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AI進(jìn)軍數(shù)學(xué)界的速度太快了。

OpenAI前腳剛用內(nèi)部模型突破埃爾德什的80年單位距離問(wèn)題，谷歌DeepMind后腳就解決一個(gè)同樣卡了人類56年的埃爾德什數(shù)學(xué)難題——

最新發(fā)布AlphaProof Nexus，一套由Gemini驅(qū)動(dòng)的智能體框架，一出手就是9個(gè)埃爾德什開(kāi)放問(wèn)題

除了這9道，它還順手證明了OEIS整數(shù)序列百科里的44個(gè)猜想、搞定了一道擱置15年的代數(shù)幾何難題、還改進(jìn)了凸優(yōu)化領(lǐng)域里一個(gè)沿用已久的理論邊界。

推理成本呢？每道題幾百美元，整套證明代碼也全都開(kāi)源放在了GitHub上。

這篇論文共有20位作者，其中的Aja Huang，也是2016年AlphaGo的核心研究員。

56年沒(méi)人做出來(lái)的題，AI 給了什么答案

AlphaProof Nexus解決的這幾道題，咱挑三道最有意思的說(shuō)說(shuō)。

Erd?s#12，1970年提出，懸置56年

這道題問(wèn)的是：你能不能找出一個(gè)無(wú)限大的整數(shù)集合，滿足兩個(gè)聽(tīng)起來(lái)很別扭的條件：

第一，任意從中挑三個(gè)不同的數(shù)字a、b、c，a永遠(yuǎn)不能整除b加c的和。

第二，這組數(shù)不能太零散，在自然數(shù)里要保持一定的密度。

簡(jiǎn)單理解就是，這群數(shù)字之間，既不能一個(gè)數(shù)整除另一個(gè)數(shù)，也不能一個(gè)數(shù)整除另外兩個(gè)數(shù)的和，同時(shí)數(shù)字還要分布得相對(duì)密集，不能只挑寥寥幾個(gè)數(shù)投機(jī)取巧。

從1970年開(kāi)始，就沒(méi)人能給出這個(gè)集合的完整構(gòu)造，各種局部進(jìn)展有，但始終拼不成一個(gè)整體解。

AI的解法是用中國(guó)剩余定理把大問(wèn)題拆成許多個(gè)獨(dú)立的區(qū)塊，每個(gè)區(qū)塊內(nèi)部用三項(xiàng)等差數(shù)列的回避集來(lái)滿足約束，然后把所有區(qū)塊拼回一個(gè)完整的無(wú)限集。

Erd?s#125，1996年提出，30年沒(méi)有定論

這道題聽(tīng)著就更奇怪了。

想象兩個(gè)數(shù)字集合：第一個(gè)集合里全是“在三進(jìn)制下只由數(shù)字0和1組成的整數(shù)”，第二個(gè)集合里全是“在四進(jìn)制下只由數(shù)字0和1組成的整數(shù)”。把這兩個(gè)集合里所有數(shù)字兩兩相加，得到一個(gè)新集合。

問(wèn)：這個(gè)新集合里的數(shù)字在自然數(shù)中出現(xiàn)的頻率（數(shù)學(xué)上叫下密度）是不是正的？

直覺(jué)上你可能會(huì)覺(jué)得，兩種集合包含的數(shù)字本來(lái)就不算很多，加起來(lái)應(yīng)該也挺稀疏的。

但稀疏到什么程度？是徹底稀到密度歸零，還是多少保持一點(diǎn)正密度？

這中間的差別非常微妙，1996年提出后一直沒(méi)定論。

AI的答案是：密度為零。

證明思路是log?除以log?是無(wú)理數(shù)。這意味著3的冪次和4的冪次可以以任意精度彼此逼近。

利用這一點(diǎn)，AI構(gòu)造了一個(gè)歸納性稀疏化論證：不斷找到兩個(gè)幾乎對(duì)齊的尺度，讓密度以0.99的比率一步步衰減，直到徹底歸零。

一個(gè)純數(shù)論的性質(zhì)，解決了一個(gè)組合幾何的問(wèn)題。

Erd?s#846，1992年提出，卡了人類34年。

這是個(gè)平面幾何題，AI證明了存在這樣一個(gè)無(wú)限擴(kuò)展的平面點(diǎn)集：

你從中任意挑出有限個(gè)點(diǎn)，總能發(fā)現(xiàn)其中大部分點(diǎn)是不共線的——

隨便截一段，看起來(lái)都挺正常，但當(dāng)你試圖把這個(gè)無(wú)限集合拆分成有限個(gè)“絕對(duì)沒(méi)有任何三點(diǎn)共線”的子集時(shí)，辦不到。

一個(gè)集合的每個(gè)有限局部都正常，但整體頑固得不可拆分。這種全局與局部的張力，是組合幾何里最難的那一類問(wèn)題。

AI把完全圖的每條邊映射到平面上一個(gè)點(diǎn)，用二次多項(xiàng)式編碼坐標(biāo)，再拉上無(wú)窮Ramsey定理完成證明，把一個(gè)幾何問(wèn)題翻譯成了圖論和邏輯的語(yǔ)言。

除了這三道，還有六道分別在整除集構(gòu)造、范德瓦爾登數(shù)間隙、西頓集孤立點(diǎn)、集合拆分密度等領(lǐng)域。

同時(shí)，AlphaProof Nexus還在OEIS整數(shù)序列百科里證明了44個(gè)開(kāi)放猜想，在代數(shù)幾何那邊解決了一道希爾伯特函數(shù)對(duì)數(shù)凹性的15年懸案，凸優(yōu)化那邊改進(jìn)了一個(gè)錨定梯度下降法的理論邊界。

菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒曾經(jīng)提醒過(guò)，AI目前解決埃爾德什問(wèn)題的實(shí)際成功率大約在1-2%，這次谷歌的系統(tǒng)挑戰(zhàn)了353道題，解開(kāi)9道，比例剛好對(duì)上了。

用幾百美元算力換一道56年難題

AlphaProof Nexus的架構(gòu)核心用一句話就能說(shuō)清楚，Gemini 3.1 Pro生成Lean語(yǔ)言證明步驟→Lean編譯器逐行檢查→報(bào)錯(cuò)直接反饋給模型→模型根據(jù)報(bào)錯(cuò)修改→再檢查→循環(huán)到全部通過(guò)。

好家伙，這有點(diǎn)像平時(shí)寫(xiě)代碼，只不過(guò)現(xiàn)在Debug的是數(shù)學(xué)定理……

在這套框架里，DeepMind設(shè)計(jì)了四個(gè)Agent

最簡(jiǎn)單的Agent A是同時(shí)啟動(dòng)多個(gè)獨(dú)立子Agent，先靠Gemini 3.1 Pro梳理解題思路，動(dòng)手編寫(xiě)證明代碼。

寫(xiě)完立刻交給編譯器核驗(yàn)，一旦報(bào)錯(cuò)，錯(cuò)誤信息就會(huì)傳回模型，讓它不斷修改、重試，直到通關(guān)。

全程沒(méi)有額外輔助工具，純靠寫(xiě)代碼+查錯(cuò)循環(huán)。

Agent B多了一樣?xùn)|西，AlphaProof。

AlphaProof是DeepMind之前專門(mén)為奧數(shù)級(jí)別題目訓(xùn)練過(guò)的強(qiáng)化學(xué)習(xí)證明工具。

當(dāng)Agent A模式在某個(gè)小步驟上反復(fù)卡住、編譯器反復(fù)報(bào)錯(cuò)也修不過(guò)來(lái)時(shí)，Agent B可以調(diào)用AlphaProof做一次強(qiáng)化學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)的樹(shù)搜索，專門(mén)攻擊這個(gè)局部難點(diǎn)。

Agent C引入了進(jìn)化算法的思路。

前面兩種Agent的子Agent都是各自獨(dú)立工作的，互不交流。

Agent C是所有子Agent共享一個(gè)證明草圖種群，每一個(gè)子模塊都會(huì)產(chǎn)出不同的證明草稿。

然后由另一個(gè)模型從合理性、清晰度、新穎性三個(gè)維度給每一份草稿打分，用Elo評(píng)分系統(tǒng)排名。

高分草稿會(huì)相互組合，衍生出新解法，低分草稿直接淘汰，整個(gè)種群在證明空間里做進(jìn)化搜索。

Agent D是全功能完全體，進(jìn)化篩選思路+專項(xiàng)工具攻克難點(diǎn)+大模型邏輯推理，三股力量在一個(gè)框架里協(xié)同，也是這次批量破解難題的主力。

這么看下來(lái)，我以為最強(qiáng)的Agent D應(yīng)該會(huì)碾壓一切，Agent A只當(dāng)個(gè)對(duì)照組。

結(jié)果沒(méi)想到論文里表明最簡(jiǎn)單的Agent A，同樣能解出全部9道題

沒(méi)有進(jìn)化算法，沒(méi)有AlphaProof，就一個(gè)LLM循環(huán)加編譯器反饋的Agent A，只是在難題上更費(fèi)錢(qián)一點(diǎn)。

研究團(tuán)隊(duì)把原因歸為兩個(gè)：

• 一是Gemini 3.1 Pro本身的能力已經(jīng)足夠強(qiáng)了；
• 二是Lean編譯器的那層實(shí)打?qū)嵉募m錯(cuò)反饋，對(duì)AI的引導(dǎo)作用，遠(yuǎn)比人們預(yù)想的更大。

這個(gè)結(jié)果或許也在預(yù)示著，未來(lái)隨著大模型能力持續(xù)升級(jí)，復(fù)雜的多工具組合系統(tǒng)，可能不再是剛需，只用大模型+專業(yè)校驗(yàn)工具這套簡(jiǎn)單循環(huán)，就能搞定大多數(shù)數(shù)學(xué)難題。

而且這套方案的優(yōu)勢(shì)也體現(xiàn)在成本上，單題僅需幾百美元。

埃爾德什生前為這些難題設(shè)置了懸賞，只是他不會(huì)想到——

解開(kāi)這些謎題的可能不是人類智慧，而是算力。

論文地址：https://arxiv.org/abs/2605.22763v1
Github地址：https://github.com/google-deepmind/alphaproof-nexus-results

[1]https://x.com/pushmeet/status/2058936037754224998
[2]https://the-decoder.com/google-deepminds-alphaproof-nexus-solves-decades-old-math-problems-for-a-few-hundred-dollars/

— 完 —