Integrable Free and Interacting Fermions

可積的自由和相互作用費米子

摘要

介紹了一維量子系統作為自由費米子和相互作用費米子時，其局域哈密頓量（local Hamiltonians）的可積性條件。自由費米子的定義是指 R 矩陣同時滿足楊-巴克斯特方程（Yang-Baxter equation）和Shastry的修飾星-三角關系（decorated star-triangle relation），這比Maassarani提出的先前的“自由費米子代數”（free-fermion algebra）更為普遍，且比在精確可解量子模型或與量子自旋鏈對偶的可積經典二維頂點模型語境下的自由費米子更為特殊。自由費米子 R R矩陣呈差形式（difference form）并具有共軛對稱性。這些自由哈密頓量有時可通過共軛算符進行形變，以描述具有非相對論性 R 矩陣的可積相互作用系統，Hubbard模型和縱向場中的XY模型即屬此類情況。此外，還獲得了一個關于此類形變究竟在何時仍保持可積性的進一步判據。提出了一種從局域哈密頓量迭代求解自由費米子 R 矩陣的實用程序，若滿足條件，該程序可用于構建非相對論性 R 矩陣。

1 引言

精確可解模型與可積系統是兩個常被混淆的術語，即使在該領域的專家中也常被互換誤用。前者的正統定義是：本征態（或至少是基態）可從哈密頓量中解析地對角化；而可積哈密頓量則必須通過數值求解超越貝特方程來對角化。從這個意義上說，可以公允地說大多數可積系統并非精確可解，反之亦然。然而，這兩個概念確實在一類特殊的可積模型上相交，這類模型同時也是“自由費米子型”的。該模型子集為一些關于可積性的廣泛流傳的說法（如“次近鄰（NNN）躍遷會破壞可積性”）提供了反例。顯然，這對自由費米子來說不成問題，因為即使在更高維空間中它們也能被精確求解。在附錄 A 中，我通過貝特擬設精確求解了此類自由費米子模型中最簡單的例子之一，旨在闡明自由費米子模型完全可以利用可積性方法來處理。

“自由費米子”的定義本身也是模糊的。在量子系統的語境下，現代定義是能譜可寫為 E = ±ε? ± ε? ··· ± ε? 的形式 [1, 2]。傳統上，可通過聯合使用 Jordan-Wigner (JW) 變換、傅里葉變換與 Bogoliubov 變換來對其對角化。但在完成對角化之前，僅憑一維（1D）局域哈密頓量很難判斷其是否描述自由費米子。相比之下，盡管可積性由滿足楊-巴克斯特方程（YBE）的 R 矩陣或擁有無窮多個守恒荷來定義 [3]，但 Reshetikhin 針對局域哈密頓量提出了一個條件 [4]，可方便地檢驗可積性，而無需訴諸試錯法。1 更復雜的是，上述自由費米子的定義與其在二維（2D）統計力學模型中的用法并不一致，已知這些模型與一維可積量子系統存在一一對應關系。在那里，至少對于八頂點模型而言，存在自由費米子的簡單條件，即玻爾茲曼權重滿足 a2 + b2 = c2 + d2。顯然，這包括了例如六頂點情形，眾所周知該情形可映射到 XXZ 鏈，而 XXZ 鏈只能通過嚴格的貝特擬設對角化，即并非自由費米子型。同樣地，也存在違反自由費米子條件的頂點模型，但其量子對應物卻具有自由費米子型的能譜。

幸運的是，基于 Kennedy 開創性思想 [5] 的最新進展，使得從可積量子哈密頓量自舉（bootstrap）二維統計力學模型的 R 矩陣成為可能 [6]。該方案利用了 R 矩陣按譜參數作泰勒展開時 YBE 中所包含的無窮多代數約束，因此僅適用于作為單一譜參數函數的相對論性 R 矩陣。以將此方法推廣至一般 R 矩陣為目標，我所采用的“自由費米子可積性”定義是：R 矩陣同時滿足 YBE 與 Shastry 的裝飾楊-巴克斯特方程（DYBE）[7]。Shastry 發現其 DYBE 是他構造一維 Hubbard 模型 R 矩陣的基本模塊 [8]，該方程規定了一個可積雙層頂點模型的玻爾茲曼權重。結果表明，DYBE 帶來的額外約束顯著簡化了自舉過程，使得 R 矩陣展開中的高階系數可用低階系數表示為閉式表達式。因此，自由費米子可積哈密頓量的 R 矩陣無需使用 Kennedy 的跡技巧即可迭代求解，且自由費米子條件也可方便地通過局域哈密頓量進行檢驗。

DYBE 的額外限制等價于 R 矩陣的一種共軛對稱性 [9, 10]。正是該共軛算符作為相互作用項進入了 Hubbard 模型的哈密頓量，構成了從自由費米子可積模型出發的可積形變。一個常見的誤解（甚至在可積性研究群體內部也是如此）是：Hubbard 模型因其具有雙譜參數的 R 矩陣而獨樹一幟。這并不正確，另一個例子是縱向場中的 XY 自旋 1/2 鏈（或稱 XYh 模型），其 R 矩陣已在文獻 [9] 中找到。該“俱樂部”中的另一模型是 Maassarani 的 SU(n) Hubbard 模型 [10, 11]。所有這些模型均可視為通過其共軛算符對自由費米子模型進行可積形變的結果，這似乎是已知唯一能從相對論性 R 矩陣生成非相對論性 R 矩陣的范式。因此，合理推測一個適用于雙變量 R 矩陣可積性的普遍條件是可行的，我們在詳細研究了兩個此類可積構造和一個不可積構造之后得出了該條件。

結合相對論可積性的 Reshetikhin 條件，新準則構成了量子可積性的一個必要條件。給定一個一般的一維局域哈密頓量，可先用 Reshetikhin 條件檢驗其可積性。若檢驗失敗，該哈密頓量可被分離為雙局域算符與作用于單個格點的算符之和。若哈密頓量在違反 Reshetikhin 條件的情況下仍然可積，則其雙局域部分應當是可積自由費米子的哈密頓量，對此我們現在已有專門的檢驗方法。若雙局域哈密頓量滿足自由費米子可積性條件，則第三項檢驗將判定總哈密頓量是否描述了與非相對論性 R 矩陣相關的可積相互作用費米子。

本文其余部分安排如下。第 2 節首先介紹 DYBE 與共軛對稱性，由此導出自由費米子可積性條件。隨后利用該條件迭代求解可積哈密頓量的 R 矩陣，該方法也可用于直接檢驗。本節最后給出小局域自由度示例的 R 矩陣，供后續章節使用。第 3 節仔細回顧了 Shastry 構造 Hubbard R 矩陣的過程，并提供了允許更廣泛應用的新見解。該節的另一進展是：作為 Shastry R 矩陣的推論，給出了 Hubbard 模型非厄米可積形變的顯式閉式表達式。第 4 節對 XYh 模型再次重復了這一過程，其中 R 矩陣中的三角函數被推廣為雅可比橢圓函數。第 5 節補充了第三個不成功的嘗試，以與兩個成功案例形成對照，因為人們可能天真地認為 Hubbard 模型也可通過耦合兩條 XY 費米子鏈來進行形變。然而這并不奏效，通過觀察問題出在何處，我們提取出了非相對論模型的可積性條件。最后，第 6 節總結全文，指出當前形式體系缺乏直觀解釋，并提出了若干可能的未來研究方向。

2 自由費米子的 R 矩陣

2.1 楊-巴克斯特方程與共軛

Shastry 在研究 Hubbard 模型的可積性過程中發現，像 XY 鏈這樣的自由費米子可積模型的 R 矩陣，除了滿足 YBE 之外，還滿足另一個約束條件，他將其稱為裝飾星三角關系 [7]。后來，它也被稱為 DYBE，并已知其與 YBE 等價：

因此，(1) 和 (4) 可被視為兩個獨立的約束條件。由于我們的目標是在未知的情況下獲得局域哈密頓量的可積性條件，我們將使用 (1) 和 (4) 進行推導。正如 YBE 具有如圖 1(a) 所示的圖形表示法一樣，DYBE 同樣可用圖 1(b) 進行圖示化表示。

2.2 R 矩陣的迭代求解 R 矩陣可按譜參數展開為級數：

2.3 哈密頓量的可積性檢驗

為了將(9)和(10)用作自由費米子可積性檢驗，一個虛構的流算符

2.4 su(2) 模型

一個不受 (14) 描述的非平凡可積自由費米子例子是 XY 模型，其局域哈密頓量為

這可以用來構造 XYh 哈密頓量的 R 矩陣 [9]，并且將是下一節回顧的 Shastry 對哈伯德模型 R R矩陣求解的出發點。

3 哈伯德模型作為耦合的自由費米子梯子 3.1 相互作用的 R R 矩陣作為自由 R R 矩陣的疊加

3.2 非相對論性 R R 矩陣的 YBE 基本解

將 ansatz (29) 代入 YBE

盡管上述推導與 Shastry 的原始解在很大程度上重疊，但通過直接處理 YBE，它并不依賴于他對 L 算符的巧妙猜測。其優勢有兩點：首先，這種萬無一失的方法使得為其他可積相互作用費米子模型構造 R 矩陣更具前景，這將是下一節的主題。其次，這種確定性方法結合擬設 (29) 的一般性，體現了 Hubbard 模型 R 矩陣的唯一性，直至文獻 [17] 第 12.2.5 節中詳述的規范和（廣義）扭轉變換。

3.3 四面體 Zamolodchikov 代數

還應注意，(30) 式在 ν = 0 時的解（等價于 RLL 關系）通常在一般情況下并不能自動保證滿足 YBE。但采用所謂的四面體 Zamolodchikov 代數 (TZA) [18]，已經證明帶有 (39) 式的解 (29) 滿足 (30) 式 [9]。

3.4 Hubbard 哈密頓量的非厄米形變

若對 R 矩陣 (29) 求導，所得結果是一類可積哈密頓量，由其中一個譜參數參數化：

4 外場中 XY 費米子的 R 矩陣

歷史上，Hubbard 模型是首個被構造出非相對論性 R 矩陣的可積相互作用費米子模型，考慮到其在凝聚態物理中的核心重要性，這確實是理所當然的。但它并非具有此類 R 矩陣的最簡單模型。事實上，這項工作本也可以針對具有化學勢的無自旋自由費米子，或等價地針對縱向磁場中的 XX 模型來完成。與其重復上一節中更為簡單的推導，我將處理一個更一般的情形，即在 x 和 y 方向具有各向異性耦合的情形，該情形已在文獻 [9] 中被研究過。

5 由耦合 XY 鏈導出的超導 Hubbard 模型

在見證了最后兩節的成功之后，很自然地會期望 Hubbard 模型在保持可積性的同時，可以通過超導對產生和湮滅項進行形變。樸素構造最終被證明不可積，這不應太令人驚訝，因為 DYBE（動力學楊-巴克斯特方程）和共軛對稱性的存在僅僅是具有非相對論 R 矩陣的可積性的必要條件。盡管如此，由于檢查該方案在何處失敗有助于識別進一步的可積性必要條件，我仍將執行構造該形變 R 矩陣的詳細過程。

超導 Hubbard 模型由哈密頓量定義

這些方程對于 λ , μ 的所有值不能同時被滿足。原因是 (65) 涉及四個獨立的算符，為了使無論譜參數取何值其左邊和右邊都恒等，每一個算符的系數必須消失（為零）。與前兩節中的例子相比，人們可以推測出一個進一步的可積性條件由下式給出：

上述出現的 R 矩陣屬于自由費米子，要么是單個副本，如 XYh 模型的情況；要么是多個可積自由費米子的 R 矩陣的乘積，即 Hubbard 模型的情況。而共軛算符也相應地選取。這些附加條件還不夠充分。假設它們得到滿足，那么正如之前多次展示的那樣，相互作用 R 矩陣的 YBE（楊-巴克斯特方程）意味著關于疊加系數的方程：

盡管最終條件的表述略顯復雜，但一旦已知自由費米子 R 矩陣和共軛算符（它們是 (68) 和 (69) 僅有的輸入），將其作為發現新可積相互作用模型的可積性測試來應用仍然異常簡單。如果它們被證明得到滿足，為了求解進入相互作用 R 矩陣的疊加系數，人們也不需要經歷推導出它們之前的那些步驟。結合該條件以及尋找自由費米子 R 矩陣的迭代程序，它們為尋找一維可積量子模型的二維統計力學對偶提供了一個自洽的框架。

6 結論

在本文中，我肯定地解決了最近提出的從可積局域哈密頓量求解 R 矩陣的自舉方案 [6] 中的一些遺留問題，即它如何推廣到非相對論可積模型及其 R 矩陣的唯一性問題。具有諷刺意味的是，理解具有兩個譜參數的更復雜 R 矩陣（即所謂非基本可積模型）的關鍵，在于研究簡單得多的自由費米子 R 矩陣的特殊性質。后者除了滿足 YBE 外，還滿足 Shastry 的 DYBE，這對它們的 R 矩陣的級數展開施加了強約束，使得它們可以從其局域哈密頓量迭代求解。DYBE 等價于一種共軛對稱性，該對稱性以 RLL 關系中 R 矩陣的另一解的形式出現。因此，這兩個唯一解的線性疊加普遍地描述了 YBE 的所有潛在解，并且自動依賴于兩個譜參數。只要自由費米子 R 矩陣和共軛算符滿足另一個可積性條件，該疊加系數就可以通過由共軛算符從自由費米子哈密頓量形變而來的相互作用哈密頓量唯一確定。

盡管此處發展的框架似乎很完整，但對其理解仍局限于實用層面，缺乏對背后物理機制的直觀解釋。這意味著自由費米子和相互作用費米子的術語可能并不理想，尤其是它既不符合統計力學中的用法，也不符合在精確可解量子鏈語境下的用法。但新的發展確實為一些早期假設提供了啟示。特別是，Hubbard R 矩陣的非相對論性曾被解釋為存在自旋和電荷自由度可以以不同速度傳播的結果。鑒于 XYh 模型具有相似的 R 矩陣，擁有兩個自由費米子副本似乎并不相關。也許更好的解釋是，對角共軛算符通過背散射耦合了自由傳播費米子的左行和右行模，從而打開了一個能隙。2 在第 2 節中，共軛在圖形上與時間反演對稱性相關聯，該對稱性將粒子與反粒子互換，仿佛 R 矩陣是散射 S 矩陣，而譜參數是快度。這可能是正確的方向，但需要充分發展。

獲得更多見解的一個可靠途徑是嘗試進一步推廣該框架，以包含尚未被發現的可積模型。例如，可能存在可積的自由 para 費米子 [20]，它們可以被形變為可積的相互作用 para 費米子。另一個值得探索的方向是向 Maassarani 的 SU(n) Hubbard 模型 [10, 11] 引入各向異性或超導形變，這可能會導致部分可積性 [21]。人們也可以考慮該框架中所研究模型的可能玻色子版本。例如，最近已證明單向跳躍 Bose-Hubbard 模型 [22] 是可積的，其非厄米哈密頓量可被視為耗散 Lindblad 系統的有效哈密頓量 [23]。從其 R 矩陣獲得的 Hubbard 模型 (44) 的可積形變的非厄米效應尚未被研究，甚至可能未被注意到。文獻 [23, 24] 中使用的跳躍算符似乎并未將 (46) 化為有效哈密頓量的形式。因此，這提出了一個問題：可積非厄米哈密頓量是否總能被描述為開放量子系統的有效哈密頓量？如果不能，哪些類型可以？

最后但同樣重要的是，文獻 [6] 中指出的仍有一些未決問題，當局限于自由費米子可積性的特殊情況時，這些問題可能變得更容易處理。最明顯的一個是：自由費米子可積性條件對于 YBE 和 DYBE 是否充分。

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.11172