耦合相位振子中的吸引域穿孔

Basin Riddling in Coupled Phase Oscillators

https://arxiv.org/pdf/2603.02135

我們研究了具有公共相移 α 的最近鄰耦合相位振子中扭曲態（twisted states）的全局吸引域結構。隨著 α 的增加，吸引域邊界變得逐漸更加復雜，其分形維數增長并趨向于全環境相空間（full ambient phase space）的維數。我們猜想，當系統趨近于極限
（此時動力學變為保體積的）時，吸引域最終會變成穿孔的（riddled）。我們通過卷繞數（winding number）的穩定時間來表征瞬態動力學，并證明該時間隨系統尺寸的增長而增長。這種標度關系（scaling）在較大的相移下會加速，從對數行為轉變為冪律行為。我們進一步分析了這些長暫態（long transients）的動力學起源。我們的結果展示了單個相移如何支配分形吸引域的復雜性，并為多穩態但非混沌的耦合相位振子的全局幾何結構和瞬態動力學提供了新的見解。

1. 引言

吸引域提供了動力系統行為的全局視圖，并在科學和技術中發揮著重要作用。它們決定了系統從給定的一組初始條件出發將達到哪個長期狀態，從而反映了魯棒性、可靠性和功能性。在工程系統 [1]、大腦和神經回路 [2, 3]、氣候動力學 [4, 5]、電網 [6, 7] 和生態學 [8, 9] 中，只有當期望狀態的吸引域足夠大且平滑時，該狀態才具有實際意義；否則，微小的擾動就能將系統驅動到非預期的狀態。然而，在許多非線性系統中，吸引域高度錯綜復雜，表現出分形甚至穿孔（riddled）結構 [10–15]。這種敏感性從根本上限制了所得現象的可預測性、可重復性和可控性。在低維動力系統中，分形吸引域結構已被廣泛研究 [10, 16]，特別是與分岔和混沌鞍點相關的研究。

在耦合振子系統中，吸引域幾何結構在很大程度上仍未被探索 [17]。大多數先前的工作采用了統計物理學的觀點，專注于熱力學極限下的集體行為、系綜平均和漸近狀態。這一框架在描述同步轉變和宏觀相方面取得了顯著成功。然而，它自然地掩蓋了相空間中的精細幾何結構。結果，分形或穿孔吸引域在耦合振子的背景下很少被考察。更一般地說，隨著系統參數的變化，吸引域從平滑到分形并最終到穿孔的演變（metamorphosis）在非線性動力學中并不是一個新現象。這里令人驚訝的是，分形吸引域邊界出現在一個典型的（paradigmatic）耦合相位振子系統中。它表明錯綜復雜的吸引域幾何結構是自然產生的，并不局限于專門工程化或設計的系統。

在這項工作中，我們在一個耦合相位振子的最小模型中揭示了吸引域邊界的精細結構。通過檢查高維相空間的低維切片，我們顯式地可視化了與不同周期吸引子相關的分形吸引域邊界。觀察到的分形性質對于一般的局部切片是持久存在的。此外，我們將這種幾何復雜性與系統的瞬態動力學聯系起來，并通過數值模擬表明，隨系統尺寸變化的瞬態時間標度（transient-time scaling）受到吸引域分形性質的強烈影響，揭示了在漸近或平均描述中仍然不可見的特征。

2 分形吸引域邊界

3 瞬態時間

1. 展望

我們研究了耦合相位振子中扭曲態的吸引域演變（metamorphosis）。在沒有相移的情況下，每個吸引域都表現出簡單的章魚狀幾何結構，由頭部和觸手組成 [17]。隨著公共相移 α 的增加，我們的數值結果表明，吸引域邊界發展出分形結構，直至極限 ；接近該極限時，吸引域呈現穿孔狀（riddled），動力學變得近似保體積。

我們進一步研究了瞬態動力學。卷繞數穩定時間隨系統尺寸呈冪律標度，其中指數隨相移增長。我們還考察了瞬態時間的分布，發現長瞬態時間出現在吸引域邊界附近，而內部區域則表現出相對較短的瞬態時間。

這些現象學觀察提出了一些未決問題，涉及類孤子波在相移變化下的持久性、其不變流形的幾何結構，以及它們與分形吸引域邊界的聯系。這些問題將在其他地方討論。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.02135