第十七屆全國大學生數學競賽非數學專業B類試卷填空題詳細參考解答

注: 如果手機閱讀公式顯示不全, 請在公式上左滑手指顯示完整公式內容. 以下題目為第十七屆全國大學生數學競賽非數學專業B類試卷的填空題詳細解答, 思路與步驟僅供參考.

目錄

• 函數的第二類間斷點個數(同A)

• 一元函數的高階導數值

• 方向導數的計算

• 常值級數求和

• 定積分計算(同A)

函數 有______個第二類間斷點（填阿拉伯數字）.

解答：第二類間斷點是指：至少有一個單側極限不存在，或函數在該點附近趨于無窮大的間斷點。

由函數表達式可知，間斷點只能來自以下幾類位置：

(1) 要求 ，故 可能是間斷點；

(2) 時，即 ，可能是間斷點；

(3) 時，即 ，可能是間斷點。

下面分別討論。

（1）當 時： 有 ， 而 所以 . 故 是第二類間斷點。

（2）當 時： 此時在 的鄰域內有 ，因此

利用等價無窮小： , , , 可得

于是 所以 為可去間斷點，不是第二類間斷點。

（3）當 時： 有 , , , 因此分母趨于 ，分子趨于非零常數，從而 , 故 是第二類間斷點。

所以 第二類間斷點共有 個.

2、一元函數高階導數值的計算

設 則

解答：先將函數改寫為

法 1：特殊法(主要項).由于要求的是 處的三階導數，只需關注函數在 附近的低階主項。由于 ，故 , 從而整個第二項與 同階，是比 更高階的無窮小。因此，決定三階導數的只有第一項 。 于是

法 2：泰勒展開法.由 可得

又 , 得

所以 于是由泰勒展開的唯一性知， 項系數為 ，因此

法 3：直接求導法.記

則 逐階求導得：

下面計算 處的相關值。首先，

再求導：

代入 ，得 于是

3、方向導數的計算

設函數 則 在點 處沿曲線 的切線方向（指向逆時針方向）的方向導數為

法 1：圖形法.注意到 只依賴于 ，即它是關于 的復合函數。因此，在圓 上， 恒為常數，所以 也恒為常數。也就是說，該圓正是函數 的一條等值線。 沿等值線的切線方向前進，函數值不發生變化，因此方向導數為

法 2：公式法.令 則

由復合函數求導法則，得

因此在點 處，

故梯度為 曲線 在點 處的法向量可取為 于是其逆時針方向的單位切向量可取為

所以方向導數為

4、常值級數求和

設數列 滿足

則級數 的和等于

解答:記 當 時，

展開得 因此

于是

代入級數可得

這是一個裂項相消級數，因此

5、定積分計算

積分

解答.利用三角恒等變換：

所以原積分化為

令 , 則 且積分限變為：

• 當 時， ；

• 當 時， 。

因此 . 再作萬能代換：令 , 則

積分上下限對應為：

• 當 時， ；

• 當 時， , 所以

往期推薦閱讀

1、

2、

3、

4、

5、

微信公眾號：考研競賽數學(ID: xwmath)大學數學公共基礎課程分享交流平臺！支持咱號請點贊分享！