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發言人：陶哲軒，加州大學洛杉磯分校

演講主題：新的數學工作流

摘要：傳統數學工作模式，包括少數數學家圍繞黑板研討、向同行評審期刊投遞研究論文，以及課堂常規教學等形式，均誕生于純人工研究數學的時代，如今已愈發難以適配機器輔助數學研究的發展現狀。正如汽車問世后，人類必須設計新式道路與之匹配，我認為數學研究領域也需要引入全新工作流程，才能充分挖掘人工智能、形式化驗證與協作平臺所具備的新型能力價值。本次演講列舉現階段涌現的新型工作案例，并對未來發展趨勢作出展望。

PPT：（中文翻譯僅供參考，請以原文英文為準）

作者：斯坦福大學FMS（Future of Mathematics Symposium）

陶哲軒，加州大學洛杉磯分校教授 2026-5-2

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-25

求喜歡

主持人：

（賈里德?杜格爾?利克曼 Jared Duker Lichtman，斯坦福大學助理教授）

我們十分榮幸迎來本場主旨演講嘉賓之一，來自加州大學洛杉磯分校的陶哲軒教授，他同時也是純粹與應用數學研究所專項項目負責人。

陶哲軒和我聊過一件趣事，數月前純粹與應用數學研究所也曾舉辦過一場同類型會議，會上大量相關議題備受熱議。如今斯坦福舉辦這場會議，時機恰到好處。他還提到，2021年該研究所的會議上，各類發展趨勢已然逐步匯聚顯現。他以學界領軍者的身份，提醒業界留意當下逐步顯現、以及未來數年即將出現的諸多科研進展，這份付出意義深遠。

陶哲軒于2006年斬獲菲爾茲獎，在數論、組合數學、偏微分方程與分析學諸多領域都建樹頗豐。今天，他將為我們探討未來數年數學領域亟需思考的全新研究工作模式。話不多說，有請陶哲軒。

陶哲軒：

謝謝賈里德。很高興來到這里。很遺憾昨日未能到場，日常授課與學生事務繁忙，實在無法抽身。接下來我將探討數學領域即將迎來的變革，本次分享視角相對宏觀。

現階段AI人工智能輔助數學研究，大多局限于求解單一問題、攻克公開猜想或是撰寫單篇論文。但數學絕非零散定理與獨立論文的簡單拼湊，其背后存在一套完整體系，我們必須從整體體系層面展開考量。一味針對單個問題優化解法，如今已然和整體體系優化產生沖突，這類局部優化思路需要適當調整。

數百年來，數學研究的整體模式基本未曾大變。回溯一兩百年前的數學會議，盡管當時通用德語、法語交流，也沒有演示文稿工具，但研究開展的核心方式和當下相差無幾。

反觀其他自然學科，早已歷經多次轉型革新，即便人工智能問世之前，各類變革也層出不窮。如今大型科研協作模式普及，跨團隊聯合研究成為常態。其他學科里，多人合著論文愈發普遍，作者人數不再局限兩三人，動輒十人乃至五十人的合著成果屢見不鮮。數十年來，數學論文基本依舊保持一到兩名作者的創作模式。

另一顯著變化體現在數據體量上。諸多學科告別數據匱乏階段，邁入數據海量的新時期。科研人員獲取數據的渠道大幅拓寬，雖無法窮盡全部數據，但可調用的數據規模十分可觀。基因測序領域便是典型代表，行業模式徹底革新。數學領域如今也迎來相似轉折。長久以來，數學界處于證明稀缺階段，難題的證明過程難以攻克；而今步入證明井噴時期，定理證明的產出速度遠超數學其他板塊的發展節奏，我們必須適應這一全新變化。

傳統數學研究模式正如上圖所言：少數研究者圍坐黑板研討，線下當面交流仍是主流，線上會議、郵件僅作為補充形式，紙筆依舊是核心工具。所有從業者都具備博士層級的專業功底，研究成果實行同行互審機制。協作過程中，彼此需要高度信任，畢竟證明過程如同鎖鏈，短板之處決定整體嚴謹度。倘若合作人員在關鍵推導步驟出現疏漏，且未經過復核核驗，整套證明便會全盤失效。其他學科容錯性相對更高，單個數據小幅偏差不會撼動整體結論。但純數學推導不存在這類容錯空間，應用數學中尚且可以容納部分數值誤差。

以往無需刻意區分的目標分類，如今變得至關重要。科研項目均設有目標，整體可劃分為顯性目標與隱性目標兩類。顯性目標直白明確，例如證明某條定理、解答某項猜想、攻克特定學術問題。隱性目標依附于顯性目標存在。過往人工研究模式下，研究者在完成顯性任務的同時，會自然而然兼顧隱性訴求。但人工智能未必能夠做到這點，這也成為當下不容忽視的問題。

舉個例子，團隊定下證明猜想的顯性目標，推進過程中還會衍生諸多隱性訴求：梳理本次證明與過往文獻的關聯、挖掘延伸性研究問題、總結全新推導方法及其適用范圍、剖析題目核心難點、區分各類解法對應的攻堅方向、搭建完整清晰的研究邏輯框架，同時錘煉自身解題能力，也讓論文讀者從中收獲成長。

大家追求的不只是一份無法復刻的復雜證明，更希望借助研究實現學識與能力的共同提升。人工研究中，這些隱性目標會自然落地。研究者會主動記錄推導難點，規范引用參考文獻，從成敗經驗中總結積累，顯性與隱性目標能夠同步達成。

如今隱患已然顯現，人工智能產出的成果，開始割裂兩類目標。智能程序可以從技術層面完成解題任務，卻無法契合人類研究對應的隱性訴求。人工智能推導得出的猜想證明，即便通過形式化驗證工具核驗無誤，也常常存在文獻引用缺失的問題。成果創作借鑒了過往論文思路，卻未標注相關出處。

證明內容里，常規推導步驟占據大量篇幅，具備創新價值的核心內容，往往被埋沒在零散小節中。成果難以提煉出新的研究思路，也無法衍生后續探究方向，更不能幫助人類提升解題能力。優化提示指令能夠一定程度彌補這類缺陷，但此前業界并未著重關注該問題。不少研究者只求得出答案，順利通過程序核驗便終止研究，后續梳理完善工作悉數擱置。

未來或將出現這樣的局面：即便難題被人工智能破解，卻沒有科研人員能夠完整講解證明思路、解答相關疑問。即便設想由人工智能進行宣講，最終效果也難以達到預期。問題得以解決，學科發展卻停滯不前，現有證明成果無法發揮實際價值。

人工撰寫的論文偶爾也會出現疏漏，存在核心思路講解模糊、知識傳承效果不佳等問題。同行評審環節可以排查不足、修正缺陷。后續還會衍生補充論文、專業著作等解讀內容，歷經層層梳理簡化，凝練核心思想，最終形成可以納入研究生課堂教學的成熟理論，這一過程稱作證明消化。

人工智能產出成果數量激增，人工評審已經無力完成全部核驗工作，僅有頂尖研究成果能夠沿用傳統審核模式，絕大多數成果只能依靠自動化手段校驗。形式化證明核驗工具可以篩除錯誤推導，卻只能滿足正確性這一項基礎隱性要求。學界同樣重視證明的易懂性與拓展研究價值，這些都曾是人工評審的核心評判標準。

自動核驗能夠替代逐行校驗正誤的基礎工作，減輕評審負擔，評審人員可側重評估成果學術價值與文獻關聯度。但海量產出依舊帶來巨大審核壓力。借助人工智能模型輔助評審雖能進一步分擔工作，卻無法做到萬無一失，獎勵投機行為便是一大棘手難題，這類工具僅可作為輔助篩選手段，不能當作核心審核依據。

我常將人工智能技術比作汽車發明。如今運算處理效率大幅提升，但期刊發表、課堂教學、人才培養、同行評審等配套體系，依舊沿用汽車誕生之前的老舊模式。一味升級車輛性能，提升速度、運力與能耗效率，反而會加劇交通擁堵。單獨優化個體出行方案，無法兼顧整體交通運轉效率。

當下亟需搭建適配新技術的全新體系架構，劃分不同應用場景。保留傳統人工研究的專屬領域，合理劃定人工智能的使用邊界，搭配多元協作模式。配套體系完善之前，單純迭代智能模型、增加產出數量，無法推動行業長遠進步。

我們需要跳出小團隊數月攻堅單一問題、結題發表的傳統模式，探索多元化研究形式。眾人協作項目便是早期創新模式，誕生于人工智能普及之前。十幾名研究者依托網絡平臺協同攻關，這類項目累計開展約十五項。項目依托博客、維基平臺運作，既能攻克全新公開難題，也可優化已有證明結論，收緊數值邊界，挖掘理論跨領域關聯。

該模式難以誕生顛覆性獨創見解，這類深度突破往往依靠學者長年深耕鉆研。但其優勢在于廣度拓展，不同領域專家均可參與探討。固定小團隊研究，思路視野局限于成員專業范疇，輔以文獻查閱與學術交流拓寬邊界。多人協作項目中，研究者可以按需調取優化理論、代數幾何等跨領域知識，打通理論關聯，拓寬研究邊界。

這一特性和現代人工智能優勢相通，模型依托全網海量數據訓練，具備廣博的知識儲備。項目推進過程存在階段變化，初期大量人員發散探討，嘗試各類研究方向，多數思路逐步淘汰，僅剩少數可行路徑。大量參與者里，最終僅有少數人員聚焦同一方向，大型協作逐步收縮為三四人的小型團隊研究。部分項目轉為線下推進，線上研討也逐步貼合傳統協作模式。

眾人項目的核心價值，在于篩選可行研究路徑，整合適配的研究團隊。除此之外，這類公開項目也為青年學子提供寶貴學習渠道。正式發表的論文與學術報告，大多呈現完善的最終成果，規避失敗嘗試與修正過程。公開協作模式完整留存研究全貌，直觀展現探索歷程，具備獨特教學意義。

這類項目如今難以延續，規模化運作存在明顯短板。海量評論信息需要專人管控梳理，引導研究者摒棄無效思路，核查全部研究貢獻，全程依靠人工處理，耗費大量全職精力。早年博客、維基平臺缺乏版本管控工具，無法實現現代化代碼協同編輯，內容依靠文本往來傳遞，協作效率受限。現代技術可以補齊部分硬件短板，但眾人協作項目已然不符合當下發展節奏。

著名的PolyMath 8項目極具代表性。數學家張益唐證明素數間距存在有界差值，無窮多組素數的差值存在固定上限，初始推算得出上限數值為七千萬。該數值并非理論臨界值，存在極大優化空間，隨即引發學界優化熱潮。

起初學者單獨縮減數值，后續開啟全網協同攻關，歷時一年將上限優化至246。該項目和傳統研究模式差異顯著，成功具備多項關鍵條件：研究目標清晰，評判標準直觀，便于量化進度、排名對比；課題可拆分獨立模塊，研究者無需通曉全部內容即可分工作業；局部結論優化能夠聯動整體結果，支持分組同步推進；階段性成果具備認可價值，小幅數值優化也擁有學術意義。

單一團隊難以窮盡全部優化思路，多方參與才能挖掘各類推導方式，多方條件促成項目圓滿落地。項目進度依托人工維護的維基頁面記錄，數值整體穩步下降，期間數次迎來重大突破，各項模塊數據相互關聯影響。

傳統眾包項目Polymath逐漸沒落，形式化證明項目成為新式替代模式，運作邏輯高度相似。復雜定理拆解為細分模塊（blueprint藍圖），研究者認領任務獨立完成推導。代碼托管平臺、形式化工具與持續核驗技術，實現流程自動化，研究任務分散開展，依托線上論壇松散統籌。現代化項目管理方式替代零散留言溝通，任務分配清晰規整，無需人工逐一跟進進度。

細分推導命題可手動完成形式化編寫，也可交由人工智能處理。模型有時會判定命題無解，實則源于公式表述偏差，相關問題需要全員研討修正定義，無法全程自動化運行，線上論壇可以高效處理這類協調事宜。如今技術發展領先配套體系，不僅單一命題、細分引理可以形式化處理，整篇論文也能交由智能程序自主拆分解析。

技術層面能夠順利完成編寫，但整合對接現存難題。不同項目拆分邏輯、撰寫風格存在差異，程序容易重復推導同類結論，未能凝練通用基礎引理，編寫規范有待完善。現有模型以代碼編譯正確為基礎目標，并未兼顧易懂性、復用性等隱性創作要求。

論壇、代碼平臺均適配人工操作邏輯，智能程序遇到問題，無法自主發帖問詢、等待反饋并修正內容。即便未來上線智能交互機器人，當下人工協作流程與自主智能運算依舊相互割裂。

目前僅能實現微觀銜接，研究者領取細分任務，私下借助智能工具解題，完成后再同步團隊整體進度，體系融合依舊面臨挑戰。

學界將形式化任務劃分兩類，僅作為區分參考。

第一類，以核驗真偽為唯一目標，不在意證明結構、代碼復用度與行文簡潔度，只需判定結論成立即可。這類任務適配現有人工智能工具，無需兼顧附加要求。

第二類，屬于多目標形式化任務，除驗證結論外，還追求代碼規整易讀、可復用聯動，兼顧多項隱性訴求。現階段這類任務無法過度依靠智能程序，人工智能僅能處理邊界清晰的細分工作，整體統籌依舊依靠人類完成，后續模式或許會逐步調整。

分類劃分如同劃分人行通道與機動車道，同時催生新的激勵矛盾。以有限單群分類定理形式化為例，海量文獻整合得出百萬行驗證代碼，僅能證實定理成立，推導邏輯雜亂晦澀，無法梳理清晰框架與核心步驟。學界同樣追求結構規整、思路凝練的標準版本證明，梳理優化推導流程。但現有學術評價體系優先認可首發成果，基礎核驗完成后，后續規整完善項目參與意愿大幅降低。

攻克顯性目標之后，整體優化完善的動力隨之減弱。即便開展精細化編寫，工作人員也傾向直接沿用已有粗糙代碼，難以做到逐行精心打磨。解題速度與成果質量的平衡問題，亟待妥善解決，形式化研究與基礎解題領域均出現這類矛盾。題庫難題成為觀測該現象的實景樣本。這類題目所屬領域適配人工智能運算特點，難度層級豐富，能夠直觀展現解題進展。

該題庫設有專屬網站與研討論壇，平臺制定人工智能使用規范，適度接納智能輔助解題。其他同類學術論壇管控標準更為嚴苛，限制智能工具使用，人工研討氛圍濃厚，相應也不會出現成果擁堵積壓問題，兩種模式各有利弊。

題庫總計上千道難題，往年數百道題目依托過往文獻得到解答，后續陸續出現人工全新解法，近期人工智能貢獻大量新增解題成果。今年年初迎來解題熱潮，人工、智能及混合解法批量涌現，大量難題集中攻克。基礎簡易題目均被多方反復推演后，進度暫時放緩。近期隨著大模型更新迭代，解題數量再度回升。

目前仍有數百道難題懸而未決，題目難度跨度極大，部分篇幅簡短即可求證，部分難題研究深度等同于專業論文級別。統計數據未結合難度加權核算，部分題目附帶獎金獎勵，暫無細化分析數據。

人工智能在解題過程中發揮多重作用：文獻檢索精準高效，核驗并完善現有證明，重構精簡推導過程，優化邊界常數，衍生全新論證思路，開展數值模擬運算，如今還可依托簡易指令，半自動乃至全自動完成完整解題推導。

數學解題分為三大核心階段：推導得出完整證明、核驗排查論證錯誤、梳理消化核心思路。梳理環節包含理論溯源、邏輯梳理、復盤推導思路、挖掘后續研究方向。

一年前，三項工作均存在較高難度，全部以人力為主完成，難度相對均衡，研究重心普遍聚焦證明推導。人工智能與形式化技術升級后，推導、核驗兩大環節效率大幅提升，梳理消化環節卻停滯不前。首次出現證明消化滯后問題，海量證明成果產出核驗完畢，卻無人能夠清晰講解闡釋，無法吸收借鑒研究價值，解題流程未能真正收尾。

評判成果價值，不應單純以推導、核驗完成為標準，能否當眾講解論證、解答相關疑問，才是更為合理的判定依據。當下智能產出成果，普遍未能達成完整價值閉環。

平臺頻繁收到這類投稿：研究者借助大模型得出解題結論，通過多重智能核驗，但無暇逐處細致復查，公開成果征集校驗意見。這類成果暫無最終定論，早期產出數量較少時，志愿者自愿抽空復核完善。如今積壓二十余項待核驗內容，后續梳理工作無人承接，證明消化滯后問題凸顯。

人工智能生成的證明文稿閱讀體驗欠佳，部分結論套用經典定理，行文卻未標注引用出處，人工寫作會直接援引定理簡化步驟，智能文稿則平鋪贅述基礎推導。文稿難以區分主次內容，核心步驟與常規推導篇幅配比失衡，初代智能成果普遍存在這類問題。借助其他模型優化行文表述，能夠小幅改善缺陷。但科研激勵側重首發成果，研究者缺乏打磨完善的主觀意愿，問題難以徹底解決。

題庫研討板塊原本僅有零星待審核內容，如今積壓數量陡增，審核資源供不應求。工作人員優先篩選邏輯清晰、經過初步梳理總結的成果推進核驗，大量文稿長期擱置，開源項目代碼合并、期刊投稿也陸續遭遇同類困境。增設核驗門檻，要求成果附帶形式化驗證文件，可過濾部分不合格內容，但依舊無法解決消化梳理的核心難題。

過往僅關注推導與核驗環節，如今必須認清，核驗完成不等于解題終結，梳理消化是不可或缺的收尾階段。以往三項工作同步自然推進，現階段需要明確重視梳理價值，重新界定成果標準，調整學術激勵機制。

數學家威廉?瑟斯頓有一段貼切的論述："我們研究數學，并非單純堆砌定義與證明。評判工作成效的核心，是能否助力人們更清晰高效地思考、理解數學"。傳統研究模式受限于固有框架，人工智能的賦能上限有限。依托新技術開拓全新研究路徑，突破原有束縛，才能充分釋放智能技術潛能。

分享兩項實操研究案例。第一項是我兩年前啟動的等式理論項目（ETP，Equational Theories Project），詳情參閱：

嘗試借助眾包模式，批量驗證海量微型數學命題。項目沿用眾人協作項目的優勢準則，課題模塊化拆分，進度可量化評判。在泛代數范疇內擬定兩千兩百萬道推導命題，涵蓋交換律、結合律等四千條運算規則，探究定律間的推導蘊含關系。

雖然傳統的數學研究可能已經達到了其能夠有效吸收的人工智能輔助能力的極限，但還有其他一些實驗項目有可能在更大范圍內利用人工智能。例如，考慮等式理論項目（ETP 2024-2025）：

例如驗證交換律能否推導出結合律，判斷滿足交換律的運算是否必然符合結合性質。代數專業研究生單題可短時判定真偽并出具證明，海量題目無法依靠人力逐一完成。定律句式過長的命題屬于不可判定問題，本次限定運算次數，劃定出題范圍。

項目三個月內完成全部命題判定，95%以上題目可自動求解，主要依托傳統自動定理證明工具，未大規模使用前沿人工智能。剩余百道高難度題目由人類攻關，全部完成形式化錄入。

課題拆分靈活，進度數據實時公示，工作人員分組認領任務，分工撰寫證明、轉換代碼、批量推演關聯命題，整體協作運轉順暢。前沿大模型能夠解答99%以上命題，出具形式化證明，但單題耗時較久，處理海量題目成本極高。

該項目全程依托志愿開展，無經費支持。企業技術團隊雖可復刻研究，卻需承擔巨額開銷。解題應當優先選用輕量化基礎工具，快速處理簡易問題，分層調配人力與智能資源，將頂尖算力、專家人力聚焦高難度核心命題。依托項目形成的海量題庫，可用于測評模型能力。開源模型判定命題正誤準確率僅55%，表現勉強優于隨機猜測，運行成本相對低廉。

目前我聯合團隊開展模型優化競賽，依托提示詞優化，提升開源模型推理水準。類比考試備考，優等生答題正確率優異，普通學生正確率接近半數，參賽選手編制參考提示手冊，檢驗能否大幅提升答題準確率。賽事已開展三個月，全程免費開放，選手提交優化方案，對標多款開源模型測評。

首輪賽事結束，優質提示手冊可將答題準確率提升至80%至90%，即便針對高難度題目，性能也明顯改善，逐步拉近與頂尖模型的差距。賽事二輪階段即將開啟，參賽人員可編寫程序調用模型，在成本限制內，依托開源工具，不僅判定命題真偽，還需出具對應的形式化證明或反證結論，實際表現值得期待。

這類課題可以全面放開人工智能使用權限，研究者自主搭建運行框架，調試優化方案，研究成果具備學術價值，不受傳統模式弊端制約。全新競賽題型同樣適配智能技術發揮實力。傳統研究領域需要調整評價導向，弱化首發證明、首次形式化的單一評判標準，將闡釋梳理、成果消化擺在重要位置。

整體而言，科研目標需要清晰界定。人類接收任務時，能夠領會字面要求與潛在訴求；人工智能只會刻板執行指令，難以自主挖掘附加目標。我們需要重新思索數學研究的根本意義。

Q&A 問答環節

觀眾：您提到的激勵差距，讓我聯想到費馬大定理。最初的證明晦澀繁復，后續誕生更為易懂的推導版本，雖未提出全新結論，依舊獲得學界高度認可。這一案例是否可以類比人工智能相關研究？

陶哲軒：人工研究領域本身就存在證明迭代梳理的過程。首個完成證明的研究者，往往并非闡釋理論的最佳人選。知曉定理可證的結論，本身就能啟發新思路，衍生優化版本證明。

人工智能產出難懂證明后，也大概率會催生配套解讀推導。過往梳理人員規模、能力與證明產出相互匹配，如今證明產出數量大幅激增，梳理進度跟不上產出速度，才形成如今的擁堵困境。

觀眾：您劃分了純核驗類形式化證明，結合方程理論項目，傳統數學中是否存在僅需驗證結論，無需深究證明細節的課題？

陶哲軒：解析數論范疇內有適配方向。該領域常規研究側重漸近范圍、極限趨勢，多用模糊常數表述邊界，不細化具體數值。

精準解析數論則專門核算確定常數，界定數值適用區間，推演過程精細繁瑣，容錯要求極高，結論相互依托關聯。

這類數值邊界優化、聯動核算工作重復性強，適合交由人工智能處理，無需深度創新思考，核驗更新數值即可。可以劃分獨立研究賽道，將這類事務外包給智能工具完成。

觀眾：證明推導、核驗的優先級下降，梳理消化愈發關鍵。從本科線性代數到研究生分析課程，數學教學可以做出哪些調整適配變化？

陶哲軒：目前暫無定型方案，但考核標準需要轉變。當下常規數學習題，人工智能均可精準解答，標準答案不再適合作為核心評判依據。

教學可側重課堂展示、課題研討、互動交流形式。哈佛院校已有相關教學嘗試，學生分組分工，分別負責命題創編、提示詞優化、成果評估、整體統籌，借助人工智能完成結業考核任務，學習收獲成效顯著。

純線上考核難以規避智能輔助，線下閉卷考試依舊具備保留價值。

觀眾：能否借助人類反饋強化學習，訓練模型完成證明梳理工作？

陶哲軒：工具使用容易形成思維定式。借助算法可以仿照梳理形式，制定引用規范、重點標注等評判標準，實現模型交叉評審。

量化指標容易引發投機適配問題，看似規整的闡釋內容，實則可能偏離核心要義，誤導理解認知。

理論價值需要時間沉淀，部分論文多年后才顯現深遠影響，當下無法設定評判標準。優化手段適用部分場景，不能一概套用。往后證明消化滯后的現象，將會愈發普遍。

主持人：本場分享到此結束，再次感謝陶哲軒的精彩演講。

參考資料

https://www.youtube.com/watch?v=Uc2zt198U_U

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