初識(shí)萊洛三角形
武昌區(qū)六年級(jí)數(shù)學(xué)期末附加題
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2025-2026年武昌區(qū)六年級(jí)數(shù)學(xué)期末卷,難度較高,尤其是其附加題第33題,出現(xiàn)了萊洛三角形,這對(duì)于小學(xué)六年級(jí)的孩子是比較新鮮的事物,萊洛三角形在生活中其實(shí)很常見,只不過我們平時(shí)并不太注意而已,例如廣告圖案、建筑、汽車發(fā)動(dòng)機(jī)零件等。
教材中其實(shí)也留有它出現(xiàn)的空間,北師大版六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第3頁,討論車輪為什么是圓形時(shí),可以提出這種形狀的車輪,網(wǎng)上也有相應(yīng)的視頻可作為教材素材,讓學(xué)生明白圓形雖然最常見,但其它形狀的車輪也可能存在,至少不要留下車輪一定是圓形的慣勢(shì),如下圖:
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題目:
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解析:
01
(1)按要求作圖,會(huì)正常使用圓規(guī)工具即可;
02
(2)從作圖過程來看,學(xué)生需要知道萊洛三角形的每條邊(圓弧長)的圓心和半徑,還需要知道等邊三角形的每個(gè)內(nèi)角是60°,這樣三段圓弧可拼成一個(gè)半圓,因此它的周長是3.14×3=9.42厘米;
03
(3)請(qǐng)注意題目中的信息,在小學(xué)六年級(jí),我們并不要求學(xué)生掌握萊洛三角形更多信息,只需要知道它的一個(gè)特殊“在任何方向上都有相同的寬度”,理解這句話的要點(diǎn),就在于“任何方向”,不妨取一個(gè)特殊的方向,在圖3中,AB⊥DE時(shí),AB的長即可認(rèn)為是萊洛三角形的寬度;第二層理解,既然任何方向?qū)挾认嗤@意味著萊洛三角形在滾動(dòng)過程中,始終在一組平行線之間,這就是對(duì)“相同寬度”的深層理解,如下圖:
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用小學(xué)生理解的語言,有寬度為3厘米的刷子,圍著三角形DEF刷一圈,結(jié)果如下:
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所以,掃過的面積,就是三個(gè)長方形加三個(gè)扇形,每個(gè)長方形面積是3×6.28=18.84平方厘米,三個(gè)扇形恰好拼成一個(gè)圓形,面積是3.14×32=28.26平方厘米,最后相加18.84×3+28.26=84.78平方厘米.
解題思考
為什么萊洛三角形從任何方向看寬度都相同?
這需要一點(diǎn)初中的知識(shí),如下圖:
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點(diǎn)D為弧AB上任一點(diǎn),我們過點(diǎn)D作弧AB的切線,再過點(diǎn)C作這條切線的平行線,當(dāng)點(diǎn)D在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),過點(diǎn)C的平行線也隨之旋轉(zhuǎn),這兩條平行線間的距離就是CD長,即等邊△ABC的邊長;
當(dāng)點(diǎn)D移動(dòng)到弧BC上時(shí),我們過點(diǎn)A作它的平行線,如下圖:
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同理,當(dāng)點(diǎn)D在弧AC上時(shí),如下圖:
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這樣,無論從哪個(gè)方向看,我們看到的萊洛三角形的寬度,就是等邊△ABC的邊長;
這意味著,若有一組平行線,兩平行線間距離等于等邊△ABC邊長,則萊洛三角形ABC可以在其中滾動(dòng),利用這個(gè)原理,我們可以在生活中看到類似的平板車,如下圖:
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拓展一點(diǎn):鉆頭如何鉆出方形的孔?
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教學(xué)啟示:
在小學(xué)六年級(jí),學(xué)生可以了解上述知識(shí),知道“是什么”,但要真正理解,還需要到初中,學(xué)習(xí)了圓相關(guān)知識(shí)之后,會(huì)知道“為什么”,這也給我們的教學(xué)提出了更高要求,作為教師,是否了解上述萊洛三角形的知識(shí),是否理解諸多為什么,可以不對(duì)學(xué)生講,但自已要懂。
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