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鉆研數學問題仍然非常有價值，但那種可以享受自己名字永遠與某個定理或定義綁定的快感的時代，很可能即將結束。 ——英國數學家菲爾茲獎得主威廉·蒂莫西·高爾斯（William Timothy Gowers）

2026年5月8日，高爾斯在個人博客分享了一次對 ChatGPT 5.5 Pro 的實測體驗。他在幾乎不提供專業數學提示與思路引導的前提下，僅用時約一小時，就讓模型完成了具備博士研究水準的數學原創成果。

此次測試圍繞加性數論中的公開問題展開，模型不僅快速優化了已有研究的上界證明、給出全新構造方法，還在后續多輪對話中，逐步把原有指數階結果改進為多項式階結果。相關推導預印本經專業青年數學家核驗，被判定論證邏輯基本成立、原創思路巧妙且具備學術價值。

高爾斯指出，AI 完成這類研究并非憑空創造，核心是對已有數學思想、證明技巧的高效重組與延伸，而人類數學史上大量經典成果，本質也源于現有知識與方法的組合創新。這也讓數學科研的入門邏輯、研究范式，開始面臨全新的改變。

圖源：college-de-france.fr

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高爾斯博客文章梗概

我們不得不一次又一次，上調對大語言模型（LLMs）數學科研能力的認知邊界。正如業內早已廣泛報道的那樣，如今的大語言模型，早已不再局限于做習題、解課本例題，而是具備了解決真正研究級公開問題的實力。托馬斯?布魯姆（Thomas Bloom）個人網站上 https://www.erdosproblems.com 收錄的大量埃爾德什經典數論與組合公開問題，已有不少被大模型逐一攻破。起初，不少數學家還能以平常心自我寬慰：很多所謂 “AI 解法”，本質只是模型從海量文獻中檢索出現成答案，或是從已有已知結論里簡單推導而來，算不上真正意義上的原創研究。

但隨著模型能力持續迭代，這種自我安慰越來越站不住腳。越來越多深耕數論、組合、代數領域的學者達成共識：只要一道數學難題，本身存在某種人類研究者因為視野盲區、關注度不足、思路定勢等原因而忽略的簡潔論證，大語言模型大概率能夠自主捕捉、整理并完整寫出嚴謹證明。

還有一種普遍觀點認為，人類數學靈感具備不可復制的獨特性，AI 只是在拼接已有知識，沒有真正的原創思想。但高爾斯點破了一個本質事實：人類數學史上大量傳世的優秀成果，本身也并不是憑空天降靈感，絕大多數都是在整合、重組、融會貫通已有定理、技巧與論證思路的基礎上延伸而來。從底層邏輯來講，人類的原創與 AI 的組合式創新，并沒有不可逾越的鴻溝。

一直以來，組合數學領域有一個非常良性的學術傳統：很多前沿論文在完成核心研究后，會順勢提出一系列衍生、延伸型公開問題。這類問題數量繁多，作者往往沒有充足時間逐一深入研究，整體難度梯度平緩，不存在過高的思維門檻。長久以來，這類公開問題都是剛踏入科研門檻的數學研究生、青年學者最好的練兵場 —— 獨立解決一道學界公開問題，既能夯實科研能力，也能獲得極大的學術成就感，是新人入門科研最珍貴的資源之一。

但大語言模型的崛起，徹底改寫了這一格局。如今僅僅是 “人類尚未解決” 已經不足以成為研究選題，一道問題若難度平緩、思路樸素，很快就能被頂尖大模型獨立求解。數學科研的入門門檻被被動抬高：新時代的數學研究，選題標準悄然變成了至少難住大語言模型，才有值得人類投入精力鉆研的價值。

大約一周多前，高爾斯特意選取梅爾?內桑森（Mel Nathanson）在《加性數論中問題的多樣性、公平性與包容性》https://arxiv.org/abs/2603.15556 一文里提出的系列公開問題，作為測試 ChatGPT 5.5 Pro 科研能力的試驗場。內桑森是加性數論領域極具眼光的學者，他關注的問題、提出的猜想，后續往往都會成為學界熱門研究方向，其編寫的多部教材也因選題精準、時機恰當而影響力深遠。

在這批公開問題中，核心圍繞整數集合的和集性質展開。設 A 為整數集合，和集（sumset） A+A 定義為所有 a+b 構成的集合{a+b: a,b∈A}；對正整數 h，h重和集（h–fold sumset） hA 由 A 中 h 個元素相加構成{a?+?+a?: a?∈A}。內桑森重點研究固定集合基數 |A|=k 時，h重和集基數 |hA|=t 的所有可能取值，并定義集合 R(h,k) 囊括所有可行的基數 t。

當 h=2 時，人們早已清楚，|A+A| 可以取到 2k?1 到組合數 C(k+1,2) =(k+1)k/2之間的每一個整數；但推廣到一般 h 的情形，R(h,k) 的完整刻畫至今仍是公開難題。另一極具現實意義的衍生問題是：若限定集合基數與和集基數，整數集合 A 所需的最小直徑是多少？

內桑森本人證明，對每一個可行的 t，都存在包含于 {0,1,2,…,2?-1} 的 k 元集合A實現對應和集大小（|A|=k，|A+A|=t），并提出能否改進 2?-1 這一指數型上界。

ChatGPT 5.5 Pro 僅用時十七分零五秒，就自主給出全新構造方式，將原有的指數上界優化為二次多項式階，達到理論最優量級。模型最初給出的論證行文松散、口語化偏重，帶有大模型典型的表述特征，高爾斯隨即要求其按照數學預印本規范，改寫為標準 LaTeX 文稿，僅兩分二十三秒便完成輸出，經人工逐行核驗，論證邏輯完整、構造嚴謹無漏洞。

內桑森原有證明依賴歸納法 https://arxiv.org/pdf/2411.02365 ，內核思路本質是西頓集（Sidon sets）與等差數列的拼接構造，利用 2 的冪構成西頓集來調控和集大小；而 ChatGPT 的核心改進，在于選用更高效率的西頓集構造，直接把直徑壓縮到二次量級。這種思路本身并非晦澀難懂，但需要對原有歸納框架重新解構、重組視角，人類研究者往往需要反復推演才能想到，而大模型能夠快速捕捉優化空間并落地完整證明。

緊接著，高爾斯又提出關聯衍生問題：放棄普通和集，轉而研究限定兩元素互異的限制和集{a+b: a,b∈A,a≠b}，模型同樣毫不費力獨立完成求解，并按照要求將兩項成果整合為一篇連貫研究筆記，避免內容重復冗余。 https://drive.google.com/file/d/11r-ggU__GMmHIrgEHQVULUIR1VxKSwmi/view

隨后高爾斯進一步試探一般 h重和集的深層難題。h=2 的結論依托埃爾德什（Erd?s）與塞梅雷迪（Szemerédi）的經典成果，有成熟結論作為支撐；一般 h 情形下 R(h,k) 尚無完整刻畫，常規研究很難切入。內桑森曾在論文中引用麻省理工學院青年學者艾薩克?拉賈戈帕爾（Isaac Rajagopal）的工作，后者率先證明固定 h 時，R (h,k) 關于 k 呈指數依賴。

高爾斯本以為這一難題超出大模型能力范圍，自己也未給出任何解題思路與技巧提示，完全零學術輸入，只想測試模型能否在已有研究基礎上做優化延伸。結果 ChatGPT 5.5 Pro 用時十六分四十一秒，成功將原有指數上界，改進為對任意 α>1/2，關于 k?的指數階；耗時四十七分三十九秒完成預印本格式排版。文稿難度較高，高爾斯無法快速通讀核驗，便轉發給內桑森，再由其轉給拉賈戈帕爾本人，青年學者初步審閱后，判定論證整體合理、邏輯自洽。

嘗到優化成果后，高爾斯進一步讓模型嘗試沖擊終極目標：從指數階界直接推進到多項式階界。模型十三分三十三秒給出研判，認為存在可行論證，但有若干關鍵技術命題需要逐一驗證；九分十二秒完成全部命題核驗，三十一分四十秒整理成完整預印本文稿。拉賈戈帕爾細讀之后，給出極高評價：幾乎可以確定結論與證明成立，且模型并非簡單復刻已有思路，而是產出了具備原創性的核心研究思想。

更難得的是，拉賈戈帕爾專門撰文評析 ChatGPT 的貢獻邏輯：模型不僅復刻了人類構造框架，還獨創利用h2-分離集（h2-dissociated set）的思路，把幾何級數集合的特性，壓縮到多項式量級區間內，在保留原有和集關鍵性質的同時，大幅壓低集合直徑階數。這種精巧構造，屬于典型的優質數學原創靈感，人類研究者往往需要苦思一兩周才能成型，而大模型在極短時間內完成了構思、推導、驗證、成文全流程 https://arxiv.org/pdf/2510.23022 。最終模型證明對充分大的 k，有 N(h,k)≤O (k1??3)，而平凡下界為 k?量級，為后續研究留下明確的改進空間。

這對數學研究意味著什么？

蒂姆·高爾斯在博客中坦言：

我認為 ChatGPT 在不到兩小時內得到的結果，水平相當于一篇合格的組合數學博士論文章節。它算不上驚人成果，因為高度依賴艾薩克的想法，但無疑是對那些想法的非平凡推廣；對博士生來說，要找到這種推廣，需要花相當多時間吃透艾薩克的論文，尋找可能不夠優化的地方，熟悉他用到的各種代數技巧，等等。

在我看來，培養初入師門的博士生做研究 —— 這向來很難（除非像我時常遇到的那樣幸運，有學生一點就通，幾乎不需要培養）—— 現在變得更難了，因為幫初學者入門的一個常用辦法是給一個看起來相對溫和的問題。如果大語言模型已經能解決 “溫和問題”，那么這條路就走不通了。數學研究的入門門檻現在變成：證明大語言模型證不出來的東西，而不只是證明迄今無人證明、至少有人感興趣的東西。

不過我要從兩方面限定這個說法。

第一，顯而易見，博士生可以選擇使用大語言模型。所以任務可能比證明 AI 證不出的東西更容易：與大語言模型合作，做出它們獨自做不出的結果。我最近做了不少這類合作，發現大語言模型能做出有用貢獻，但（目前）還沒有產生顛覆性思想。

第二，我不知道我的說法在多大程度上適用于數學其他領域。組合數學往往高度聚焦問題：從問題出發，要么逆向推理，要么帶著問題正向推進。其他領域可能更強調正向推理：從一組思想出發，看能走向何方。要成功做到這一點，需要區分有趣與無趣觀察的能力，我不清楚大語言模型在這方面表現如何。

當然，我說的一切都是針對當前的大語言模型。但它們發展太快，幾乎可以肯定，我的評論過幾個月就會過時。同樣幾乎肯定的是，這些發展將深刻顛覆我們從事數學研究的方式，尤其是引導新人入門的方式。下學年開始讀博的人最早也要到 2029 年畢業，我猜到那時，數學研究的含義將徹底改變。

我有時會收到一些郵件，發件人對做數學研究感興趣，但不確定這一志向現在是否還有意義。我對此有一個看法，但隨著進一步發展可能會改變。這個看法是：鉆研數學問題仍然非常有價值，但那種可以享受自己名字永遠與某個定理或定義綁定的快感的時代，很可能即將結束。所以，如果你的數學目標是追求某種不朽，那么你要明白，這或許不會太久 —— 不只對你，對任何人都是。

不妨做一個思想實驗：假設一位數學家通過與大語言模型長時間對話解決了一個重大問題，數學家起到了有用的引導作用，但所有技術工作與主要思想都來自 AI。我們會把這算作數學家的重大成就嗎？我認為不會。

那么鉆研困難數學問題的意義何在？一個答案是，即便答案已知，解決問題依然很有滿足感，但我不認為這足以成為花費數年時間從事這項特殊活動的理由。更好的答案是，通過解決難題，你能深入理解解題過程本身，至少在你的專業領域是這樣，而這是只看別人解法做不到的。

一個結果是，自己解決過難題的人，借助 AI 解決問題的能力很可能會強得多，就像優秀程序員比普通程序員更擅長直覺式編碼，或者扎實掌握基礎算術的人更擅長使用計算器（尤其擅長察覺答案不對勁）。數學是高度可遷移的技能，研究級數學也是如此。從事數學研究，你或許得不到上一代人那樣的回報，但很可能會為即將到來的世界做好充分準備。

讀者評論精選

埃馬努埃萊·維奧拉（Emanuele Viola，東北大學計算機教授）

這篇文章非常有意思，等到 2029 年再回頭重讀一定會很有感觸。對于你文中的部分觀點，我想到一句知名的意大利名言（但名氣還沒大到 ChatGPT 都知道出處是誰）：“善于組合之人，方能善于創造。”

直譯就是 “組合越精妙，創造越出色”。我個人認為，人類的智能與洞察力并沒有什么所謂的 “特殊性”；也正如你所暗示的，數學乃至文學等諸多領域里，絕大部分研究成果其實都很 “平庸”—— 本質上只是把已有想法重新組合，只要按常規思路不厭其煩地逐一嘗試各種思路，就能推導出來。

數學論文在寫作、學術報告在宣講時，往往刻意營造一種錯覺：作者擁有超凡脫俗、無從溯源的神來之筆式洞見。但在很多甚至大多數情況下，這些思路完全可以用更平實直白的方式講清楚。我記得你也表達過類似觀點：所有想法總有其來源，拉茲伯羅夫（Razborov）的成果除外；哈哈。

大語言模型顯然極其擅長這類思路組合。我個人認為，目前沒人能說清，脫離人類引導的情況下，大語言模型究竟能自主產出多少人類感興趣的科研成果或藝術創作，我對各種可能性都持開放態度。

但有一點顯而易見：能否熟練駕馭這類工具，已經成為一項核心競爭力。不過從更高層面來看，這和過去使用谷歌檢索、數學專業軟件并沒有本質區別。高效在線檢索、熟練使用數學工具，一直都是科研優勢。

另外我常常思考，該如何定義 “平庸性”。從某種意義上來說，柯爾莫哥洛夫復雜度似乎與之相關：如果依托現有已知信息，某件事物能用簡短描述概括，那它就是平庸的。帶時間約束的柯爾莫哥洛夫復雜度是更貼切的概念。其中一個難點是如何界定 “現有已知信息” 的范圍，而經過訓練的大語言模型，恰好天然承載了這一信息體量。

布魯斯?史密斯（Bruce Smith）

引導新人入門科研最直接的辦法，就是給他們一個看似難度適中的溫和問題。可如果大語言模型已經能輕松解決這類基礎問題，這條路就走不通了。

我并不認同這個推論。如果學生真心想學，導師稍加引導，他們自然會主動克制，不在這類基礎練習中依賴大語言模型。

即便產出的成果不再像從前那樣具備原創性、可發表價值，但從學習訓練的角度來說，效果和沒有大語言模型的時代并無二致。這和過去學生主動克制、不向導師索要同類問題的詳細解答，本質是一樣的。

不妨做一個思想實驗：假設一位數學家通過和大語言模型長期對話攻克了重大難題，全程由數學家負責方向引導，所有技術推導和核心思路都由 AI 完成。我們還會把這項成就歸為這位數學家的重大成果嗎？我認為不會。

我覺得這取決于引導本身是否也構成了重要學術貢獻。這類邊界有時很難評判。但如果這個問題長期懸而未決、本身極具研究價值，且大語言模型早已普及可用，那這份引導工作完全可以算作有效貢獻。這就好比合作論文中，一位作者負責關鍵方向把控、另一位負責具體推導，同樣擁有學術貢獻。

匿名網友1留言：

我在和這類大模型交互的過程中，體驗其實相當令人沮喪，即便我只是想讓它幫我解決自己最感興趣的數學難題，或是給出全新的解題思路。 實際使用下來，我要么得在一堆無意義的廢話里費力篩選有效信息，要么滿懷期待地去嘗試它給出的思路，結果卻屢屢失望——那些想法要么過于淺顯不值深究，要么完全行不通、毫無落地可能。 倘若這就是未來數學科研的常態：無休止地在大語言模型的輸出內容里篩選甄別，只為找出一丁點有價值的合理思路，那我實在對這樣的未來毫無期待。

匿名網友2留言：

“我對此持非常悲觀的看法。照當下的發展態勢，獨立思考與深度創見的價值似乎正變得越來越低。”

約翰·貝茲（John Baez，數學物理學家）回答匿名網友2：

思考與深度思想的價值，究竟源自何處？我們如今必須認真思考這個問題。倘若這種價值主要源于稀缺性—— 也就是產生某些深刻想法本身難度極高 —— 那么一旦思想的生成可以被人工智能自動化實現，其價值確實會急劇下跌。

但如果這份價值源于思想本身的效用—— 即想法所能帶來的益處與價值 —— 那局面就完全不同了：或許源源不斷產出更多優質思想，反而是一件好事，而非壞事。此處我說的 “效用” 取廣義含義，并不局限于人們常說的應用數學范疇。

換句話說，數學家或許需要適應一場深刻轉型：從稀缺型學術生態，邁入豐裕型學術生態。

在糧食可以低成本量產的社會里，依然有人憑借制作精致美食獲得價值與報酬。

同理，未來數學家或許要更著力于向世人證明：自己的研究不只是難度很高，更關鍵是本身足夠有價值、有意義。倘若一項研究真正具備內在價值，它的價值便不會僅僅依附于 “難做出來” 這一點。

再往前推演一步：我們不妨思考，人工智能將來有多擅長向世人論證，它生成的數學成果本身是真正優質、有價值的。一旦 AI 在這件事上做得比人類更出色，那數學界便又少了一項離不開人類的工作。走到這一步，我們甚至會開始疑惑：人類到底還有什么不可替代的作用？（說到底，只是人類彼此需要人類而已。）

譯后記

（蒂姆·高爾斯，與考切爾?比爾卡爾，這兩位菲爾茲獎得主，都極其反感美國近年來對學術自由不友好的各種政策和限制及霸權主義和對多國的反人道行為，請愿將今年ICM國際數學家大會移出美國舉辦的行動倡議者，詳情參閱系列報道：）

這件事也引出一個繞不開的學術倫理與出版規則問題：如果這項成果出自人類學者，完全具備主流期刊發表水準；但按照 arXiv 現行政策，純 AI 生成內容不予收錄，這一規則具備充分合理性。可 AI 持續產出大量有價值的數學原創成果，又需要專門的歸檔、閱覽、引用平臺。學界有必要建立專屬數據庫，設立嚴謹審核機制：由專業數學家人工核驗正確性，或通過形式化證明助手完成邏輯校驗，確認解答了公開數學問題、論證無誤后再收錄歸檔，既守住學術嚴謹底線，也不浪費 AI 帶來的科研增量價值。

在科研協作層面，新的范式已經清晰：人類數學家負責選題方向、價值判斷、邏輯審辨、學術把關；大語言模型擅長思路組合、構造推演、命題驗證、文稿規范化撰寫。二者互補之下，數學研究的產出效率被大幅拉升。但與此同時，深層隱憂也隨之浮出水面。

首先是數學科研固有的平等性被打破。過往不同于實驗類理工科，前沿數學研究幾乎不依賴昂貴設備、巨額經費，只要具備扎實的數理功底與鉆研精神，無論身處名校還是普通院校，都能站在同一起跑線做研究。教育資源的差距雖存在，但硬件資源幾乎不構成壁壘。而如今頂尖大模型付費門檻高昂，各大科技企業還有僅限內部人員使用的專屬高階模型，普通研究者、在校學生無權訪問。一旦學界全面放開博士生使用大模型做科研的限制，很快就會演變成 “誰能用上更好的 AI，誰就擁有科研先發優勢”，純粹的學術比拼，異化為模型權限與算力資源的比拼，長久以來數學研究的平等底色就此消散。

其次是數學博士生的科研啟蒙路徑被迫重構。傳統培養模式里，導師最常用也最有效的入門方式，就是分配一道看起來難度溫和、適合新手打磨思路的公開問題。如今這類 “溫和問題” 已被大模型輕易包攬，傳統入門路徑逐漸失效。即便導師要求學生主動克制、刻意不依賴 AI，依靠自身推演完成基礎訓練，學習價值并未消失，但科研選題的起點被硬性抬高，新人需要直接面對更艱深、更前沿的難題，入門難度陡增。

輿論場中也出現了濃厚的悲觀情緒：隨著 AI 持續迭代，獨立深度思考、原創專屬學術靈感的價值正在不斷稀釋。早在 AI 時代到來之前，部分科研機構就已開始質疑純數學基礎研究的現實應用價值；放在當下，已經很難再真誠建議年輕人貿然選擇純數學博士作為人生方向。

而最引人深思、也最值得銘記的，是高爾斯寫下的那句穿透時代的判斷：

鉆研數學問題仍然非常有價值，但那種可以享受自己名字永遠與某個定理或定義綁定的快感的時代，很可能即將結束。

長久以來，支撐無數數學家甘坐冷板凳、深耕冷門難題、窮盡一生追尋真理的一大精神動力，便是學術不朽。以自己的姓名冠名定理、推論、定義、猜想，將個人名字鐫刻在數學發展史冊里，成為跨越時間的學術印記，這是數學家獨有的至高榮光。

但在 AI 深度介入數學原創研究之后，這份榮光開始慢慢褪色。不妨做一場思想實驗：倘若一位數學家僅負責整體方向把控、選題引導，全程對話大模型推進研究，所有技術構造、復雜推導、核心思路創新都由 AI 完成，即便最終攻克懸而未決的重大難題，學界也很難將這份成就完全歸屬于個人。未來的數學科研，更看重人類的格局視野、方向甄別、體系整合、漏洞審辨能力，而非單純的計算、構造與推導 —— 這些基礎工作，AI 已經可以做得比人類更高效、更嚴謹。

值得清醒的是，數學遭遇的 AI 沖擊，只是整個知識界的前奏。絕大多數依靠深度思考、邏輯推演、靈感創作、智力深耕的領域，未來都會面臨同樣的價值重構、成果歸屬爭議、行業規則重塑。

我們依然必須承認，鉆研數學問題有著不可替代的內在價值。解題過程錘煉的邏輯思維、構建的知識體系、養成的嚴謹思辨習慣，是直接套用 AI 答案永遠無法習得的底層能力。擁有扎實數學功底的人，反而能更好駕馭大模型，精準辨別論證漏洞、把控研究方向、篩選優質思路、規避邏輯陷阱，不被機器的結論裹挾盲從。

我們依然可以熱愛數學、深耕難題、追尋真理、享受理性探索的樂趣，但必須坦然接受一個無法逆轉的現實：那個僅憑個人天才靈感，就能留下冠名定理、實現學術永恒的時代，已經漸行漸遠。

數學研究的意義仍在，但屬于數學家個人獨享的不朽冠名榮光，正在緩緩落幕。

參考資料

https://gowers.wordpress.com/2026/05/08/a-recent-experience-with-chatgpt-5-5-pro/

https://www.erdosproblems.com

https://arxiv.org/abs/2603.15556

https://arxiv.org/pdf/2411.02365

https://drive.google.com/file/d/11r-ggU__GMmHIrgEHQVULUIR1VxKSwmi/view

https://arxiv.org/pdf/2510.23022

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