新定義“性質P θ ”

海淀區八上數學第25題

以“性質”作為新的定義，意味著這一題型又出現了新的變化形式，在數學中，性質是非常普遍的，例如分數的基本性質，全等三角形的性質等，我們可以理解為一種既定條件下的數學現象，我們的數學課堂充滿了這些數學現象，當我們研究它們，歸納它們之后，我們就理解了數學現象，從而掌握了它們的規律。

題目

解析：

01

(1)解讀新定義是非常重要的一環，在平面直角坐標系環境下，有兩條線段AB和CD，存在點P與它們之間的關聯，分別連接點P和某條線段兩端點，得到兩個角，大小均不超過θ，那么點P可能在何處？如下圖：

通過觀察上圖，我們發現在△ABP內部（含邊PA，PB）的點均符合∠PAB，∠PBA均不超過θ，進一步點P也可能在線段AB下方，我們將點P關于AB軸對稱，如下圖：

此時我們可以認為，兩個等腰三角形（底邊重合）即菱形APBP'內部（含四邊）的點均符合要求；

為敘述方便，后文均稱菱形，因為八年級上學期還未學習特殊平行四邊形，所以我們借助這個名稱簡化過程。

解決了一條線段，我們再增加另一條線段CD，用同樣的方式可以作出第二個菱形CEDE'，這兩個菱形若有公共部分，則稱AB和CD具有性質P，如下圖：

反之，若這兩個菱形沒有公共部分，則稱AB和CD不具有性質P；

基于以上理解，我們再來看第1小題的要求，就容易理解了，對于線段AB，存在點P，使∠PAB=∠PBA=45°，這樣的點P有兩處，即以AB為對角線構造一個正方形，同理，我們分別以C1D1，C2D2，C3D3為對角線也構造出三個正方形，若這三個正方形與前一個正方形有公共部分，則這個公共部分即為點P可能的位置，如下圖：

除以C2D2為對角的正方形外，均有公共部分，因此和AB具有性質P45°的是C1D1和C3D3；

02

(2)①AB和CD具有性質P60°，即分別以AB和CD為邊在兩側作兩個等邊三角形，這兩個等邊三角形構成一個菱形，對角線分別為AB和CD，看這兩個菱形有沒有公共部分，如下圖：

圖中的菱形AEBF是固定的，菱形CGDH大小會隨著點D位置不同而變化，點C是固定的；由條件0

在八年級上學期，我們還沒學習到勾股定理和特殊平行四邊形的相關知識，可用的只有等邊三角形性質，以及含30°角的直角三角形，因此在求圖中各點坐標時，需要構造不同的特殊三角形；

∠AOC=60°，而等邊△ABE中∠EAB=60°，可知AE∥OC；在等邊△CDH中，我們過點D作DK⊥CH，可得點K是CH中點，并且CK=1/2CD，這樣我們就知道u和v之間的關系是v=u+CK=u+1/2CD=1/2CH，而為了求得CH，我們分別過點C和H向x軸作垂線CI和HJ，易得△OCI≌△AHJ，于是可證CH=OA=2，這樣就能求出v=3/2；當v≥3/2時，如下圖：

所以結果是v≥3/2；

②AB和CD具有性質P90°，先解讀這一半，如下圖：

當θ=90°時，不妨過線段AB端點作它的垂線，夾在這兩根垂線之間的部分即滿足條件的點P位置，同樣過線段CD端點作它的垂線，兩垂線之間的部分即點P位置，不妨將這兩組垂線所夾部分看作兩條“通道”，它們交匯的部分即線段AB和CD具有性質P90°的點所在區域；

可以看出，兩條“通道”始終有交匯處，即在條件0

那么不具有性質P60°如何理解呢？

前一個小題我們探索過線段AB和CD具有性質P60°的情形，用圖形語言解讀，分別以AB和CD為對角線的菱形，存在公共部分；

因此，不具有性質P60°的意思，就是分別以AB和CD為對角線作菱形，這兩個菱形沒有公共部分，如下圖：

對于菱形CGDH，若想讓它與菱形AEGF沒有公共部分，則紅色菱形要“足夠小”，離菱形AEBF“足夠遠”，

若“足夠小”，則無論它在何處，都沒有公共部分，那么，我們需要確定最小的菱形邊長CH是多少；由于菱形CGDH的大小取決于邊長，而這是個特殊菱形，其邊長等于對角線CD的長，而對角線CD始終在一條固定的直線上，這條直線與AE之間的距離也是固定的，因此我們就有辦法確定這個最小值；

當點H在邊AE上時，得平行四邊形OAHC，則CH=OA=2，所以CD=2，根據前面探究的經驗，此時點C，D的橫坐標相差1，即v-u=1，當這個菱形“足夠小”時，即v-u<1；

若“足夠遠”，無論菱形CGDH有多大，都不會與菱形AEGF存在公共部分，仍然由前面的探究經驗，當CH所在直線位于點E上方時，如下圖：

此時根據前面所得經驗，CE=OA=2，可知點C橫坐標為1，只要u>1即可；

因此，u和v還應滿足的條件是u>1或v-u<1.

解題思考

實際上在給學生講這道題的時候，還是少出現菱形字眼比較好，用等邊三角形更合適一些，而對于圖中各點坐標，我們集中研究的是其橫坐標，因為在八下勾股定理和特殊平行四邊形之前，學生能夠理解比較好的，是特殊三角形，此時也不宜引入一次函數概念，甚至斜率。

用通俗一點的語言，學生能夠理解“足夠遠”和“足夠小”，然后就是用數學語言去描述，包括圖形語言，理解的難點在于最后一小題“不具有性質P60°”，它是“具有性質P60°”的否命題，所以我們在理解的時候，借助前面“有公共部分”的否命題是“沒有公共部分”，直觀呈現這種關聯，原理則是“具有性質P60°”等價于“菱形有公共部分”，同樣的“不具有性質P60°”等價于“菱形沒有公共部分”，當然，關于等價命題的概念，初中階段暫時不涉及。