當代數學家傳記：從小鎮女孩到數學界的閃耀新星——解決康威結難題的莉薩?皮奇里洛（Lisa Piccirillo）

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小鎮女孩的蛻變：數學界的耀眼新貴。

莉薩?皮奇里洛（Lisa Piccirillo）

作者：圖靈APP（theturingapp.com）2026-3-4

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-4-12

導讀

莉薩?皮奇里洛（ Lisa Piccirillo）的故事，并非人們印象里那種典型的數學神童成長記。她在緬因州格林伍德鎮長大，這個小鎮人口不足900人，新英格蘭鄉村生活的煙火氣填滿了她的日常，而非一場場數學競賽。

她的父母是做什么的呢？父親是一名焊工，母親則是中學數學教師。莉薩的童年時光，都花在了練習盛裝舞步、在校樂隊吹奏小號，以及參演戲劇社劇目上。直到進入波士頓學院讀大學，數學才真正走進她的生活重心。在此之前，戲劇才是她的心頭好。

一切的轉折，都發生在奧斯汀。在得克薩斯大學奧斯汀分校攻讀研究生期間，莉薩意外撞上了一個足以改寫學界歷史的難題。她帶著自己的證明過程找到導師卡梅倫·戈登（Cameron Gordon），讓這位教授驚得說不出話來。她攻克的這個難題，在數學界早已是傳奇般的存在——解決它，無異于在數學領域摘下了一枚奧運金牌。她的論文直接被頂刊《數學年刊》收錄，這本期刊堪稱數學界的權威標桿。

我們不妨簡單聊聊其中的數學原理。相關視頻深入解讀了紐結理論，核心聚焦于康威結。研究的核心問題是：康威結是否具有“切片性”？通俗來講，能不能找到一個四維圓盤的光滑切片，讓這個康威結恰好成為它的邊界？這是一個聽起來有些怪異、甚至燒腦的概念。莉薩的突破之處，在于她的思路格外巧妙。她沒有正面強攻康威結的難題，而是構造出了一個“跡等價紐結”——一個與康威結擁有相同四維跡的新紐結。她先是證明了這個“姊妹紐結”不具備切片性，由此便可推論，康威結同樣不具備切片性。

但這一切研究到底有什么實際意義呢？事實證明，紐結的身影無處不在，絕不僅僅只出現在數學課本里。

在計算機網絡領域，節點與鏈路的連接方式——也就是網絡的拓撲結構——決定了數據在全球范圍內傳輸的速度與效率。在生物學領域，同樣的拓撲學原理，能幫助科學家弄清DNA鏈如何在細胞內盤繞，以及蛋白質如何折疊成復雜的三維結構。機器人學也離不開它：機器人依靠拓撲地圖規劃運動路徑，從而在復雜環境中自如穿梭，不會陷入困境或迷失方向。借助拓撲數據分析技術，研究人員還能從海量龐雜的數據集中，挖掘出潛藏其中的規律與模式。

如此看來，紐結理論的應用無處不在，而莉薩的研究成果，無疑為整個拓撲學領域的發展注入了強勁動力。更多請參閱：

康威結之謎

如果你在2018年見到莉薩?皮奇里洛（Lisa Piccirillo），你絕對不會想到，她即將攻克數學領域最懸而未決的難題之一。你也不會猜到，她正站在解決一個半個世紀以來無人能解、令人束手無策的問題的門檻之上。彼時，她只是得克薩斯大學奧斯汀分校眾多研究生中的一員。

她在緬因州的格林伍德鎮長大，這個小鎮小到開車經過時稍一眨眼，就會錯過鎮上的郵局和雜貨店。全鎮人口不足 900 人。她的父親是一名焊工，母親是一名中學數學教師。她的成長歷程里，沒有任何神童的傳奇故事，沒有四歲就推導微積分的經歷。當然，她算是一名優等生，但她的優秀，就像小鎮上的孩子常有的那種 —— 全面發展、勤懇努力。她練習盛裝舞步，參加樂隊演奏，出演戲劇社的劇目，還是教會青年團體的活躍分子。她的生活只是充實而已。

2009年，她進入波士頓學院就讀，那時的她對戲劇的興趣，絲毫不亞于對數字的熱愛。她就是一個再普通不過的人。所以，當她偶然接觸到康威結時，甚至不知道這是一個懸置了半個世紀的未解難題。她只把它當作一道練習題，用來檢驗自己正在摸索的一些數學工具。她不知道，那些在常春藤盟校手握終身教職的知名學者，已經為這個小小的繩圈難題苦思冥想了數十年。她只是覺得這個繩結看起來很有趣。她想，晚上和周末琢磨琢磨這個問題，應該會是一件有意思的事，權當消遣。她把這個有著50年歷史的數學謎題，當成了周日的填字游戲。正因為她不知道自己 “本該失敗”，所以她沒有失敗。她在一周之內，就解決了這個困擾學界半個世紀的難題。

幾天后，皮奇里洛敲響了導師卡梅倫?戈登（Cameron Gordon）教授辦公室的門。“我覺得我解決了康威結問題。” 她說。戈登看著她，愣了一下。“你說什么？”她把自己的證明過程拿給導師看。戈登逐字逐句地閱讀。他是世界上少數幾位能一眼驗證這個證明是否成立的數學家之一。他順著邏輯推演下去，整個證明無懈可擊。他再次抬頭看向皮奇里洛，突然激動地喊了起來。“你怎么一點都不高興？” 他大聲說道。

他簡直欣喜若狂。他太清楚這個成果意味著什么了。這絕不是一道普通的課后習題，這是低維拓撲學領域的 “圣杯”，是一場長達 50 年探索的終點。“這篇論文現在就要投給《數學年刊》。” 他說。《數學年刊》是該領域最具權威性的期刊，由普林斯頓大學出版。能在這份期刊上發表論文，堪比斬獲奧運會金牌，足以徹底奠定一個人的學術生涯。皮奇里洛卻一頭霧水。她恐怕當時還沒意識到，自己解決的是一個多么古老而著名的難題。戈登后來說，她就這樣無意間闖入了數學史。

莉薩?瑪麗?皮奇里洛出生于1990年前后，來自緬因州格林伍德鎮一片靜謐的山林之地。這個小鎮的人口不足900人。她的日常生活里，沒有數學興趣小組，也沒有奧數訓練營。相反，她的童年被新英格蘭鄉村那種質樸的煙火氣填滿。她的成長經歷中，涉獵的活動十分豐富。她就讀于附近貝瑟爾鎮的泰爾星地區高中，這是一所服務當地社區的公立學校，皮奇里洛對學校提供的一切活動都抱有極大的熱情。她練習盛裝舞步，駕馭著馬匹完成復雜的動作套路 —— 這或許就預示著，她日后會與拓撲學中的繩圈難題結緣。她積極參與教會青年團體的活動，是學校樂隊的一員，還參演校園戲劇。

她的母親英格麗德是一名中學數學教師，這讓莉薩在很小的時候就接觸到了數學，盡管只是接受了常規的啟蒙教育。她的父親保羅是一名焊工，同時也做銷售工作。在采訪中，莉薩回憶說，自己絕非那種四歲就能編寫計算機程序、構建復雜算法的孩子。她只是一個正常好動的小孩，恰好功課很優秀而已。盡管母親是數學教師，莉薩卻從未把自己看作是 “未來的數學家”。因為她數理成績出色，身邊的人都建議她將來當一名工程師。她聽從建議參加了工程類夏令營，但這段經歷卻讓她興味索然。像用冰棒棍搭橋這類任務，讓她覺得枯燥乏味。她是高中畢業班的致告別辭的優秀畢業生，但這只是在一個小鎮的高中里。那時的她，根本想不到自己未來會走上一條能登上國際各大報紙版面的職業道路。

2009年，皮奇里洛離開緬因州的山林，前往波士頓學院求學。初入大學時，她的目標很模糊，只想著學點理科或者數學相關的專業，并沒有清晰的職業規劃。她甚至還想過，如果數學這條路走不通，就去當一名記者。大一那年，是她人生的轉折點。她選修了一門微積分課程 —— 這是理工科專業的一門標準入門課。以天才神童的標準來衡量，她的表現算不上特別出眾，學習過程中也曾遇到不少困難。

但她的教授卻從她身上看到了與眾不同的潛質。這位教授就是埃利森達?J?格里格斯比（J. Elisenda Grigsby），一位數學家，后來成了皮奇里洛學術生涯中至關重要的引路人。格里格斯比注意到，雖然皮奇里洛可能不是教室里計算速度最快的學生，但她擁有極強的創造力，而且從不輕信現成的結論。她鼓勵莉薩選修更高級的課程，尤其是線性代數。

也是在波士頓學院大一期間，皮奇里洛聽了一場改變她人生軌跡的講座。這場講座的主題是嵌入三維空間中的奇特 “可變形曲面”。演講者介紹了一類可以被拉伸、扭曲，卻不改變其本質屬性的幾何對象。這是皮奇里洛第一次接觸拓撲學，她瞬間被這個領域深深吸引。拓撲學常常被描述為 “橡皮膜幾何學”。在拓撲學的世界里，一個咖啡杯和一個甜甜圈可以被看作是同一個物體 —— 因為只需通過拉伸變形，無需撕裂或粘連，就能把咖啡杯變成甜甜圈的形狀。在波士頓學院就讀期間，皮奇里洛依然保持著廣泛的興趣愛好。

但與此同時，她也開始感受到許多女性數學家都會面臨的困境。她擔心，要想在這個領域取得成功，就必須磨滅自己的個性。2013 年，她獲得了數學理學學士學位。本科階段，她也第一次直面了作為女性在男性主導的學科領域中所要面對的現實：教材的作者都是男性，著名的定理都以男性的名字命名，“數學家” 這個形象幾乎被男性完全壟斷。但幸運的是，格里格斯比教授為她樹立了一個反例。看到一位女性在學術界身居要職，這對她產生了至關重要的激勵作用。

從波士頓學院畢業后，皮奇里洛選擇前往得克薩斯大學奧斯汀分校攻讀博士學位。該校的拓撲學研究項目聲名卓著，而且素來以支持女性數學家而聞名。研究生生涯對她而言，是一種解脫。在奧斯汀，她找到了一個志同道合的數學家社群，這里的學者都是有趣的普通人，并非她曾經擔心的那種令人望而生畏的天才。她師從著名拓撲學家約翰?埃德溫?盧克。她的研究方向聚焦于三維和四維空間 —— 正是從波士頓學院那場講座開始，這些課題就讓她深深著迷。她全身心投入到紐結跡和切片虧格的研究中，這些內容最終構成了她博士論文的核心。

皮奇里洛是數學系里積極活躍且備受尊敬的一員，為自己的學術生涯打下了堅實的基礎。她還承擔起指導低年級學生的工作，并組織了 “杰出女性數學家” 系列講座。她專注于成為所在領域的專家，精通了諸如不變量（用于區分不同紐結的數學標記）和四維流形（一種拓展了三維空間概念的復雜空間結構）等核心課題。到2018年夏天，莉薩?皮奇里洛即將完成博士階段的學習。她已經摸索出一套基于紐結跡的研究方法 —— 通過給三維空間中的紐結附著一個 “柄”，來構造四維空間。她正四處尋找可以應用這套工具的研究對象。那時的她還不知道，自己已經站在了一個絕佳的位置，即將解決一個讓拓撲學領域一眾泰斗都束手無策半個世紀的難題。

塵封半世紀的數學難題

要理解莉薩?皮奇里洛的成果，首先得了解她研究的 “領域”。紐結理論是拓撲學的一個分支，研究的是空間中閉合繩圈的性質。在日常生活中，紐結就是鞋帶或延長線上打的結。而在數學中，紐結是指將繩圈的兩端粘合在一起，形成的一個連續閉合的環 —— 一旦兩端粘合，這個紐結就被 “固定” 住了，無法通過簡單拉扯繩股來解開。數學家們想要弄明白的是：兩個紐結在什么情況下可以被看作是 “同一個紐結”？如果不剪斷繩圈，僅通過扭轉、拉伸，能否把一個纏繞的繩圈變成一個完美的圓？如果可以，這個紐結就是平凡紐結；如果不可以，那它就是一個非平凡紐結。

這個問題看似簡單，但隨著繩圈交叉點數量的增加，問題的復雜度會呈指數級增長。康威結是一種具有11個交叉點的特定紐結，由傳奇而又富有童趣的英國數學家約翰?霍頓?康威于1970年發現。康威是數學界的巨擘，以 “生命游戲” 和在多個數學領域的開創性貢獻而聞名。他發現了這種特殊的紐結，并將其列入了具有 11 個交叉點的紐結列表中。在長達數十年的時間里，它只是數千種紐結中普通的一種，但它隱藏著一個不為人知的秘密。

康威結的難題，核心在于一個名為切片性的屬性。要理解這個概念，需要跳出我們熟悉的三維空間。想象在三維空間中有一個球體，比如一個橙子。如果用一個二維的刀面或平面去切這個橙子，切面會是一個圓形。現在，我們把維度提升一級：想象在四維空間中有一個 “超球體”。如果用一個三維的 “刀面”（也就是三維空間本身）去切割這個四維超球體，得到的截面就可能是一個紐結。

一個紐結被稱為切片紐結，當且僅當它可以作為一個光滑圓盤在四維空間中的邊界。你可以把這個紐結想象成一片面包的外皮，而面包本身就是那個四維圓盤。如果一個紐結是某個光滑且不自交的四維圓盤的邊界，那么它就是切片紐結；反之，則不是。這個屬性至關重要，因為它將紐結理論與四維空間的研究聯系了起來 —— 而四維空間的性質向來以怪異詭譎著稱。在四維空間中，存在許多在三維空間中不可能發生的現象：繩圈可以通過在第四維度中讓繩股交錯，實現 “自我解開”。

在長達50年的時間里，數學家們已經確定了所有交叉點數量少于13個的紐結的切片性 —— 這類紐結多達數千種。他們逐一驗證了所有紐結，唯獨剩下一個例外：康威結。康威結是一個頑固的 “異類”。學界已經證實，它是拓撲切片紐結，也就是說，它可以作為四維空間中一個褶皺、粗糙的圓盤的邊界。但沒有人知道，它是否是光滑切片紐結—— 即能否作為一個光滑、平整的圓盤的邊界。在四維拓撲學領域，這兩者的區別有著天壤之別。

圖源：Quanta Magazine

你可能會問：“既然數學家能解決數千種類似的紐結問題，為什么偏偏康威結這么難？”分析康威結的難點，源于它的突變性—— 這是一種獨特的屬性，就像賦予了它一種 “超能力”。康威結與另一種名為木下 - 寺坂紐結（Kinoshita-Terasaka knot）的紐結有著密切的親緣關系，而木下 - 寺坂紐結已被證實是光滑切片紐結。

康威結正是通過對木下 - 寺坂紐結進行一次細微的 “突變” 得到的：將木下 - 寺坂紐結的某一段繩圈剪下、翻轉，再重新粘回去。由于這次突變非常細微，康威結幾乎繼承了其 “切片近親” 的所有不變量，這使得區分兩者的屬性變得異常困難。

數學家們依賴一套名為不變量的工具來區分不同的紐結，這些不變量就像指紋或血型一樣，是紐結的 “身份標識”。常見的紐結不變量包括亞歷山大多項式、瓊斯多項式，以及現代極具效力的拉斯穆森 s 不變量（Rasmussen’s s-invariant）。如果某種不變量顯示一個紐結不是切片紐結，那么就能確鑿地證明它不具備切片性。然而，康威結對這些工具的 “探測” 卻始終 “無動于衷”—— 因為它是一個切片紐結的突變體。所有針對康威結計算出的不變量結果，都顯示它 “有可能是切片紐結”，但始終無法給出確定性的證明。這個問題就此成了拓撲學領域的一個傳奇，成了地圖上最后一塊空白區域。每當有新的不變量被發現，數學家們都會立刻用它來檢驗康威結，希望能最終揭開它的謎底。但每一次，康威結都能 “通過測試”，不透露任何關鍵信息。

2018年夏天，莉薩?皮奇里洛參加了一場低維拓撲學與幾何學的學術會議。她坐在報告廳里，聽著演講者們探討該領域尚未解決的難題。其中一位演講者是萊斯大學的謝莉?哈維，她提到了康威結。她展示了一張有著 11 個交叉點的紐結圖片，并解釋說，這是最后一個尚未確定切片性的紐結。皮奇里洛認真聽著，但她完全沒意識到自己即將改寫歷史。她只是覺得，這是一個有趣的小問題，是檢驗自己為博士論文開發的工具的絕佳試驗場。

“我白天根本不敢碰這個問題，” 她后來回憶道，“因為我覺得這算不上真正的數學研究，頂多算是我的課后作業。”她還說，如果當初知道這個問題有多難，她可能根本不會去嘗試。她只是在 “把玩” 自己的研究工具，完全不知道，無數學者已經為這個難題耗盡了畢生心血。她的研究思路可謂神來之筆 —— 因為她避開了康威結設下的 “陷阱”。

她知道，直接對康威結計算不變量是徒勞的，這個紐結只會模仿其切片近親的屬性。于是，她決定換一個思路：替換紐結本身。莉薩運用了一個名為紐結跡的概念。紐結跡是一種特定的四維空間結構，通過給三維紐結附著一個四維的 “柄” 來構造。她知道一個關鍵結論：如果兩個紐結具有相同的紐結跡，那么它們的切片性是完全相同的。因此，只要能找到一個與康威結具有相同紐結跡的 “替代紐結”，她就可以轉而研究這個新紐結。

她利用晚上的時間，在腦海中反復推演，在紙上不斷畫著繩圈的扭轉與變形。她使用了一種名為羅爾夫森扭轉的操作 —— 這種操作可以改變紐結的形態，卻不會改變它所生成的四維流形。通過對康威結進行精細的扭轉操作，她得到了一個 “跡等價紐結”。這個新紐結后來被稱為皮奇里洛紐結，它的形態更加復雜，交叉點數量也更多，和優雅的 11 交叉點康威結看起來毫無相似之處。但它有兩個關鍵優勢：第一，它與康威結具有相同的紐結跡；第二，它不是木下 - 寺坂紐結的突變體。正因為它不是突變體，它就失去了康威結那種 “偽裝能力”。

皮奇里洛計算了這個新紐結的拉斯穆森 s 不變量。根據拓撲學理論，所有切片紐結的 s 不變量都等于 0。她完成了計算，結果顯示：皮奇里洛紐結的 s 不變量不等于 0。這就是關鍵的 “鐵證”。由于 s 不變量非零，皮奇里洛紐結不是切片紐結；又因為皮奇里洛紐結與康威結具有相同的紐結跡，所以兩者的切片性必然相同。結論呼之欲出：康威結不是光滑切片紐結。一切就此塵埃落定。僅僅用了不到一周的業余時間，這位來自緬因州的研究生，就解開了這個長達 50 年的數學謎題。

莉薩?皮奇里洛并沒有立刻意識到自己成果的重大意義。她原本打算，只把這個結果告訴幾個人，或許把論文投到一個不起眼的期刊上，甚至不打算發表。幾天后，她走進了得克薩斯大學奧斯汀分校資深教授、著名拓撲學家卡梅倫?戈登的辦公室，隨口提起了自己的研究結果。“我解決了康威結問題。” 她輕描淡寫地說。戈登的反應卻如同驚雷炸響，他激動地大喊起來：“你怎么一點都不興奮？”他簡直欣喜若狂。

左起：Cameron Gordon、Elisenda Grigsby

皮奇里洛后來回憶說：“戈登立刻就意識到，這絕不是一份普通的作業，這是一項重大的突破。”他告訴她：“這篇論文現在就要投給《數學年刊》。”——《數學年刊》是該領域最具權威性的期刊。這個消息很快在聯系緊密的拓撲學社群中傳開。曾指導皮奇里洛本科畢業論文的波士頓學院教授約書亞?格林（Joshua Greene）聽到這個消息后，震驚不已。“看著一個我認識了這么久的人，突然完成了這項‘拔劍石中’的壯舉，真的太令人欣慰了。” 他說。這篇標題簡潔明了的論文《康威結不是切片紐結》，于2018年8月15日提交給《數學年刊》。論文的行文十分精煉，于2019年9月被接受，2020年初正式發表 https://annals.math.princeton.edu/2020/191-2/p05 。論文被快速錄用，再加上期刊的頂級聲望，這一切都印證了戈登當初的判斷：這是一項具有里程碑意義的成果。

對皮奇里洛而言，突如其來的關注是一把 “雙刃劍”。她為解決了這個難題而感到高興，但對隨之而來的 “天才” 標簽卻十分警惕。她希望人們把她看作一名 “埋頭苦干的數學家”，而不是什么 “數學奇才”。對于一個刻意回避 “天才” 光環的數學家來說，這種關注度讓她感到很不真實。她被譽為 “智勝權威專家的研究生”。《量子雜志》刊登了專題報道，詳細講述了她這場 “無心插柳” 的發現之旅；《紐約時報》《波士頓環球報》《史密森尼雜志》等主流媒體也紛紛跟進報道。“當我背負著這些期待，卻在大多數時候連證明一些非常簡單的問題都失敗時，我不得不重新學著接受這個事實。” 她在接受《波士頓環球報》采訪時說道。

2021年，她榮獲首屆瑪麗亞姆?米爾扎哈尼新前沿獎—— 這個獎項旨在表彰數學領域杰出的青年女性學者，以已故伊朗數學家瑪麗亞姆?米爾扎哈尼的名字命名，米爾扎哈尼是歷史上第一位獲得菲爾茲獎的女性數學家。同年，她還獲得了克萊數學研究獎學金和斯隆研究獎學金。“要成為一名成功的數學家，你不一定非要‘絕頂聰明’—— 無論這個詞的定義是什么。” 她如是說。

作為科技教育領域的頂尖學府，麻省理工學院向她伸出了橄欖枝，為她提供了一份終身教職的崗位。她接受了這份邀請，于2020年7月正式成為麻省理工學院的助理教授。然而，奧斯汀這座城市始終對她有著強大的吸引力。在麻省理工學院任教四年后，皮奇里洛于2024年回到了得克薩斯大學奧斯汀分校，這一次，她以正教授的身份，擔任該校 “西德?W?理查森基金會董事講席教授”。這是一場 “學術返鄉”。她回到了自己曾經就讀的數學系，如今已是這里最受矚目的教授之一。

拓撲學在DNA與機器人學中的應用

皮奇里洛在康威結問題上的研究，為拓撲學領域打開了新的大門。她所使用的研究方法 —— 利用跡等價紐結來繞過不變量的局限性 —— 如今已成為拓撲學家的標準工具。她回到了卡梅倫?戈登身邊，重新加入了拓撲學研究團隊。

她的研究成果將推動拓撲學的實際應用，例如在計算機網絡領域：節點和鏈路的特定拓撲結構，決定了數據在互聯網和本地系統中的傳輸效率。

在生物學領域，拓撲學概念幫助研究人員理解：DNA 長鏈如何在細胞內打結、盤繞，以及蛋白質如何折疊成具有生物功能的三維結構。

此外，機器人學依賴拓撲地圖進行運動規劃，使機器人能夠在復雜環境中自主導航而不被困住。拓撲數據分析（簡稱 TDA）則能讓科學家從海量、嘈雜的數據集中，識別出隱藏的結構和規律。

約翰?康威的學術遺產

約翰?康威（John Conway）是一個熱愛游戲、謎題和一切意外之喜的人，他如果看到皮奇里洛的證明，一定會為之傾倒。遺憾的是，他于2020年4月逝世，享年82歲 —— 距離皮奇里洛的論文發表僅過去兩個月。

約翰?康威（John Conway，1938 - 2020）

我們無從得知，他在去世前是否完全理解了這個證明 —— 當時他的健康狀況已經非常糟糕。

但我們知道，他最終還是聽到了這個消息：

那個困擾了學界半個世紀的難題，終于被解開了。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=MVFRnzMWEcE

https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/

https://cns.utexas.edu/news/features/alumna-lisa-piccirillo-solves-famous-50-year-old-math-problem

https://annals.math.princeton.edu/2020/191-2/p05

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