雙“模”構全等

海淀區九年級第27題

在人教版初中數學八年級上冊第29頁，初次接觸全等三角形時，教材上已經給出了未來可能遇到的各類全等三角形，如下圖：

將其中的三角形換成特殊的直角三角形，我們還可以得到更多熟悉的圖形，例如第43頁的練習，如下圖：

我們將這兩題的圖稍微變換一下，就是基本模型“一線三直角”和“手拉手”，如下圖：

當我們從例題和習題解題教學中，總結歸納出這一類“相似”的圖形，并且解題思路相近，為方便記憶，給出這一類的名稱，例如上圖中的一線三直角，意思就是三個直角的頂點在一條直線上，其中兩個直角分別是三角形的內角，還有一個直角是對應邊所在直線的夾角；

而“手拉手”模型則對應的是兩個通過旋轉重合的全等三角形，這一類圖形的特點是兩個三角形存在一個公共頂點，并且各對應頂點繞這個公共頂點旋轉重合，關鍵是找到這個公共頂點以及旋轉角；

模型不能脫離教材，由例題和習題歸納出來的模型，才有用。

題目

在△ABC中，AD⊥BC于點D，AD+CD=1/2BC，將線段AB繞點A逆時針旋轉90°得到線段AE，連接DE.

(1)如圖1，當AD=CD=1時，補全圖形，并求DE的長；

(2)如圖2，取AE中點F，連接DF，用等式表示DF與AC的數量關系，并證明.

解析：

01

(1)方法一：

由旋轉想到，以A為公共頂點，構造全等三角形，如下圖：

作AG⊥AC，交BC于點G，連接CE，由于△ACD是等腰直角三角形，因此△ACG也是等腰直角三角形，很容易證明△ABG≌△AEC，得BG=EC，∠AGB=∠ACE=135°，則∠DCE=90°；

由AD+CD=1/2BC求得BC=4，所以BG=EC=2，最后在Rt△DCE中由勾股定理求出DE=√5；

方法二：

由共線的兩個直角頂點想到，延長AD，過點E作AD延長線的垂線，垂足為H，如下圖：

證明其中的△ABD≌△EAH，得BD=AH，仍然先求出BC=4，則BD=AH=3，最后求出DH=2，在Rt△DEH中由勾股定理求出DE=√5；

02

(2)首先按要求作圖如下：

前面所用的兩種方法我們延續下來，每一種方法都可以找到突破；

方法一：

仍然過點A作AG⊥AC，交BC于點G，過點E作EH⊥BC，交BC延長線于點H，延長DF交EH于點K，如下圖：

第一對全等三角形是△ABG≌△AEH，證明思路和前面一樣，所得結論也類似，∠DHE=90°，DH=DG=AD，BG=EH；

第二對全等三角形是△ADF≌△EKF，這也比較容易證明，畢竟有AD∥EH這個結論，再加上點F是AE中點，可得AD=EK；

第三對全等三角形是△ADC≌△DHK，已經具備了AD=DH，∠ADC=∠DHK=90°；

由AD+CD=1/2BC可得BG=CG=DG+CD，且BG=EH，于是DG+CD=EH=HK+EK，兩邊都減掉相等的量DG和EK，剩下CD=HK，這樣第三對全等三角形的條件齊備了，可得△ADC≌△DHK，所以AC=DK，最后得到AC=2DF；

方法二：

仍然延長AD，過點E作AD的垂線交其延長線于點H，過點E作EK∥AH，交DF延長線于點K，過點K作KI⊥AH于點I，如下圖：

先證明△ABD≌△EAH，得BD=AH，再證明△ADF≌△EKF，得AD=EK，其中BD=BC-CD=2(AD+CD)-CD=2AD+CD；

而AH=AD+DI+IH=AD+DI+EK=2AD+DI，因此可得CD=DI，于是我們可證明△ACD≌△KDI，所以AC=KD=2DF.

解題思考

本題所用到的基本模型包括“一線三直(等)角”、“手拉手”、中線倍長等，這些基本模型均來源于教材例題和習題，它們就是所有解題模型的“母題”，代表一類解題思路，模型的使用需要理解其推導原理，明白在什么樣的條件下，怎樣想到。

當我們在教學生解題的時候，更多的是教會學生解決數學問題的方法，在審題的時候，明確要解決什么問題，已經具備哪些條件，可以使用哪些方法。

幾個常見誤區：第一是對例題思路分析較少，直接給出輔助線作法，缺少讓學生探究的過程；第二是變式訓練的變式過于直白，簡單更換條件或圖形，我們既然教的是方法，那么變式變化的，應該不僅僅是條件的互換，而應該是方法的升級；第三是對解題的復盤流于形式，學生一時想不到，原因是什么，老師需要幫助他們分析，順著學生的思路一步步走下去，直到卡殼的地方，將癥結找準，再引導學生用自已的方式解決。

模型不能機械照搬，刷模型更不可取，不理解，終究解決不了問題。