新智元報(bào)道

【新智元導(dǎo)讀】困擾數(shù)論界半個(gè)多世紀(jì)的Zaremba猜想，被華人數(shù)學(xué)家張欣用一篇百頁論文終結(jié)——而關(guān)鍵一擊，來自另一位數(shù)學(xué)家?guī)字芮皠倓偘l(fā)表的成果。

數(shù)學(xué)圈地震！

數(shù)學(xué)家、香港大學(xué)數(shù)學(xué)系助理教授張欣宣布，在吸收了數(shù)學(xué)家Ilya Shkredov近期突破性成果的基礎(chǔ)上，正式攻克了困擾數(shù)學(xué)界已久的「扎雷姆巴猜想」（Zaremba's Conjecture）。

預(yù)印本：https://arxiv.org/abs/2605.02518

數(shù)學(xué)家、羅格斯大學(xué)杰出教授Alex Kontorovich激動(dòng)轉(zhuǎn)發(fā)學(xué)生的這一突破性成就！

一個(gè)猜想，50多年沒人能動(dòng)

要理解這個(gè)猜想，我們需要進(jìn)入數(shù)字的「顯微鏡」下——連分?jǐn)?shù)（Continued Fractions）。

任何一個(gè)有理數(shù)p/q都可以展開成這種疊羅漢式的結(jié)構(gòu)。

這些展開式中的每一個(gè)數(shù)字，都被稱之為「部分商」。

1971年，波蘭數(shù)學(xué)家Stanis?aw Krystyn Zaremba提出了一個(gè)關(guān)于連分?jǐn)?shù)的猜想：

對于任何正整數(shù)q，都存在一個(gè)與之互素的a，使得a/q的連分?jǐn)?shù)展開中，所有部分商都不超過某個(gè)固定常數(shù)A。

也就是說，無論分母q有多大，你總能找到一個(gè)分子a，使得這個(gè)分?jǐn)?shù)的連分?jǐn)?shù)展開式中，所有的數(shù)字都不會(huì)超過一個(gè)極小的常數(shù)。

這聽起來違背直覺：數(shù)字越大，不是應(yīng)該越復(fù)雜嗎？為什么它們會(huì)被鎖死在一個(gè)如此低的天花板之下？

這是美學(xué)，更是威力。

滿足這一猜想的數(shù)字，是數(shù)學(xué)世界里的「黃金分割點(diǎn)」，它們能生成極其均勻的分布。

在數(shù)值積分和偽隨機(jī)數(shù)生成領(lǐng)域，這便是通往「絕對精度」的鑰匙。誰掌握了它，誰就掌握了計(jì)算文明的精度底線。

但這看似簡單的猜想，卻讓全世界數(shù)論學(xué)家卡了半個(gè)世紀(jì)。

原因很簡單——它把數(shù)論中最刁鉆的三種結(jié)構(gòu)纏在了一起：連分?jǐn)?shù)的組合爆炸、丟番圖逼近的精度要求、以及篩法的極限邊界。

任何一個(gè)單獨(dú)拿出來都夠?qū)懸黄┦空撐摹?/p>

三個(gè)絞在一起，形成了一道幾乎無法正面攻克的「極大-極小-極大」問題。

張欣的「技術(shù)存貨」

張欣，亞歷克斯·孔托羅維奇（Alex Kontorovich）的學(xué)生。

張欣，現(xiàn)任香港大學(xué)數(shù)學(xué)系助理教授。博士師從Alex Kontorovich，于2014年獲石溪大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位；2009年7月，畢業(yè)于華東理工大學(xué)，獲計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)工學(xué)學(xué)士學(xué)位。

Alex Kontorovich本人就是連分?jǐn)?shù)領(lǐng)域的頂級專家。

Alex Kontorovich在普林斯頓大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位，在哥倫比亞大學(xué)獲得哲學(xué)博士學(xué)位。除了數(shù)學(xué)，他也頗有音樂造詣。他曾與格萊美獲獎(jiǎng)樂隊(duì)克萊茲馬提克斯巡演，聯(lián)合創(chuàng)立了樂隊(duì)Klez Dispenser，并在蒙特利爾國際爵士音樂節(jié)、曼哈頓林肯中心以及克拉科夫猶太文化節(jié)等場所演出。

2014年，數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎(jiǎng)得主讓·布爾甘（Jean Bourgain）和他合作，取得了Zaremba猜想的里程碑式部分進(jìn)展，證明了猜想對「幾乎所有」正整數(shù)成立。

論文鏈接：https://annals.math.princeton.edu/2014/180-1/p03

但「幾乎所有」不是「所有」。

從「幾乎所有」到「所有」，中間隔著一道數(shù)學(xué)家最熟悉的深淵：從99%到100%，往往比從0到99%更難。

但在數(shù)學(xué)家的法典里，99.999...% 并不等于 1。 只要有一個(gè)孤立的數(shù)字不滿足，真理的大廈就留有一道裂縫。這道縫隙，成了后繼者們的夢魘。

張欣選擇了一條不一樣的路。

他花了數(shù)年時(shí)間積累了基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，等待一個(gè)關(guān)鍵拼圖到位。

這個(gè)拼圖，幾周前到了。

Ilya Shkredov的「臨門一腳」

直到幾周前，俄羅斯數(shù)學(xué)家Ilya Shkredov像一名精準(zhǔn)的狙擊手，利用全新的群論工具，攻克了素?cái)?shù)（Primes）和素?cái)?shù)冪的情況。

近期，他發(fā)表的突破性成果，恰好擊穿了張欣此前無法逾越的技術(shù)瓶頸。

預(yù)印本鏈接：https://arxiv.org/abs/2603.14116

伊利亞·施克雷多夫（Ilya Shkredov），俄羅斯數(shù)學(xué)家，加法組合學(xué)領(lǐng)域的重量級人物。

戰(zhàn)場被極度縮小，但危險(xiǎn)依然存在。

施克雷多夫的方法雖然精妙，卻在面對復(fù)雜的「合數(shù)」（Composites）時(shí)顯得力不從心。這就像是已經(jīng)占領(lǐng)了所有的制高點(diǎn)，卻依然無法進(jìn)入那座由合數(shù)構(gòu)成的迷宮中心。

當(dāng)時(shí)還缺的最后一塊拼圖，是一個(gè)非常技術(shù)性的環(huán)節(jié)：需要在任意模數(shù)q的情形下，處理某種SL(2,Z/qZ)「擴(kuò)張性」（expansion）問題。

張欣敏銳地意識(shí)到，施克雷多夫留下的那個(gè)「合數(shù)真空」，恰好可以被他手中這些關(guān)于群擴(kuò)張的底層工具完美填充。

他將這些極其復(fù)雜的群論重型武器，精準(zhǔn)地嵌入到了Zaremba猜想的證明框架中，證明一氣呵成。

從特定序列到全體整數(shù)，最后的天塹瞬間消失。

Zaremba猜想，終結(jié)。

稍后，Alex Kontorovich會(huì)找時(shí)間更詳細(xì)地講解Shkredov-Zhang方法的思路。

這不僅是技術(shù)的勝利，更是一次浪漫的傳承：作為Kontorovich的前學(xué)生，張欣親手為導(dǎo)師十多年前開啟的遠(yuǎn)征，畫上了完美的句號(hào)。

數(shù)學(xué)家不接受「幾乎」，那是給物理學(xué)家的仁慈。張欣用最硬的技術(shù)，完成了最絕對的任務(wù)。

數(shù)學(xué)不是獨(dú)狼游戲

數(shù)學(xué)界經(jīng)常出現(xiàn)這種場景：A在山的這一側(cè)挖了十年隧道，差最后三米打不穿；B在另一座山上炸了一個(gè)口子，碎石滾下來，正好幫A鑿開了最后那堵墻。

這個(gè)故事最值得講的，不是「天才靈光一閃」。

恰恰相反：張欣的證明是一場精心準(zhǔn)備的戰(zhàn)爭。數(shù)年的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)、對領(lǐng)域內(nèi)所有工具的系統(tǒng)性掌握、對關(guān)鍵缺口的精確定位——然后，在另一個(gè)數(shù)學(xué)家提供了最后那塊拼圖的瞬間，完成致命一擊。

這才是現(xiàn)代數(shù)學(xué)真正的工作方式。不是一個(gè)人關(guān)在閣樓里苦想十年，而是一個(gè)全球知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中的「準(zhǔn)備+機(jī)遇」模型。

張欣準(zhǔn)備了百頁的彈藥。施克雷多夫遞來了引信。

孔托羅維奇看著自己的學(xué)生走完了自己沒能走完的路。

下一個(gè)被終結(jié)的世紀(jì)猜想，會(huì)是什么？

參考資料：

https://x.com/AlexKontorovich/status/2051667123001327949

編輯：KingHZ