第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生

17世紀(jì)中后期，當(dāng)早期近代科學(xué)的發(fā)展出現(xiàn)以英國為中心的全面興盛的景象時(shí)，曾在16世紀(jì)中期至17世紀(jì)初期受到天文學(xué)革命和解剖學(xué)革命沖擊的神學(xué)思潮，此時(shí)已在這種興盛景象的背后重新泛起。在這股重新泛起的神學(xué)思潮的影響下，波義耳、萊布尼茨以及牛頓等一些著名科學(xué)家在自然觀上卻紛紛轉(zhuǎn)變到神學(xué)方面。

盡管牛頓竭力證明上帝的存在，并在他生活的后35年始終表現(xiàn)了對(duì)上帝的虔誠，但是正統(tǒng)神學(xué)家對(duì)牛頓并不滿意。到了1734年，即牛頓死后的第七年，一場(chǎng)由正統(tǒng)神學(xué)家向牛頓發(fā)起的攻擊發(fā)生了。這場(chǎng)攻擊就是由當(dāng)年升為大主教的正統(tǒng)神學(xué)家貝克萊(1685-1753年）向牛頓的微積分發(fā)起的。

貝克萊在閱讀了牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》后，1734年，他向牛頓生前的好友、天文學(xué)家哈雷寫了一封奇特的公開信：《分析學(xué)者，或致一個(gè)不信教的數(shù)學(xué)家。其中審查現(xiàn)代分析的對(duì)象、原則和推斷是否比之宗教的神秘與信條的構(gòu)思更為清楚，或推理更為明確》。信中所說的"分析學(xué)者"、"不信教的數(shù)學(xué)家"，均指哈雷而言。貝克萊的公開信的內(nèi)容要點(diǎn)，是企圖以牛頓的無窮小量中的自我矛盾為突破口，既對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行"神學(xué)的批判"，又對(duì)神學(xué)進(jìn)行"科學(xué)的論證"。在對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行"神學(xué)的批判"時(shí)，貝克萊抓住了牛頓在無窮小量的表述上的混亂以及在此基礎(chǔ)上運(yùn)用流數(shù)法的矛盾，批判牛頓所一直信奉的"基本的和最終的比"這一命題，認(rèn)為漸近于零的兩項(xiàng)之間不可能存在著有限的比，于是，貝克萊對(duì)牛頓的流數(shù)進(jìn)行猛烈的抨擊。他說："這些流數(shù)是什么？是漸近于零的增量的速度，那么這些相同的漸近于零的增量又是什么呢？他們既不是有限量，也不是無窮小量，可也不是虛無。難道可以把它們稱為死去的量的幽靈嗎？"貝克萊對(duì)牛頓的微積分的基本原理的攻擊，雖然出于一個(gè)正統(tǒng)神學(xué)家對(duì)科學(xué)的反對(duì)立場(chǎng)，但是他也確實(shí)揭示了微積分在創(chuàng)立初期尚未解決的內(nèi)在矛盾。正因?yàn)樨惪巳R在對(duì)微積分的攻擊中揭開了微積分的內(nèi)在矛盾，所以微積分本身即由此陷入理論危機(jī)之中。由貝克萊的發(fā)難所造成的這場(chǎng)數(shù)學(xué)危機(jī)，就是數(shù)學(xué)史上的著名的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

牛頓和萊布尼茨在創(chuàng)立微積分時(shí)，雖然他們都發(fā)現(xiàn)了微積分的基本原理和主要方法，但是，在對(duì)于微積分的基本概念無窮小量的表述上，他們都未能給予確切的數(shù)學(xué)的定義。他們時(shí)而說無窮小量是"零"，時(shí)而說無窮小量"非零"；他們時(shí)而說無窮小量"消逝為零"，時(shí)而說無窮小量"趨向于零"。總之，沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。正因?yàn)槿绱耍M管微積分在運(yùn)算方法上是正確的，但是，從邏輯上看，它違背了形式邏輯的基本規(guī)律；從常量數(shù)學(xué)來看，它是錯(cuò)誤的，而從變量數(shù)學(xué)來看，它也缺乏充分的理論依據(jù)。這說明，牛頓和萊布尼茨在最初發(fā)明微積分時(shí)，確實(shí)都還缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。也正因?yàn)槿绱耍攀关惪巳R這位敏銳的神學(xué)家終于從中看出了他所說的那種"嚴(yán)重的空虛、黑暗和混亂。"

貝克萊的公開信立即在數(shù)學(xué)家中產(chǎn)生了影響。哈雷此時(shí)已近80高齡，并未理會(huì)這位神學(xué)家的挑戰(zhàn)，但是，其他一些數(shù)學(xué)家相繼進(jìn)行了反擊。1734年，即在貝克萊公開信發(fā)表的當(dāng)年，英國數(shù)學(xué)家朱允(1684-1750年）即發(fā)表《幾何學(xué)，非不信教的朋友》這一公開的批駁信，首先對(duì)貝克萊的公開信進(jìn)行反擊。朱允認(rèn)為，對(duì)于精通幾何學(xué)的人來說，流數(shù)的概念是清楚的，并按照他的理解對(duì)牛頓的流數(shù)作了解釋。對(duì)此，貝克萊在1735年發(fā)表了題為《捍衛(wèi)數(shù)學(xué)中的自由思想》一文，予以反擊，為此，朱允又另著文反駁。

1735年，英國另一數(shù)學(xué)家羅賓斯(1707-1751年）也參加了論戰(zhàn)，他發(fā)表了幾篇論文，并出版了《論牛頓的流數(shù)法以及最初比與最終比方法的本質(zhì)與可靠性》的專著，試圖對(duì)牛頓的流數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)解釋，批駁貝克萊對(duì)流數(shù)的神學(xué)解釋。

此后，英國另一著名數(shù)學(xué)家馬克勞林(1698-1746年）也參加了反擊貝克萊的論戰(zhàn)。1742年，馬克勞林出版《流數(shù)論》一書。在這一著作中，馬克勞林除了駁斥貝克萊對(duì)微積分的攻擊外，還試圖建立起微積分的嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。

但由于當(dāng)時(shí)歷史條件的限制，直到19世紀(jì)初法國著名數(shù)學(xué)家柯西的極限理論建立前，微積分在數(shù)學(xué)理論方面所發(fā)生的危機(jī)一直未能從根本上結(jié)束。

但第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的發(fā)生，使人們認(rèn)識(shí)到微積分本身還不夠完善。這樣，微積分就開始了試圖克服自身危機(jī)的革命。此后，經(jīng)過近一個(gè)世紀(jì)的幾代人的相繼努力，微積分終于在19世紀(jì)初建立起了嚴(yán)密的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。