【解題研究】知其所以然——海淀區(qū)一模選擇壓軸題

當(dāng)學(xué)生在遇到題目中包含有平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)時(shí)，有一種思維慣勢(shì)，將條件中的點(diǎn)、線解析化，利用解析幾何的思想來(lái)求解，但限于初中數(shù)學(xué)范圍，有些點(diǎn)、線并不容易利用解析式來(lái)表示，因此退而求其次，打算利用幾何直觀來(lái)“猜”，好在現(xiàn)在命題時(shí)給出的圖形比較標(biāo)準(zhǔn)，只要有足夠的作圖基本功，這也并非不可取。

但我們?cè)谘芯窟@一類壓軸題的時(shí)候，課堂上不能僅僅靠演示來(lái)告知學(xué)生結(jié)果是什么，更要分析為什么會(huì)是這個(gè)結(jié)果，知其然更要知其所以然。

題目

解析：

01

①圓心C到點(diǎn)A的距離即為半徑，由兩點(diǎn)間距離公式可以求出AC=√5，當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，如下圖：

當(dāng)MN與y軸重合時(shí)取最大值，其中CN為半徑，CM=1，所以MN=√5+1，①正確；

02

②由于AB∥x軸，所以△ABQ的面積始終等于△ABO的面積，如下圖：

由于點(diǎn)M在第一象限，所以觀察出四邊形ABMO的面積大于△ABO的面積，即四邊形ABMO的面積大于△ABQ的面積，②錯(cuò)誤；

03

③作為本題難點(diǎn)，理解等邊△AMN的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要，頂點(diǎn)A是定點(diǎn)，而另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在弧AB和拋物線上，有學(xué)生嘗試將點(diǎn)M表示成(t,1/2t2)，再用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)N坐標(biāo)，企圖用AM=AN來(lái)列方程，先不提如何將∠MAN=60°解析化，僅就這個(gè)方程，基本無(wú)解；哪怕反過(guò)來(lái)將點(diǎn)N用參數(shù)表示也一樣。

不妨從等邊三角形的概念入手，我們知道△AMN三邊相等，三個(gè)角均為60°，這是表象，繼續(xù)深入，可知等邊三角形的任意兩邊都可以繞其中一個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°得到，例如AN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，可得邊AM，我們?cè)诤芏鄮缀晤}中用到的旋轉(zhuǎn)變換基本模型，就是這個(gè)原理。但在本題中，如何利用好這一理解呢？

請(qǐng)注意圖中還有一個(gè)定點(diǎn)C，則AC也是定線段，當(dāng)AN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)之后，點(diǎn)C依照同樣的旋轉(zhuǎn)會(huì)在何處，如下圖：

將點(diǎn)C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)C'，同樣將點(diǎn)N繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)N'，于是△ACN≌△AC'N'，我們并不需要去求點(diǎn)C‘坐標(biāo)，只需要知道它是個(gè)定點(diǎn)，而C'N'=CN=√5+1，說(shuō)明C'N'是定長(zhǎng)，我們得到了到定點(diǎn)C'的距離始終等于定長(zhǎng)的點(diǎn)N'，由圓的定義可知，點(diǎn)N'一定在以C'為圓心，√5+1為半徑 的圓上，只要這個(gè)圓與拋物線有交點(diǎn)，則這個(gè)交點(diǎn)即為點(diǎn)M，如下圖：

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)圓C'與拋物線一定存在交點(diǎn)M，即存在等邊△AMN，③正確；

04

④以D(0,3/2)為中點(diǎn)的線段MN，我們需要換種理解方式，以點(diǎn)D為圓心的圓，任意一條直徑中點(diǎn)均為點(diǎn)D，這就給我們尋找M、N位置提供了方便，如下圖：

分別以DO和DA為半徑作圓，小圓與弧AB沒(méi)有公共點(diǎn)，意味著找不到對(duì)應(yīng)的N點(diǎn)；大圓與拋物線和弧AB均沒(méi)有公共點(diǎn)，即找不到對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)和N點(diǎn)，

而半徑位于這二者之間的圓，雖然它分別與弧AB有交點(diǎn)，與拋物線也有交點(diǎn)，但顯然這些點(diǎn)并不是直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，如下圖：

所以滿足條件的線段MN不存在，④錯(cuò)誤.

解題思考

在解題過(guò)程中，利用了幾何直觀，但前提是能夠?qū)D形準(zhǔn)確地畫(huà)出來(lái)，而且畫(huà)出所需要的圖形方便判斷，這就極考驗(yàn)學(xué)生對(duì)幾何概念的理解程度。例如等邊三角形的概念，小學(xué)就已經(jīng)學(xué)過(guò)，知道三條邊相等，三個(gè)角均為60°，如果經(jīng)過(guò)初中三年的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解仍然停留在小學(xué)階段，是失敗的，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了更多幾何概念之后，這些概念之間會(huì)存在新的關(guān)聯(lián)，用旋轉(zhuǎn)變換去理解等邊三角形即為其中之一，當(dāng)然還有更多的關(guān)聯(lián)，需要在平時(shí)的教學(xué)中幫助學(xué)生融合。

又例如線段中點(diǎn)的概念，這也是自小學(xué)就知道的，當(dāng)我們學(xué)習(xí)了直徑之后，對(duì)于直徑的中點(diǎn)是圓心往往一帶而過(guò)，所以在給定中點(diǎn)尋找相應(yīng)的線段時(shí)，不容易聯(lián)想到圓，這是個(gè)稱手的工具。

我們?cè)趶?fù)習(xí)階段梳理知識(shí)的時(shí)候，有一項(xiàng)任務(wù)就是幫助學(xué)生建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的核心就是我們平時(shí)經(jīng)常接觸到的“強(qiáng)關(guān)聯(lián)”，而像本題這樣的邊緣網(wǎng)絡(luò)屬于“弱關(guān)聯(lián)”，能否將這張網(wǎng)建構(gòu)起來(lái)，需要平時(shí)就養(yǎng)成多思考的習(xí)慣，不能被定勢(shì)思維約束，只有思維是開(kāi)放的，這張網(wǎng)才足夠廣。