一族公式：該公式對應的多項式次數為 5，根經參數R平移，其極限記為1/ζ^(s,R)；對于任意有理數R∈?，均可推導得到系數α?,…,α???∈?（詳見補充材料附錄 S3.A 節）。

公式【11】中所示的連分數通式族，僅僅是一個更廣泛無窮公式族的子集—— 該廣泛公式族可針對每個具有有理根的多項式b?，構造出一套含參的a?多項式集合。我們對該公式族展開了探究，并在補充材料附錄 S3 節中給出了相關證明。這些公式的復雜性恰恰凸顯了差分階乘約化（DFR）算法的應用前景，因為現有算法根本無法發現此類公式。

我們的研究以算法為驅動，發現了適用于其他常數的表達式，例如卡塔蘭常數G：

自動化搜索還發現了大量代數數的公式，包括次數大于 2 的代數數，例如：

該連分數近期也被其他研究發現，且本研究發現其屬于任意次根的參數公式族：

補充材料第八部分S8進一步證明，該公式族本身是更廣泛連分數公式族的特例，后者的極限已在相關研究中被求解。

2 守恒矩陣場

實現 DFR 算法后，我們從得到的大量公式中提煉規律，其中一種方法是識別具有共同模式、且與不同數學常數相關的公式聚類。

圖4 從連分數的無窮公式族中生成高效收斂序列

表格給出了一組含參連分數公式族。各行對應參數α的整數值，由此得到的公式收斂于ζ(3)的分式線性變換。對每個序列中的所有元素進行該變換的逆變換后，可生成全部收斂于ζ(3)的序列。隨后，我們沿序列構成的二維網格選取 “對角線” 軌跡采樣，構造出一條新序列 —— 即從后續序列中依次選取對應元素。這條構造得到的序列可對ζ(3)實現高效逼近，并據此證明了ζ(3)的無理性。

值得注意的是，這類公式聚類會自然形成（參見圖4），對其性質的探索能帶來有趣的發現。具體而言，我們提出了一種數學結構，可對無窮多個多項式連分數進行推廣。該結構具有獨特的數學性質，能推導出具有新特征的多項式連分數，尤為重要的是，該結構不僅能推導出阿佩里用于證明 ζ(3) 無理性的多項式連分數，還能將其方法推廣到其他常數的證明中。

2.1 算法發現的無窮公式族

DFR 算法得到了大量公式，我們將其歸為若干無窮參數族。以 ζ(3) 相關的無窮公式族為例，該公式族由參數 α 進行參數化。計算發現，對于任意有理數值的 α，該公式族的極限均為雙伽馬函數ψ?2?的取值（雙伽馬函數定義為 Γ'(z)/Γ(z) 的導數，Γ 為伽馬函數）。對于任意整數值的 α，該公式族均能通過線性分式變換得到 ζ(3)=?ψ?2?(1)/2。

對每個整數值 α 對應的公式進行逆變換，可得到無窮多列收斂于 ζ(3) 的序列。我們從第 n 個序列中選取第 n 項，構造出一列收斂于 ζ(3) 的有理數，該序列的收斂速度遠快于其構建所用的任意一個連分數，為 ζ(3) 提供了更高效的表示形式 —— 而這一序列正是阿佩里用于證明 ζ(3) 無理性的序列。

這一發現表明，可基于無窮連分數公式族構建高效的常數公式。下一節將對該方法進行形式化定義，揭示其背后的數學結構 —— 該結構不僅能推廣我們的發現，還能建立不同數學常數間的關聯。更多無窮公式族的例子見補充材料第三部分S3。

2.2 利用守恒矩陣場實現公式統一

我們提出一種數學結構，可將表示特定常數的所有連分數公式族統一起來。為解釋該概念的起源和意義，我們將連分數轉化為矩陣表示，并以 ζ(3) 的公式為核心示例進行分析。

任意連分數均可表示為 2×2 矩陣的乘積，因為連分數本質上是線性分式變換的復合。漸近分數的分子p?和分母q?滿足的遞推公式，可轉化為矩陣形式：

矩陣V(n)被定義為系統在整數點 n=1,2,3,… 處的狀態矩陣，矩陣Mx(n)為從 n 到 n+1 的一步轉移所需的作用矩陣。上式描述了從整數點 1 到 n+1 的轉移過程，當n→∞時，狀態矩陣V(n+1)列向量的比值p???/q???和p?/q?均收斂于連分數的極限。

考慮圖 4 表格中由整數參數 α 索引的無窮公式族，每個公式均收斂于 ζ(3) 的一個線性分式變換。為每個公式的矩陣表示增加對索引 α 的依賴，可得：

V(n+1,α)=V(1,α)?Mx(1,α)?…?Mx(n,α) 【13】

其中矩陣Mx(x,y)定義為：

公式【13】可直觀解釋為沿水平軌跡的連續轉移，我們將 α=1,2,3,… 對應的水平軌跡排列為從下到上的平行線，形成一個二維網格。為方便分析，將參數 (n,α) 重新標記為 (x,y)。

接下來，我們分析網格中沿垂直方向的單位轉移所需的作用，即從V(x,y)到V(x,y+1)的轉移，記該轉移的作用矩陣為M?(x,y)。為使該記號有明確定義，水平和垂直轉移需滿足交換性，即對所有整數 x,y≥1，有：

Mx(x,y)?M?(x+1,y)=M?(x,y)?Mx(x,y+1) 【15】

該條件我們在圖5B中解釋。

圖 5 守恒（保守）向量場與守恒矩陣場的對比

（A） 守恒 向量場具有路徑無關性，即沿不同路徑的積分結果相同。

（B） 類似地，守恒矩陣場同樣具有路徑無關性，但該性質針對的是沿路徑的矩陣乘法運算。運算所得矩陣僅取決于初始位置與最終位置。有趣的是，研究發現守恒矩陣場具備一項額外特性：延伸至無窮遠的路徑對應連分數表達式。

（C） 圖中所示的每條路徑均對應同一數學常數的不同表達式。此處給出的連分數示例，均源自自然常數 e 對應的守恒矩陣場（詳見補充材料附錄 S4.A 節）。對于任意存在守恒矩陣場的常數，均可推導得到其對應的連分數表達式。

我們提出如下猜想：所有收斂于某一常數的連分數與無窮級數，均可由該常數對應的單一守恒矩陣場推導得出。

一般而言，對于任意的Mx(x,y)，連接矩陣M?(x,y)并非必然為關于 (x,y) 的多項式矩陣，但令人驚訝的是，在我們的示例中，M?(x,y)具有如下形式：

守恒矩陣場的定義為：若 2×2 矩陣Mx(x,y)和M?(x,y)的元素均為關于 x 和 y 的整系數多項式，且在Mx和M?行列式非零的 x,y 范圍內滿足上述守恒性質（公式【15】），則稱這兩個矩陣構成一個守恒矩陣場。

守恒性質（公式【15】，或稱cocycle equation 上循環方程）保證了沿二維網格中任意軌跡轉移的作用矩陣，僅與軌跡的初始和最終坐標有關。這一路徑無關性特征與物理學中守恒矢量場的固有性質相似，只是將路徑積分替換為矩陣乘法。基于這一類比，守恒矩陣場的狀態V(x,y)可理解為矩陣勢，表示從固定原點（如 (1,1)）到點 (x,y) 的任意軌跡的作用矩陣。具體而言，V(x,y)可通過沿連接原點和點 (x,y) 的任意軌跡，依次相乘矩陣Mx和M?得到。

V (x, y) = Mx (1, 1) · Mx (2, 1) · · · · · Mx (x ? 1, 1)

· M? (x, 1) · M? (x, 2) · · · · · M? (x, y ? 1)

V (x, y) = M? (1, 1) · M? (1, 2) · · · · · M? (1, y ? 1)

· Mx (1, y) · Mx (2, y) · · · · · Mx (x ? 1, y)

即函數V(x,y)的計算可通過兩種方式實現：先向右平移x-1個單位，再向上平移y-1個單位；反之亦然。

我們將從原點出發的軌跡的極限，定義為當沿軌跡趨于無窮時，勢矩陣 V 右列元素的比值。在上述示例守恒矩陣場中，沿水平軌跡的極限對應圖 4 第一行的連分數。一個重要的觀測結論是：該示例守恒矩陣場中，沿任意軌跡的極限均收斂于 1/ζ(3)（該結論已在相關研究中得到證明）。基于這一結論，我們可從守恒矩陣場的不同軌跡方向，推導出大量 ζ(3) 的公式。更令人驚訝的是，這一性質在多個守恒矩陣場中均成立，從而為各類數學常數生成了無窮公式族。

我們構建了豐富的守恒矩陣場集合（見補充材料第四部分S4），這些矩陣場最初由 DFR 算法從圖 4 所示的無窮公式族中發現，而這些示例又促使我們發現了守恒矩陣場的解析構造方法（見補充材料第八部分）。該構造方法表明，守恒矩陣場是有理 Wilf-Zeilberger 對概念的推廣。有趣的是，與算法發現的守恒矩陣場一樣，為 π、ζ(2) 等常數解析構造的守恒矩陣場，其極限也具有軌跡不變性。這表明，存在一個基本原理統御著一類具有明確定義極限的守恒矩陣場。對該類矩陣場進行公理化，有望拓寬守恒矩陣場的應用范圍，從優化數值逼近方法、輔助符號計算，到為無理性證明提供新途徑。

守恒矩陣場的定義要求兩個矩陣Mx(x,y)和M?(x,y)滿足守恒性質，該定義可自然推廣到 d 個兩兩交換的矩陣：

Mx?(x?,…,xd),…,Mxd(x?,…,xd)

形成d 維守恒矩陣場（每個矩陣仍為 2×2）。補充材料第五部分展示了一個四維守恒矩陣場的示例，該矩陣場沿任意無窮軌跡均收斂于 ζ(2)。

2.3 基于守恒矩陣場的常數間關聯

我們已經發現，每個守恒矩陣場可通過沿不同的直軌跡，生成一個常數的無窮多公式，每個公式均可轉化為連分數。且值得注意的是，若沿一個方向的公式具有階乘約簡特性，則沿所有方向的公式均具有該特性。這些觀測結果引出一個極具吸引力的猜想：一個常數的所有連分數公式，均可由一個單一的高維守恒矩陣場生成。

計算實驗表明，守恒矩陣場可建立不同數學常數間的關聯。具體而言，從非 (1,1) 的點（如 (1/2,1)）出發的軌跡，會生成收斂于新極限的序列，且這些序列均源于同一個矩陣場。與整數平移不同 —— 整數平移通過線性分式變換將極限與原常數關聯，非整數有理平移往往會得到不同的常數。例如，沿 y 軸將初始點平移 1/2 后，π 和2可由同一個守恒矩陣場生成；四維守恒矩陣場將 ζ(2) 與卡塔蘭常數 G 關聯起來，π3 與 ζ(3) 也存在類似關聯；對軌跡進行非整數有理縮放，也能建立常數間的關聯，例如將 π 的矩陣場某一軸縮放 1/2 后，沿 x 方向的軌跡可將 π 與 ln2 關聯。

這些關聯具有重要的研究價值，因為它們能將一個常數的公式遷移到另一個常數，還有助于證明常數間的共同性質。若兩個常數可通過有理平移從同一個矩陣場生成，則可將它們歸為同一層級 —— 守恒矩陣場保證了它們由具有相同結構、多項式次數相同的遞推公式推導而來。

守恒矩陣場中不同的軌跡，可通過具有迥異屬性的公式表示同一個常數，例如收斂速度和無理性測度的差異。下文將分析二維矩陣場中不同斜率的直軌跡，如何為對應常數的無理性測度提供不同的下界。

2.4 無理性證明

自阿佩里突破性地證明 ζ(3) 的無理性以來，學界一直嘗試將其方法推廣，為其他常數的無理性提供證明。本節將證明，ζ(3) 的守恒矩陣場可為其無理性證明提供系統化方法，且該方法可推廣到不同的守恒矩陣場，為其他常數的無理性證明開辟新路徑。

所有這類證明的核心前提是：收斂于一個常數的任意連分數，都會生成一列有理數逼近，若該逼近的收斂速度足夠快，則可證明該常數的無理性。這一結論可通過劉維爾 - 羅思（Liouville–Roth）無理性測度進行量化。實數 L 的無理性測度定義為所有滿足以下條件的 δ 的上確界δ?：存在一列收斂于 L 的不同有理數{p?/q?}，使得對于充分大的 n，有：

【17】

根據狄利克雷的經典結論，有理數的無理性測度δ?=0，無理數的無理性測度δ?≥1。結合這兩個結論，可得無理性判定準則：若收斂于 L 的無窮有理序列具有正的無理性測度，則 L 為無理數。

可將有理序列{p?/q?}的無理性測度 δ定義為：存在該序列的一個子序列滿足上式的最大 δ 值。該 δ 值為極限常數的無理性測度δ?提供了下界，因此可用于證明常數的無理性。例如，阿佩里用于證明 ζ(3) 無理性的連分數，其無理性測度 δ≈0.08。

守恒矩陣場為 δ 提供了閉式公式，將阿佩里的方法推廣到任意多項式連分數，為每個常數提供了參數化的有理逼近族。該公式源于我們在矩陣場中發現的強階乘約簡特性（經次數平衡后）：記g(x,y)=GCD(V(x,y))為矩陣 V 四個元素的最大公約數，數值實驗表明，我們發現的絕大多數守恒矩陣場中，對于二維網格中趨于無窮的任意直軌跡t(n)=(x(n),y(n))，既約商V??(x,y)/g(x,y)均呈指數級增長，而非階乘級增長。我們猜想，若守恒矩陣場中四個既約商的多項式次數相同，則強階乘約簡是該類矩陣場的固有特性。指數增長的底數 s 與軌跡相關，可由任意矩陣元素ij推導得到，即s?≈V??(t(n))/g(t(n))。

因此，閉式 δ 公式為不同軌跡提供了不同的無理性測度值：

其中∣e???∣≤∣e???∣為當 x,y 趨于無窮時，軌跡t(n)=(x(n),y(n))的一步轉移矩陣的特征值。

2.5 ζ(3) 的無理性證明

為找到守恒矩陣場中使 δ 取最大值的軌跡，我們在二維網格的每個點處提取數值δ=δ(x,y)，該值可由下式推導得到（該式由公式【17】條件推出）：

其中V~(x,y)=V(x,y)/g(x,y)為網格中每個位置 (x,y) 的既約勢矩陣。由此得到定義在二維網格上的函數δ:?2→?，該函數沿每個方向趨于無窮時的極限，即為該方向對應的有理逼近的無理性測度。因此，我們需要尋找使該極限取最大值的方向。圖 6 給出了若干示例對應的δ(x,y) 分布情況，所有滿足δ>0 的位置均標記為紅色。沿圖中紅色區域內的任意軌跡構造序列，均可得到用于證明該常數無理性的序列。

圖 6 利用守恒矩陣場提取無理性度量

（A） 從ζ(3)的守恒矩陣場中提取的無理性度量。所有停留在紅色區域內的無窮軌跡，均可生成滿足δ>0的序列，從而證明ζ(3)的無理性。最優δ值沿x=y軌跡取得，該軌跡等價于阿佩里連分數（文獻 4、5、31）。

（B） 沿x軸平移1/3個單位后的ζ(3)守恒矩陣場。變換后得到的守恒矩陣場收斂于一個由ζ(3)與x3組合而成的常數，該常數的無理性尚未可知。此時最優δ值不再沿x=y軌跡取得。在補充材料附錄 S6.A 節中，我們提出了兩種基于優化的方法來檢測最優δ軌跡，圖中以彩色虛線軌跡對其進行了標注。盡管該守恒矩陣場不存在滿足δ>0的軌跡，但上述方法可在其他常數對應的矩陣場中得到δ>0的結果（詳見補充材料附錄 S9 節）。

（C） 對應34的矩陣場所提取的δ值。其最優軌跡為x=y，可得到滿足δ>0的結果，進而證明該常數的無理性。

為找到軌跡 x=y 的閉式表達式，我們定義M????(n)=Mx(n,n)?M?(n+1,n)，經次數平衡后的轉移矩陣為：

當n→∞時，該矩陣的特征值為e±=17±122。直接數值測試表明log s≈6.5，因此 δ≈0.08，與阿佩里證明 ζ(3) 無理性所用連分數的無理性測度一致。相關研究證明了如何利用該守恒矩陣場證明 ζ(3) 的無理性，補充材料第六部分證明了該矩陣與阿佩里連分數的等價性。

因此，守恒矩陣場是阿佩里連分數及其無理性證明背后的代數結構。這一發現進一步激勵學界為黎曼 ζ 函數的其他取值和其他數學常數，尋找類似的守恒矩陣場。例如，將該方法應用于 ζ(2) 的守恒矩陣場，也能為 ζ(2) 的無理性提供證明，且得到 δ≈0.09。將該方法推廣到 ζ(2) 和 ζ(3) 之外，學界仍需探索：其他 ζ(n) 是否存在類似的矩陣場？這些矩陣場是否能為其無理性證明提供幫助？補充材料第七部分為更高階的 ζ 值提供了類似方法，得到了具有非平凡、非正無理性測度的序列。

2.6 ζ(5) 的研究及無理性證明的探索

為 ζ(5) 構造守恒矩陣場具有重要的研究價值，因為其無理性是數論領域長期懸而未決的難題。盡管我們尚未找到這樣的矩陣場，但本節展示了若干 ζ(5) 的公式，這些公式可為其守恒矩陣場的構造奠定基礎。表 2 中的部分公式結合了黎曼 ζ 函數的多個取值，表明它們可能屬于不同的守恒矩陣場，或同一矩陣場的不同有理平移。表中三個發現的公式無法通過 PSLQ 算法與任何 ζ 值組合匹配，因此僅展示其數值解。

表 2 DFR 算法發現的、與 ζ(5) 相關的 5 次多項式連分數結果

a?

b?

公式

n?+(n+1)?+6(n3+(n+1)3) ?n1?

2/(2ζ(5)+6ζ(3)-9)

n?+(n+1)?+6(n3+(n+1)3)?4(2n+1) ?n1?

2/(2ζ(5)-2ζ(3)+1)

n?+(n+1)?+16(n3+(n+1)3)?4(2n+1)

?n1?

64/(64ζ(5)+176ζ(3)-273)

8(n?+(n+1)?)-15(n3+(n+1)3)+9(2n+1) ?n1?

1.20426…

8(n?+(n+1)?)?12(n3+(n+1)3)+7(2n+1) ?64n1?

2.45174…

8(n?+(n+1)?)+20(n3+(n+1)3)?5(2n+1) ?64n1?

22.8410…

DFR 算法發現了包含不同 ζ 函數值的無窮公式族，盡管我們尚未識別出能推廣這些連分數的矩陣場，但提出了一種利用這些公式提取有意義無理性測度的方法，并以 ζ(5) 為例進行了驗證。我們通過組合多個連分數，構造出收斂于 ζ(5) 的新序列：利用公式族極限的閉式表達式ζ^(s,R)，確定線性組合的系數c?，使得：

ζ(5)=c??ζ^(s=2,R?)+c??ζ^(s=3,R?)+c??ζ^(s=4,R?)+c??ζ^(s=5,R?)

【21】

將每個ζ^(s,R)替換為其連分數的漸近分數序列，即可得到 ζ(5) 的有理逼近序列。改變Ri的取值，可生成無窮多列 ζ(5) 的逼近序列，其結構與圖 4 類似。對不同Ri取值下的收斂速度分析，得到了 ζ(5) 的非平凡無理性測度，該方法有望將 ζ(5) 的無理性測度提升至現有記錄之上。

3 討論

分布式算法的引入，大幅增加了拉馬努金機器項目的公式候選數量，也帶來了新的算法挑戰：需要自動化方法為每個公式候選匹配對應的常數，還需要方法將公式推廣為參數族和守恒矩陣場。下文將詳細闡述這些挑戰。

3.1 連分數與數學常數間關聯的發現算法

DFR 算法可識別出具有潛力的連分數候選，但無法確定其極限。為找到連分數的閉式公式，我們利用整數關系算法 PSLQ，將候選常數與發現的連分數數值解進行匹配。

PSLQ 算法接收一個實向量z?，輸出滿足∑c?z?=0（誤差在預設范圍內）的整數c?。在本研究的 PSLQ 應用中，對于數值解為 v 的連分數和候選常數 η，輸入向量為 (1,η,-v,-vη)。若 PSLQ 算法輸出整數c?,c?,c?,c?，則有(c?+c?η)/(c?+c?η)=v成立。本研究的大部分結果均基于 PSLQ 算法的這一應用，得到了如上述 ζ(2) 形式的猜想公式。

PSLQ 算法的輸入向量還可包含多個常數或連分數，從而將研究范圍拓展到更復雜的公式。將 PSLQ 算法應用于這類向量，得到了本研究最具創新性的結果。我們猜想，改進后的 PSLQ 算法有望為本次研究發現的所有連分數提供閉式公式。

3.2 結果驗證

算法發現的猜想均經過數值測試，除非已被證明，否則可能存在假陽性。為降低假陽性概率，我們對連分數進行更高深度的計算，實現了超過 100 位精度的測試。但部分公式的收斂速度較慢，難以達到該精度。

為提高慢收斂公式的可信度，我們借鑒實驗物理學的方法 —— 通過識別多個可能存在誤差的觀測結果中的模式，支撐一個高可信度的模型。在本研究中，我們通過將慢收斂的連分數推廣為參數族，彌補其精度不足的問題。盡管每個公式的驗證精度有限，但公式族的形成能為其成員的有效性提供支撐。例如，ζ(3) 公式族的前幾個成員僅通過了不足 50 位精度的驗證，但該族中收斂速度更快的成員通過了更高精度的驗證，為整個公式族提供了數值支撐。與物理學類似 —— 候選模型能對未測試參數的實驗結果進行預測，我們也通過代入新參數并進行數值驗證，對候選參數公式族進行了測試。

最后，我們將數學表示的 “簡潔性” 作為結果驗證的一個依據：PSLQ 算法得到的更簡潔公式被認為更 “優美”，其正確性的概率更高，過擬合的風險更低。PSLQ 算法成功的一個經驗法則是：找到的整數的位數，遠小于連分數數值解的輸入精度。位數越少，表明公式的信息主要來自常數而非整數，證明了表示的簡潔性。若增加輸入精度后，PSLQ 算法的輸出結果保持不變，則該結果的可信度會進一步提升。

3.3 開放問題

本研究的算法方法在發現常數的猜想公式方面取得了巨大成功，海量的發現公式促使我們對同一常數的公式進行聚類，進而發現了公式間的關聯，最終引出了守恒矩陣場這一數學結構。該結構不僅生成了無窮多列連分數，為無理性證明提供了方法，還構建了數學常數的層級結構。

本研究的算法輔助研究提出了若干有趣的開放問題，尤其是關于守恒矩陣場性質的問題。核心問題是：每個常數是否對應唯一的守恒矩陣場？目前的研究結果支持這一猜想。若該猜想得到驗證，則意味著一個單一的守恒矩陣場可涵蓋一個特定常數的所有公式，而定義該矩陣場的最大維度（即矩陣的數量）可能成為常數的一個重要特征。

將守恒矩陣場的概念推廣到 2×2 以外的矩陣，可能會發現新的數學常數。任意次數的多項式是否均存在對應的守恒矩陣場，仍是一個開放問題，補充材料第八部分給出了次數最高為 3 的示例。

守恒矩陣場通過復雜度構建的常數層級結構，為識別同層級常數的共同性質提供了方法，有望揭示常數的核心特征。

3.4 研究展望

學界已開展多項開創性研究，將大規模計算應用于數學發現，例如尋找大梅森素數、大數分解、計算 π 的高精度值，同時該方法也應用于氣候模擬、地外文明搜索等其他科學領域。在這些研究中，定制化算法已成為科學發現的常規工具。盡管如此，算法輔助研究策略仍處于起步階段，隨著科學人工智能領域的不斷發展，基于更復雜算法的大規模計算研究正日益增多。

本研究展示了數論領域大規模實驗探索和發現的全過程，最終得到了一個統一的數學結構。傳統上，這類發現往往源于數學家的直覺，而我們預見，未來的數學推廣過程將實現算法輔助 —— 基于特征提取、模式識別等技術，對大規模實驗生成的數據集進行分析。我們期望算法能生成高質量的猜想，自動為研究者提出推廣方向，再由研究者進行驗證和最終證明。

階乘約簡啟發式為自動化推廣提供了一個典型案例：這一啟發式方法是本研究眾多結果的核心，源于研究者對實驗結果中涌現模式的人工觀測。未來的研究可探索自動化識別實驗結果中的異常或意外規律，例如本研究中發現的、在常數公式中普遍存在的階乘約簡特性。

展望未來，實驗數學中的算法方法將為研究長期懸而未決的數學難題提供更強大的工具。在未來幾年，更先進的算法將被定制用于生成復雜度更高的猜想，為數學各領域的發展提供新線索，加速解決諸如數學基本常數的結構和性質等深刻問題。

數據、材料與軟件可用性

本文描述的算法在拉馬努金機器項目的 GitHub 倉庫公開，拉馬努金機器項目的所有結果均可在其官方網站查詢，且會定期更新。

致謝

本研究得到施密特科學有限責任公司的資助。感謝伯克利開放式網絡計算平臺（BOINC）社區的志愿者，他們的貢獻使本研究的發現成為可能。

原文參考資料

參考資料

https://www.pnas.org/doi/full/10.1073/pnas.2321440121

https://mathworld.wolfram.com/FactorialReduction.html

https://arxiv.org/abs/2502.17533

https://neurips.cc/virtual/2025/loc/san-diego/poster/117099

https://github.com/RamanujanMachine/euler2ai

https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-find-one-pi-formula-to-rule-them-all/

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