新智元報(bào)道

【新智元導(dǎo)讀】數(shù)學(xué)圈大震蕩！OpenAI的全新推理模型，剛把埃爾德什80年幾何猜想給破解了，用的居然是數(shù)論核武器！菲爾茲獎(jiǎng)得主驚呼：數(shù)學(xué)家們，你們得坐穩(wěn)了。這是在向全人類宣告：AI，已經(jīng)正式跨入了科學(xué)研究的無(wú)人區(qū)。

又一個(gè)AI劃時(shí)代的時(shí)刻！！！

5月21日凌晨3點(diǎn)04分，菲爾茲獎(jiǎng)得主、當(dāng)代數(shù)學(xué)巨擘Timothy Gowers在X上發(fā)布了一條簡(jiǎn)短卻近乎驚悚的推文。

短短數(shù)小時(shí)內(nèi)，這條動(dòng)態(tài)便斬獲了超過(guò)120萬(wàn)次的瀏覽量，在整個(gè)國(guó)際學(xué)術(shù)界引發(fā)了一場(chǎng)十級(jí)大地震。

就在今天，OpenAI正式官宣了這項(xiàng)載入史冊(cè)的科學(xué)突破：

在沒(méi)有任何人類數(shù)學(xué)專家干預(yù)的前提下，內(nèi)部的全新一代的通用推理模型，自主攻克并徹底推翻了離散幾何學(xué)中沉睡了近80年的核心猜想——埃爾德什（Erd?s）單位距離問(wèn)題。

這是人類歷史上第一次，AI獨(dú)立、自主地解決了一個(gè)處于數(shù)學(xué)核心領(lǐng)域、讓無(wú)數(shù)頂尖數(shù)學(xué)家折戟沉沙的重大開(kāi)放性難題。

菲爾茲獎(jiǎng)得主Tim Gowers罕見(jiàn)喊話：

如果你是一位數(shù)學(xué)家，那么在繼續(xù)閱讀之前，你可能需要確保自己已經(jīng)坐穩(wěn)了。

頂級(jí)數(shù)論學(xué)家Arul Shankar震撼發(fā)聲：

在我看來(lái)，這個(gè)成果表明當(dāng)前的AI模型已經(jīng)超越了人類數(shù)學(xué)家的助手角色——它們開(kāi)始具備原創(chuàng)的、精妙的、極具智慧的獨(dú)立思想，并且有能力將其付諸實(shí)現(xiàn)。

這場(chǎng)風(fēng)暴不僅讓數(shù)學(xué)家們感到坐立難安，更向全人類宣告：AI，已經(jīng)正式跨入了科學(xué)研究的無(wú)人區(qū)。

極其簡(jiǎn)單的謎題，與阻擋人類80年的高墻

要理解這項(xiàng)突破有多么不可思議，我們必須先回到1946年。

那一年，20世紀(jì)最偉大的傳奇數(shù)學(xué)家之一保羅·埃爾德什（Paul Erd?s）提出了一個(gè)幾何問(wèn)題：

如果在二維平面上任意畫下n個(gè)點(diǎn)，那么在這張圖里，兩點(diǎn)之間距離剛好等于1的點(diǎn)對(duì)，最多能有多少對(duì)？

這是連小學(xué)生都能聽(tīng)懂，卻讓后續(xù)所有數(shù)學(xué)家抓狂的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)家們將最大可能的單位距離點(diǎn)對(duì)數(shù)量記為u(n)。

這個(gè)問(wèn)題看似像個(gè)簡(jiǎn)單的拼圖游戲。如果你只有n個(gè)點(diǎn)，想讓單位距離最多，你會(huì)怎么擺？

擺成一條直線？那么只有相鄰的兩點(diǎn)距離為1，你只能得到n-1對(duì)。

擺成一個(gè)正方形網(wǎng)格？每一格的邊長(zhǎng)都是1。經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，你可以得到大約2n對(duì)。

直覺(jué)告訴我們，越是對(duì)稱、越是整齊的結(jié)構(gòu)，包含的單位距離就越多。

因此，在過(guò)去的幾十年里，全世界最聰明的數(shù)學(xué)家們達(dá)成了根深蒂固的共識(shí)：

要讓單位距離數(shù)量最大化，最好的擺法本質(zhì)上就是類似于「方格網(wǎng)格」的結(jié)構(gòu)。

基于這種共識(shí)，在1946年，埃爾德什提出了著名的猜想（Erd?s Conjecture）：他認(rèn)為u(n)的上限是,（其中o(1)是一個(gè)隨著n趨于無(wú)窮大而趨于0的項(xiàng)）。

用大白話來(lái)說(shuō)就是：無(wú)論你怎么精妙地排布這些點(diǎn)，單位距離點(diǎn)對(duì)的增長(zhǎng)速度，也只能比線性（n的一次方）稍微快那么一點(diǎn)點(diǎn)，絕對(duì)無(wú)法實(shí)現(xiàn)質(zhì)的突破。

這是埃爾德什最愛(ài)的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，曾多次公開(kāi)提及此問(wèn)題。

為了激勵(lì)后人，埃爾德什還專門為解決這個(gè)問(wèn)題設(shè)立了現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)。

然而，在接下來(lái)的80年里，這道大題成了離散幾何領(lǐng)域無(wú)法逾越的高墻。

這個(gè)問(wèn)題的下界（最好情況），情況是這樣的：自1946年埃爾德什用縮放的正方形網(wǎng)格給出
的結(jié)果后，整整80年，人類數(shù)學(xué)家在這個(gè)基礎(chǔ)上面對(duì)下界的提升寸步未行。

關(guān)于上界（理論極限的證明），情況如下：1984年，斯賓塞（Spencer）、塞梅雷迪（Szemerédi）和特羅特（Trotter）證明了上界為O(n^{4/3})。

此后，哪怕后世的無(wú)數(shù)天才（包括陶哲軒等人在內(nèi)）在相關(guān)結(jié)構(gòu)上做了諸多微調(diào)，這個(gè)上界依然像鐵律一樣無(wú)法被打破。

所有人都以為，正方形網(wǎng)格就是大自然的極限了。

然而，OpenAI的這個(gè)神秘模型出手了！

完整提示詞

顛覆認(rèn)知：AI找到了「不存在的結(jié)構(gòu)」

讓人震驚的是，它不僅證明了猜想，更直接推翻了猜想。

它在平面上創(chuàng)造出了一種人類數(shù)學(xué)家從未想象過(guò)的、全新的點(diǎn)陣構(gòu)型家族。

這個(gè)構(gòu)型直接打破了「網(wǎng)格神話」，實(shí)現(xiàn)了多項(xiàng)式級(jí)別的超越！

根據(jù)OpenAI披露的數(shù)據(jù)：在n個(gè)點(diǎn)的平面上，AI構(gòu)建的構(gòu)型讓單位距離點(diǎn)對(duì)的數(shù)量達(dá)到了驚人的（其中是一個(gè)固定的正常數(shù)，大于0）。

證明鏈接：https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

這意味著單位距離的數(shù)量實(shí)現(xiàn)了指數(shù)級(jí)的躍升，徹底打破了埃爾德什當(dāng)年預(yù)測(cè)的上限！

隨后，普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)教授Will Sawin對(duì)AI的證明進(jìn)行了連夜的精細(xì)化推導(dǎo)，進(jìn)一步確認(rèn)了這個(gè)可以明確取到0.014。

顯然，完爆！

近80年來(lái)，無(wú)數(shù)代離散幾何學(xué)家在這座數(shù)學(xué)大廈里敲敲打打，堅(jiān)信屋頂就在頭頂上方。

而現(xiàn)在，AI直接在墻壁上開(kāi)辟了一扇暗門，告訴人類：外面還有一片此前從未被看見(jiàn)過(guò)的全新大陸。

震撼數(shù)學(xué)界

它用高維數(shù)論，降維打擊了幾何學(xué)

如果說(shuō)AI只是通過(guò)窮舉法或暴力計(jì)算找了幾個(gè)特例，數(shù)學(xué)家們還不至于如此破防。

真正讓整個(gè)學(xué)術(shù)界倒吸一口涼氣、感到極度不安的，是這個(gè)證明的極高品味和創(chuàng)造力。

離散幾何問(wèn)題，通常需要用幾何或者組合數(shù)學(xué)的工具來(lái)解決。

但OpenAI的模型在思考這個(gè)初等幾何問(wèn)題時(shí)，突然打通了數(shù)學(xué)宇宙中一條隱秘通道——它從遙遠(yuǎn)的「代數(shù)數(shù)論」中借來(lái)了重武器。

當(dāng)初，埃爾德什構(gòu)建網(wǎng)格時(shí)，利用了「高斯整數(shù)」（形如a+bi的復(fù)數(shù)，其中a和b是整數(shù)）。高斯整數(shù)就像是普通整數(shù)在復(fù)平面上的延伸，具備唯一分解定理等優(yōu)良性質(zhì)。

而AI展現(xiàn)出了令人驚嘆的洞察力，它沒(méi)有被高斯整數(shù)限制住，而是將這個(gè)幾何構(gòu)想推向了一個(gè)人類完全沒(méi)敢想的極端——

首先，它構(gòu)建了極其復(fù)雜的代數(shù)數(shù)域拓展。

它引入了具備更豐富、更高維對(duì)稱性的代數(shù)數(shù)域。在這些高維對(duì)稱空間里，能夠產(chǎn)生遠(yuǎn)比人類已知網(wǎng)格多得多的「單位長(zhǎng)度差」。

其次，它駕馭了頂級(jí)的數(shù)論工具。

為了證明它所設(shè)想的這種復(fù)雜數(shù)域在數(shù)學(xué)上確實(shí)存在，在長(zhǎng)鏈條推理中，AI極其熟練地調(diào)用了「無(wú)限階級(jí)域塔」（Infinite Class Field Towers）和「高羅德-沙法列維奇理論」（Golod–Shafarevich Theory）。

這些工具是代數(shù)數(shù)論皇冠上的明珠，即便是專門研究數(shù)論的人類專家，想要將它們天衣無(wú)縫地組合在一起也需要耗費(fèi)數(shù)年心血。

然而，一個(gè)通用推理模型，卻在解決一個(gè)幾何問(wèn)題時(shí)，自發(fā)地將這兩者結(jié)合，完成了驚人的跨界降維打擊！

普林斯頓大學(xué)的組合數(shù)學(xué)泰斗Noga Alon表示，親眼看到這個(gè)內(nèi)測(cè)模型給出解答時(shí)，他被這種優(yōu)雅且聰明的手法深深震撼了。

英國(guó)皇家學(xué)會(huì)院士、菲爾茲獎(jiǎng)得主Thomas Bloom也在配套論文中寫道：

當(dāng)評(píng)估AI生成的某個(gè)證明的重要性時(shí)，我會(huì)問(wèn)自己：它有沒(méi)有教會(huì)我們關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的新知識(shí)？我們對(duì)離散幾何的理解加深了嗎？

答案是一個(gè)毫無(wú)疑問(wèn)的「是的」。

它向我們展示了，數(shù)論結(jié)構(gòu)在解決這類幾何問(wèn)題上，擁有遠(yuǎn)比我們想象的要深邃得多的發(fā)言權(quán)。

不是偏科戰(zhàn)神，而是通才

更驚人的是，OpenAI特別強(qiáng)調(diào)了一點(diǎn)：「這個(gè)證明來(lái)自一個(gè)全新的通用推理模型，而不是一個(gè)專門為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題或特定猜想而構(gòu)建的定制系統(tǒng)。

在過(guò)去，AI解決數(shù)學(xué)問(wèn)題往往依賴人類精心設(shè)計(jì)搜索框架，或者在特定領(lǐng)域（如自動(dòng)定理證明Lean語(yǔ)言）內(nèi)進(jìn)行局限的試錯(cuò)。

但這一次，AI是在一個(gè)前所未有的廣闊空間里，展現(xiàn)出了真正的長(zhǎng)鏈條、高內(nèi)聚推理能力。

數(shù)學(xué)是全人類邏輯思維最嚴(yán)苛的試金石：

定義不允許有半點(diǎn)含糊。

每一個(gè)中間步驟都可以被嚴(yán)格驗(yàn)證。

長(zhǎng)達(dá)數(shù)十頁(yè)的論證，只要中間有一處邏輯斷裂，整個(gè)證明就會(huì)瞬間崩塌。

AI成功了！

它像一個(gè)冷靜的、經(jīng)驗(yàn)極其豐富的棋手，在人類甚至無(wú)法覺(jué)察的知識(shí)圖譜中，完美地把控住了數(shù)萬(wàn)步的邏輯鏈條，沒(méi)有出現(xiàn)一次致命幻覺(jué)。

這種在宏觀上跨越數(shù)論與幾何、在微觀上絲絲入扣的推理能力，正是AGI最核心的圣杯。

科學(xué)研究的范式轉(zhuǎn)換：人類數(shù)學(xué)家下崗了嗎？

所以，人類學(xué)者會(huì)淪為旁觀者嗎？

恰恰相反。這次突破，恰恰體現(xiàn)了人類的重要性。

在AI生成原始證明后，人類頂尖數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)迅速介入。

他們不僅驗(yàn)證了證明的正確性，還在短時(shí)間內(nèi)寫出論文，普林斯頓的威爾·薩溫教授更是敏銳提煉出了\delta = 0.014的精確值。

AI是一個(gè)探險(xiǎn)家，踩出一條路，帶回寶石。人類科學(xué)家則憑借直覺(jué)，將寶石擦亮。

正如英國(guó)數(shù)學(xué)家Thomas Bloom的贊嘆：

知識(shí)的疆界從來(lái)不是平坦的，而是充滿了尖銳的峭壁。

AI正在幫助我們更全面地探索我們幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)建立的數(shù)學(xué)大教堂；在這些宏偉的穹頂之下，還有多少未被看見(jiàn)的奇跡，正在側(cè)翼等待著被喚醒？

而這股風(fēng)暴，也將席卷數(shù)學(xué)之外的整個(gè)世界。

在博客最后，OpenAI指出一個(gè)宏大圖景。

如果一個(gè)模型能夠保持極其復(fù)雜的論證前后一致，能夠?qū)⑾嗑嗳f(wàn)里的知識(shí)領(lǐng)域融會(huì)貫通，并且其產(chǎn)出的成果能夠通過(guò)最挑剔的人類專家的審視——那么，這樣的能力將同樣適用于生物學(xué)、物理學(xué)、材料科學(xué)、工程學(xué)和現(xiàn)代醫(yī)學(xué)。

AI已觸及科學(xué)研究中最具核心創(chuàng)造力的部分。人類的洞察力、審美，從未如此放大。

而這個(gè)世界的劇變，才剛剛開(kāi)始。

參考資料：

https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf

https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf

編輯：Aeneas KingHZ