如十七世紀般解謎——AMS美國數學會專欄

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盡管這張表起初是按字母順序排列的，但其中出現了一處規律斷裂，而這恰恰是一條解謎線索……

《算術，或稱計算手冊》Arithmetica Oder Rechenbuch，德國薩克森州立與大學圖書館館藏，第 258v 對開頁

作者：厄休拉?惠徹（Ursula Whitcher）

來源：美國數學會專欄《數學評論》2026-4-1

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-2

下面這張表格摘自安東?舒爾茨（Anton Schultze）所著德語算術教科書的第二版，該書于 1600 年在利格尼茨（今波蘭萊格尼察）出版：

這張采用舊德語字體的表格，將該字母表的 24 個字母與數字 0 至 23 一一對應。字母 O 被賦值為 0，其余數字則按字母順序分配 ——a 對應 1，依次類推。

資料來源：《算術，或稱計算手冊》Arithmetica Oder Rechenbuch，http://digital.slub-dresden.de/id275288420 德國薩克森州立與大學圖書館館藏，第 258v 對開頁

你認為這張表有什么用途？

一種可能的猜測是，它代表一種簡單的替換密碼。該字母表共包含 24 個字母（在此處，字母 u 與 v 視為同一字母，i 與 j 也視為同一字母），因此只需將信息中的每個字母替換為對應的數字，就能讓信息變得晦澀難懂。我上小學時就玩過類似的游戲 —— 用 1 代表 a，2 代表 b，以此類推。

替換密碼的歷史遠比你我，甚至比安東?舒爾茨所處的年代還要久遠得多。有一種替換密碼規則是：將每個字母替換為字母表中向后移動固定位數的字母（例如，a 變成 c，b 變成 d，依此類推），必要時循環到字母表開頭。這種密碼因最著名的使用者尤利烏斯?凱撒（Julius Caesar）而得名，被稱為凱撒密碼。

但舒爾茨設計這張表格的目的卻另有所指。盡管表格開頭遵循字母順序，但規律的斷裂處暗藏線索：該字母表中的第 14 個字母 o，對應的數字并非 14，而是 0。其中的邏輯顯而易見 —— 字母 o 的外形與數字 0 極為相似。事實上，零正是整個設計的核心關鍵。舒爾茨并非要用單個數字替換單個字母，而是將字母當作數字符號使用，并以24 進制進行運算。

《算術，或稱計算手冊》的扉頁上，德語單詞 “Rechenbuch”（意為 “計算手冊”）以紅色字體印刷，首字母 R 還帶有華麗的裝飾圖案。

資料來源：舒爾茨所著教科書《算術，或稱計算手冊》扉頁，德國薩克森州立與大學圖書館館藏

我們來演算幾個例子。先從我們熟悉的十進制說起，再分析舒爾茨的 24 進制體系。

在十進制運算中，一個數的每一位數字都對應 10 的不同次冪。整數最右側的數字乘以10o（即 1），緊鄰的左側數字乘以101，以此類推。例如，數字 2026 可表示為：

2?103+0?102+2?101+6?10o=2×1000+0×100+2×10+6

舒爾茨在他的一個例子中用到了德語單詞 “aus”（意為 “出自”）。這個單詞對應的數字是多少呢？查閱表格可知，a 對應 1，u 對應 19，s 對應 17。（解讀這張表格需要對古代字母表略知一二！要記住，u 和 v 在此處是同一個字母；表格中的 s 是長 s—— 其寫法與積分符號中表示 “求和” 的 s 相同。）由于這套符號體系共有 24 種字符，因此運算時需以 24 的冪次為基數。據此，我們可將 “aus” 換算為：

1?242+19?241+17?24o=1×242+19×24+17=1049

為什么要設計這樣一套運算體系？對舒爾茨而言，這更像是一種數學趣味游戲。這張表格位于他教科書的最后一頁，他通過演示證明：一道涉及貨幣計算的乘除應用題，既可以用書中前文介紹的常規方法解答，也可以用這套 “字母當數字” 的新方法求解 —— 而后者計算步驟中每一步的答案，恰好能組成一句德語諺語。你可以在捷克數學家利博爾?庫德拉（Libor Koudela）的論文《一種早期的非十進制位值制記數法案例》 https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394 中查閱到完整細節。（你是否有靈感設計一道現代英語版本的 24 進制謎題？歡迎在評論區分享！）

我想花一點時間仔細分析庫德拉論文的標題 ——《一種早期的非十進制位值制記數法案例》。舒爾茨設計的這套謎題采用的是 24 進制，而非十進制，因此屬于非十進制范疇；同時，它又是一種位值制記數法，因為數字的位置（從右至左）決定了其代表的數值大小。

那么標題中的 “早期” 該如何理解？從某種程度上來說，這是一個主觀性的判斷。瑪雅數字是已知更早的非十進制位值制記數法案例。在最廣為人知的瑪雅記數體系中，人們將圓點與橫條組合使用 —— 橫條代表 5 的倍數，以此表示 1 至 20 之間的數字；貝殼形狀的符號則代表 0。瑪雅數字采用豎排書寫，閱讀順序為從下至上。以下是一個瑪雅數字的例子，它出自 13 至 14 世紀的《德累斯頓手抄本》Dresden Codex，采用的是 20 進制：

這組瑪雅數字由貝殼、橫條與圓點堆疊而成，分別代表數字 0、5 和 1。

資料來源：《德累斯頓手抄本》Dresden Codex中的瑪雅記數法示例，約公元 1200-1345 年

舒爾茨的算術教科書第一版出版于 1584 年。庫德拉提出，這使得舒爾茨的 24 進制謎題成為歐洲已知最早的非十進制位值制記數法實驗案例。英國數學家托馬斯?哈里奧特（Thomas Harriot）曾在 1600 至 1605 年間的未刊手稿中，嘗試設計二進制（基數為 2）記數符號。

17 世紀后期，眾多學者都對不同基數的記數法展開了探索，其中包括弗朗西斯?培根（Francis Bacon）、布萊士?帕斯卡（Blaise Pascal）和約翰?納皮爾（John Napier）。戈特弗里德?威廉?萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）—— 這位因微積分研究而聞名于世的數學家 —— 也曾撰寫多篇關于二進制的論文。這一現象向我們展現了科學社群的運作模式：眾多學者圍繞相似的研究方向展開探索與拓展，他們的靈感有時直接源自彼此，有時則會將同類研究素材以全新方式整合創新。

安東?舒爾茨所處的科學社群還包括他的子孫后代。他的孫女瑪麗亞?庫尼茨（Maria Cunitz）是一位天文學家，曾出版天文表著作《仁慈的烏拉尼亞》Urania Propitia。這部著作對約翰尼斯?開普勒（Johannes Kepler）的研究成果進行了簡化與修正。為紀念她的貢獻，金星上的一座隕石坑以及小行星 12624 都以她的名字命名（小行星名為 “瑪麗亞?庫尼茨星” Mariacunitia）。

這張基于雷達成像的視圖采用了人工增強色彩技術，呈現的是金星上以瑪麗亞?庫尼茨命名的隕石坑，背景中可見一座山脈。

資料來源：瑪麗亞?庫尼茨隕石坑的透視效果圖，由NASA美國國家航空航天局噴氣推進實驗室（JPL） https://science.nasa.gov/photojournal/venus-3-d-perspective-view-of-eistla-regio/ 基于雷達影像制作

利博爾?庫德拉Libor Koudela，《一種早期的非十進制位值制記數法案例》An early example of a nondecimal positional number system https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394 。《數學史雜志》Historia Mathematica，2025 年 9 月，第 72 卷，第 2-7 頁。

萊拉?麥克尼爾Leila McNeil，《丈量星辰的 17 世紀女天文學家》The 17th-Century Lady Astronomer Who Took Measure of the Stars 。https://www.smithsonianmag.com/science-nature/lady-astronomer-who-took-on-most-advanced-science-180962142/ 《史密森尼雜志》Smithsonian Magazine，2017 年。

勞埃德?斯特里克蘭Lloyd Strickland、哈里?R. 劉易斯Harry R. Lewis，《萊布尼茨論二進制：計算機算術的誕生》Leibniz on Binary: The Invention of Computer Arithmetic 。麻省理工學院出版社，2022 年。

參考資料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/04/01/puzzling-1600/

http://digital.slub-dresden.de/id275288420

https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0315086025000394

https://science.nasa.gov/photojournal/venus-3-d-perspective-view-of-eistla-regio/

https://www.smithsonianmag.com/science-nature/lady-astronomer-who-took-on-most-advanced-science-180962142/

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