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能否通過一種叫“手術(shù)”的拓?fù)渥儞Q，將形態(tài)各異的幾何空間重塑為球體？這個拓?fù)鋵W(xué)中著名的Kervaire不變量問題困擾了科學(xué)家們很久，直到最近才被徹底解決。

2024年5月30日，普林斯頓大學(xué)研討會的參會者見證了一個激動人心的時刻。加州大學(xué)洛杉磯分校的數(shù)學(xué)家徐宙利宣布，他與同事們一起解決了一個自20世紀(jì)60年代以來一直困擾著數(shù)學(xué)家的問題——第126維的Kervaire不變量問題。這個問題涉及奇異形體，被稱為Kervaire不變量問題，以數(shù)學(xué)家米歇爾·科維爾（Michel Kervaire）的名字命名。

去年，徐教授訪問了位于劍橋的艾薩克·牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所，參與了名為“等變同倫論”（帶有對稱性（群作用）的空間連續(xù)形變）的研究項目。他在這里與明尼蘇達(dá)大學(xué)的邁克爾·希爾（Michael Hill）教授合作，后者在2009年幫助他取得了突破性的進(jìn)展。

讓我們跟著希爾和徐宙利的視角領(lǐng)略各個維度，重走漫長而艱辛的 Kervaire 不變量問題證明之旅。

何為最完美的形狀？

講述這個引人入勝的問題的一種方法是，從“哪種幾何形狀最令人愉悅？”這個問題入手。雖然這取決于個人品味和喜好，不過球體無疑是強(qiáng)有力的競爭者。它圓潤完美，永無止境，而且自成一體。

球體是一種非常理想的形狀，很容易描述——球體由所有到給定中心點距離為固定值r的點組成。一旦你知道了中心點和半徑r，你就掌握了關(guān)于球體的一切信息。它完美地平衡了簡潔與完美?！扒蝮w是一個非常美麗的物體，”徐宙利曾說，“如果你在尋找一個[范圍有限的物體]，球體就是大部分人首先想到的例子。”

球體是由到給定中心點距離相等、距離固定的所有點組成的。

來源：freepik

拓?fù)鋵W(xué)：探究“孔洞”的重要性

鑒于球體的特殊地位，一個自然而然的問題是：任何其他形狀與球體究竟有多大區(qū)別？高爾夫球和橙子并非完美的球體，它們表面有凹陷和凸起。然而，如果就此斷言它們的形狀本質(zhì)上并非球形，那就太片面了。

橙子和高爾夫球雖然不是完美的球形，但它們?nèi)匀痪哂星蛐蔚囊恍┨卣鳌?br/>

拓?fù)鋵W(xué)這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可以幫助我們理解這一點。在拓?fù)鋵W(xué)中，無需切割或粘合即可相互變形轉(zhuǎn)化的兩種形狀被認(rèn)為是等價的。在這種較為寬松的視角下，高爾夫球和橙子等價于球體。

球體本質(zhì)上是一個曲面。雖然它在我們學(xué)校里學(xué)到的三維歐幾里得空間里很常見，但其自身卻僅具有二維屬性（僅需要兩個維度：經(jīng)度和緯度，即可描述球面上任意一點的位置）。當(dāng)然，曲面的形態(tài)遠(yuǎn)不止這一種，事實上，曲面的形態(tài)是無窮無盡的。你的手機(jī)或筆記本電腦屏幕各自構(gòu)成了一個曲面，你正準(zhǔn)備享用的咖啡和甜甜圈也是如此，而且盛放咖啡的杯子本身也是一個曲面。

事實上，曲面種類繁多，無窮無盡。當(dāng)數(shù)學(xué)家們面對如此無窮無盡的對象時，他們便會想要對它們進(jìn)行分類?！胺诸惗ɡ淼膹?qiáng)大之處在于它能給你一個完整的列表，”徐宙利說，“這就像有很多籃子。給定一個特定的物體，你就有辦法決定它應(yīng)該放在哪個籃子里?！?br/>

在拓?fù)鋵W(xué)中，分類的依據(jù)是孔洞。拓?fù)涞葍r于球面的曲面不能有任何孔洞：如果它們有孔洞，那么為了得到一個球面，你就必須把這些孔洞粘起來，而這是不允許的。這就是為什么甜甜圈（“環(huán)”面）不等價于球面。然而，它卻等價于咖啡杯，因為咖啡杯也有一個孔。

把甜甜圈變成咖啡杯。

這種方法也普遍適用于其他曲面。假設(shè)你正在觀察一個曲面，它的性質(zhì)與球面和環(huán)面類似，都是封閉的。首先，這意味著它沒有邊緣，你不會在上面行走時摔倒。球面和環(huán)面都符合這個條件，但圓盤則不然，因為圓盤有清晰的邊界。其次，封閉性還意味著你的曲面是有限的，也就是說，你可以用有限數(shù)量的面片來構(gòu)建它（這種性質(zhì)也稱為“緊致性”）。同樣，球面和環(huán)面也符合這個條件，但平面則不然，因為平面向各個方向無限延伸，所以你需要無限多個面片才能構(gòu)建它。

最后，假設(shè)你所觀察的曲面是“可定向的”——這意味著它有明確的內(nèi)外之分。球體和環(huán)面都符合這個條件，但只有一面的莫比烏斯帶則不符合。

莫比烏斯帶和球體一樣都是曲面。但與球體不同的是，它沒有兩個不同的面。它是不可定向的。圖片：David Benbennik，CC BY-SA 2.0

事實證明，任何封閉且可定向的曲面，其拓?fù)湫再|(zhì)完全由其所擁有的“孔洞”的數(shù)量決定：如果沒有孔洞，則其拓?fù)涞葍r于球面；如果有一個孔洞，則其拓?fù)涞葍r于環(huán)面；如果有兩個孔洞，則其拓?fù)涞葍r于一個有兩個孔洞的環(huán)面，以此類推。一旦確定了曲面的孔洞數(shù)量（也稱為曲面的“虧格”），就知道它屬于哪個拓?fù)漕悺@是一種簡潔的孔洞層級結(jié)構(gòu)。

一個球體、一個環(huán)面、一個有兩個孔的曲面和一個有三個孔的曲面。 但與球體不同的是，它沒有兩個不同的面。

數(shù)學(xué)家將曲面上的孔洞數(shù)量稱“不變量”。在拓?fù)鋵W(xué)允許的變換范圍內(nèi)（不進(jìn)行切割或粘貼），曲面上的孔洞數(shù)量不會改變。通常，在數(shù)學(xué)中，不變量是分類對象的有效工具。所有不變量值相同的對象都被歸入同一個類別。例如，我們可以將沒有孔洞的曲面歸為一類，將有一個孔洞的曲面歸為一類，將有兩個孔洞的曲面歸為一類，以此類推。

回到我們最初的問題，即哪些表面可以被視為是“接近”或“近似”球體呢？現(xiàn)在我們有了一個可能的答案。它們就是“第一個籃子”里的那些：閉合的、可定向的、沒有孔洞的曲面。

更高維度呢？

正如本文開頭所述，真正有趣的事情發(fā)生在維度提升之時。我們無法在高維空間中直觀地看到形狀，因為我們的大腦天生就不具備這種能力。然而，我們完全可以用數(shù)學(xué)方法來定義高維空間以及存在于其中的形狀。只要掌握了數(shù)學(xué)工具，即使看不到物體，也能對其進(jìn)行運(yùn)算。

我們熟知的普通球體被稱為二維球面，因為它是一個二維物體。對于每個維度n（n可以是3及以上的任意整數(shù)），都存在一個與二維球面類似的物體，稱為n維球面。正如二維球面存在于一個三維空間中一樣，你也可以將n維球面想象成存在于一個n+1維空間中。

對于每個維度n，都存在被稱為n維流形的形狀（抽象的，可以變形的幾何空間結(jié)構(gòu)）。就我們目前的討論而言，它們是可以被看做是“曲面”在高維空間中的對應(yīng)物。這些n維流形的形狀附帶一些映射，可以幫助我們剖析和理解它們

龐加萊猜想

現(xiàn)在你可以提出與前文相同的問題：哪些n維流形在拓?fù)渖系葍r于n維球面？對于三維流形來說，這個問題引發(fā)了一場持續(xù)百年的數(shù)學(xué)遠(yuǎn)征。受普通二維球面研究結(jié)論的啟發(fā)，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊于1904年提出猜想：所有閉合且“無孔洞”的3維流形，在拓?fù)渖隙嫉葍r于3維球面。

因為這與我們可以直接想象的低維情形完全可以直接類比，你可能會認(rèn)為這個結(jié)果應(yīng)該很容易證明。但是事實并非如此，20世紀(jì)代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的大部分研究都集中在證明龐加萊猜想上。直到21世紀(jì)初，俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman）發(fā)表了三篇論文，證明了龐加萊猜想（實際上，他證明了一個更廣的結(jié)果，稱為“瑟斯頓幾何化猜想”，以數(shù)學(xué)家比爾·瑟斯頓（Bill Thurston)的名字命名）。佩雷爾曼因其工作于2006年被授予菲爾茲獎，這是數(shù)學(xué)界最重要的獎項之一，但他拒絕接受，這也是菲爾茲獎首次被拒絕。

1992 年的格里戈里·佩雷爾曼（Grigory Perelman）照片：George Bergmann，CC BY-SA 4.0。

由于龐加萊猜想在三維球面上都難以證明，人們可能就會認(rèn)為更高維度的證明會更加困難。但奇怪的是，事實并非如此。在佩雷爾曼證明三維球面上的龐加萊猜想之前很久，四維及更高維度球面上的龐加萊猜想的推廣版本就已經(jīng)被證明了——五維球面上的證明在20世紀(jì)60年代被證明，四維球面上的證明在20世紀(jì)80年代被證明。約翰·米爾諾（John Milnor）、史蒂夫·斯梅爾（Steve Smale）和邁克爾·弗里德曼（Michael Freedman）也因此分別獲得了菲爾茲獎?wù)隆?br/>

在前面我們梳理了任意維度中與球面拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)最接近的類比對象。現(xiàn)在，我們準(zhǔn)備尋找稍微遠(yuǎn)一些的類比對象——而這正是Kervaire不變量問題的核心所在。

如果我們不再局限于那些只能擠壓或拉伸，而不允許切割或粘合的流形，而是允許更劇烈的改變，會怎么樣呢？如果我們允許從流形中切割出部分形狀，并將新的形狀沿著切割后的原始形狀的邊界粘合進(jìn)去，又會怎么樣呢？如下圖所示，這樣一來，就可以將環(huán)面變成球面。

沿著藍(lán)線（頂部）切割圓環(huán)，并將其彎開，得到一個兩端開口的管子（左下）。然后在開口處粘上蓋子（右上），并將形狀“充氣”成球體（右下）。

實際上，這種切割和拼接的操作在數(shù)學(xué)上有著明確的定義，稱為“手術(shù)(surgery)”。你可以將那些能通過“手術(shù)”變成球面的曲面想象成球體的“遠(yuǎn)房表親“”。它們在拓?fù)鋵W(xué)上并不等價于球面，但經(jīng)過一些“手術(shù)”處理后就能變成球面。

Kervaire不變量問題旨在尋找與球面密切相關(guān)的、具有手術(shù)性質(zhì)的“表親”。它僅限于在帶有框架的流形中尋找，也就是說，這些流形帶有其在周圍高維空間中位置的額外信息。問題是：給定一個帶有框架的n維流形，它能否通過手術(shù)轉(zhuǎn)化為n維球面？

頑固的維度

1969 年，美國數(shù)學(xué)家威廉·布勞德（William Browder）證明，在“大多數(shù)”維度中，任何框架流形都可以通過手術(shù)轉(zhuǎn)化為拓?fù)淝蛎妫@一發(fā)現(xiàn)使該問題取得了重大進(jìn)展。

由此產(chǎn)生的拓?fù)淝蛎姹环Q為奇異球面，這意味著它擁有更深層的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（微分結(jié)構(gòu)），與真正的n維球面有著本質(zhì)區(qū)別。將奇異球面轉(zhuǎn)化為真正的n維球面的過程，包含著劇烈的波動和變化，而這種更深層的結(jié)構(gòu)無法承受這些波動。米爾諾在20世紀(jì)50年代發(fā)現(xiàn)了奇異球面，并發(fā)明了處理它們的“手術(shù)”方法。盡管奇異球面確實很奇特，但它們?nèi)匀皇峭負(fù)淝蛎妗?br/>

布勞德的研究未涵蓋的維度類型非常特殊。指定維度的數(shù)字可以寫成2k-2 的形式，其中k=2,3,4,等為整數(shù)，由此得出這些數(shù)字。

以此類推。這意味著對于框架化的二維流形、六維流形、十四維流形、三十維流形等等，它們有可能非常棘手，即使通過切割和粘貼的方式也無法將它們變成拓?fù)淝蛎妗?br/>

屢敗屢戰(zhàn)

正是這個不變量再次幫助我們找到了這些棘手的流形。1960年，在土耳其數(shù)學(xué)家卡希特·阿爾夫（Cahit Arf）工作的基礎(chǔ)上，科維爾（Kervaire）定義了一個數(shù)，可以針對任何給定的框架流形計算該數(shù)。它的值始終為0或1。如果該數(shù)的值為0，則該流形可以被精確地轉(zhuǎn)換為球面；如果值為1，則該流形無法被精確地轉(zhuǎn)換為球面。這個數(shù)后來被稱為Kervaire不變量。它定義了兩個類別：一個類別包含可以精確地轉(zhuǎn)換為球面的流形，另一個類別包含不能精確轉(zhuǎn)換為球面的流形。

根據(jù)布勞德的結(jié)論，Kervaire不變量只有在維數(shù)為2k-2的流形上才能等于1。因此，數(shù)學(xué)家們開始尋找這類特殊的流形，并取得了一些初步的成功。到了20世紀(jì)80年代，他們已經(jīng)證明，在2、6、14、30和62維的流形中，存在Kervaire不變量為1的框架流形。

邁克爾·希爾（Michael Hill）

在這些案例中，阻礙“手術(shù)”構(gòu)建的是它們的框架結(jié)構(gòu)，也就是它們在周圍空間中的位置?！皩τ诮o定的流形，可能存在不同的框架結(jié)構(gòu)，”徐宙利說道。“在一種框架結(jié)構(gòu)下，你或許可以通過手術(shù)將流形轉(zhuǎn)化為球體，但在另一種框架結(jié)構(gòu)下則可能不行?！奔词故呛唵蔚沫h(huán)面也存在阻礙手術(shù)的框架結(jié)構(gòu)。通俗點來說，就是一旦框架結(jié)構(gòu)源于對環(huán)面的扭曲，使其穿過自身。這種扭曲無法通過手術(shù)逆轉(zhuǎn)。

四維空間中，進(jìn)階版「莫比烏斯帶」—— Klein瓶的演化。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)往往是仁慈的，它總能證實數(shù)學(xué)家門所語感的規(guī)律。因此人們曾普遍假設(shè)2k-2列表中的所有其他維度都會遵循同樣的規(guī)律：所有這些維度都包含Kervaire不變量1的框架流形。

希爾說：“當(dāng)時的主流觀點認(rèn)為這些流形都存在，而且該領(lǐng)域的大多數(shù)研究人員都曾試圖證明這一點?！庇鴶?shù)學(xué)家維克托·斯奈斯（Victor Snaith）甚至在2009年出版了一本關(guān)于Kervaire不變量流形1的書，并在序言中寫道：“這本書最終可能會證明它們并不存在?！边@種它們可能不存在的情況被稱為“末日假說”，因為它似乎會讓很多研究成果付諸東流。

“但是，人們試圖證明[存在的框架流形Kervaire不變量1的證明]的努力總是付諸東流，”希爾說，“人們就像海浪一樣不斷撞擊巖石海岸?！?/p>

希爾，邁克·霍普金斯（Mike Hopkins）和道格拉斯·雷文內(nèi)爾（Douglas Ravenel）決定從側(cè)面入手解決這個問題?！拔覀円恢痹谘芯炕羝战鹚购兔桌臻_發(fā)的所謂高階實K理論，”希爾說。這些工具用于同倫理論（空間連續(xù)變化），前景廣闊，但人們尚未能將其應(yīng)用于許多領(lǐng)域?！拔覀儺?dāng)時想，等等，我們能不能用這些工具來解釋Kervaire不變量的問題呢？于是我們坐下來做了些初步計算，看看整個過程該如何進(jìn)行?！?br/>

事實證明，這個想法令人大吃一驚。斯奈斯出版了他那本影響深遠(yuǎn)的著作后不久，希爾，霍普金斯和雷文內(nèi)爾就證明，在254維及以上的空間中，不存在Kervaire不變量等于1的流形?！拔覀儺?dāng)時想，我的天哪，情況比我們想象的要復(fù)雜得多。這比我們預(yù)想的還要離奇。”

最后的疆界：維度126

這樣就剩下一個維度尚未解決——126維。希爾及其同事取得突破后不久，徐宙利在彼得·梅（Peter May）的指導(dǎo)下于芝加哥大學(xué)攻讀博士學(xué)位?！爱?dāng)時我正在彼得·梅的辦公室里和其他新來的博士生聊天”彼得突然說：“最近希爾、霍普金斯和雷文內(nèi)爾解決了Kervaire不變量問題，但有一個例外：126維。你為什么不試著去解決這個問題呢？這就是你的論文課題了。”我以為他在開玩笑?！?br/>

但彼得是認(rèn)真的——徐宙利感到畏懼，也是情理之中的。彼得把徐宙利介紹給了馬克·馬霍瓦爾德（Mark Mahowald），當(dāng)時他是西北大學(xué)（美國高校）該領(lǐng)域的權(quán)威專家，后來也成為了徐宙利的博士生導(dǎo)師?！癒ervaire不變量問題屬于一個更大的領(lǐng)域，即研究球面的穩(wěn)定同倫群” 徐宙利說，“馬霍瓦爾德對這個領(lǐng)域有著百科全書般的了解，不僅僅是文獻(xiàn)方面的知識：他腦子里也裝著很多東西。”馬霍瓦爾德也向徐宙利證實了，126維問題是一個“畢生難解的難題”。

徐宙利

徐宙利于2011年開始研究這個領(lǐng)域時，那會人們對126維空間的發(fā)展方向還沒有什么清晰的認(rèn)識。而且用于126維以上空間的方法與用于低維空間的方法截然不同。徐宙利首先深入研究了62維空間——這是126維之前最后一個符合要求的維度。有趣的是，要證明62維空間的結(jié)果，并不需要了解之前所有維度的全部信息?！斑@里有個捷徑，”徐宙利說，“你只需要掌握大約四分之三維度的完整信息——直到大約45或47維?！?br/>

為此，徐宙利需要深入理解球面上的穩(wěn)定同倫群——這些對象涉及不同維度球面之間的關(guān)聯(lián)方式。問題在于，這種理解過去是、現(xiàn)在仍然是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中最大的挑戰(zhàn)之一。拉瓦內(nèi)爾曾表示，他不認(rèn)為在他孫輩中，有生之年能夠?qū)崿F(xiàn)這一目標(biāo)。

徐宙利開始研究Kervaire不變量問題時，人們對球面穩(wěn)定同倫群的嚴(yán)格理解僅限于40維左右。“彼得·梅建議說，‘你的問題是126維的。其中四分之三的維數(shù)在90多維左右。如果你能將知識范圍擴(kuò)大一倍，然后再尋找捷徑，或許就能達(dá)到126維了?！?br/>

在接下來的十年左右時間里，徐宙利決定采用這種方法，并得到了韋恩州立大學(xué)的丹·伊薩克森（Dan Isakson，徐宙利的第三位博士生導(dǎo)師）的關(guān)鍵指導(dǎo)。上海復(fù)旦大學(xué)的林偉南和王國禎兩位合作者在研究的不同階段都有參與其中，提供了用于對球面穩(wěn)定同倫群進(jìn)行復(fù)雜計算的精密計算機(jī)程序。

遺憾的是，盡管付出了巨大的努力，捷徑終究未能走通。然而徐宙利、林偉南和王國禎并沒有止步，他們毅然決然的向高維空間發(fā)起了沖擊，并在125維空間進(jìn)行著最后的艱苦努力。最終，在2024年，他們證明了：126維空間確實存在Kervaire不變量為1的框架流形——這些流形無法通過手術(shù)轉(zhuǎn)化為球面。

這最終解決了所有維度的Kervaire不變量問題：Kervaire不變量為1的框架流形僅存在于 2、6、14、30、62和126維空間中。因此，這類特殊的流形非常罕見。在所有其他維度中，所有框架流形的Kervaire不變量均為0。

陷入困境——但并非孤身一人

如果說Kervaire不變量問題證明了什么，那就是如今的數(shù)學(xué)是一個高度協(xié)作的學(xué)科。希爾和徐宙利都提到他們經(jīng)常與合作者會面、互訪和進(jìn)行視頻通話，也強(qiáng)調(diào)了會議的重要性，例如他們目前正在牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所參與研究項目?！拔曳浅Ｏ硎苓@個項目，”徐宙利說，“事實上，我曾在2018年或2019年參加過這里的一個研討會。那次訪問對我來說收獲非常大，這次也有很多機(jī)會與很多人交流，交換想法，探討未來的研究方向。”

希爾對此表示贊同?！拔遗c一些人開始了新的合作，其中一些人在此項目之前我從未見過面，”他說?！按蠖鄶?shù)資深人士我都認(rèn)識，但很多早期研究人員我之前都沒有機(jī)會見面。能夠有機(jī)會與他們交流，推進(jìn)我正在思考的問題，并拓展到其他領(lǐng)域，真是太好了。”事實上，該領(lǐng)域另一個重大難題——望遠(yuǎn)鏡猜想——的證明已于2023年在牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所組織的另一次會議上公布。

“Kervaire不變量問題還揭示了數(shù)學(xué)的另一面：它有時既深奧得令人望而生畏，而且還帶有那么一點兒磨人的挫敗感。在采訪中，徐宙利生動地講述了他數(shù)次陷入僵局的經(jīng)歷，有時一困就是好幾年。但這些并不是讓他放棄嘗試的借口，而是提醒我們要慎重選擇研究課題?！銘?yīng)該去做那些讓你發(fā)自內(nèi)心感興趣的事。這樣你才會知道，當(dāng)你在未來的某一天終于解開難題時，那種興奮感將是無與倫比的?！?/p>

作者：Marianne Freiberger

翻譯：楠客

審校：7號機(jī)

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【互動問題：你認(rèn)為數(shù)學(xué)之美是存在于優(yōu)美而簡潔的結(jié)論之中呢，還是說存在于繁瑣而準(zhǔn)確的論證之中呢？】

請大家嚴(yán)格按照互動：問題答案的格式在評論區(qū)留言參與互動，格式不符合要求者無效。

截止到本周四中午12：00，參與互動的留言中點贊數(shù)排名第二、三、五的朋友將獲得我們送出的圖書一套（點贊數(shù)相同的留言記為并列，并列的后一名次序加一，如并列第二的后一位讀者記為第三名，以此類推）。

為了保證更多的朋友能夠參與獲獎，過往四期內(nèi)獲過獎的朋友不能再獲得獎品，名次會依次順延

*本活動僅限于微信平臺

編輯：姬子隰

翻譯內(nèi)容僅代表作者觀點

不代表中科院物理所立場