小樂數學科普：結有多復雜？新證明揭示了有效的排序系統——譯自Quanta Magazine量子雜志

“帶狀一致性”（Ribbon concordance）讓數學家通過在四維空間中把結鏈接起來比較結。

作者：Leila Sloman 2022-5-18 譯者：zzllrr小樂 2022-5-18

如果兩個結可以與一種四維圓柱體連接，則它們是一致的。

在 1981 年，卡梅隆·戈登（Cameron Gordon）就引入了一種關聯兩個結的新方法——以單根線或繩子中出現的結為模型的數學結構。在他的論文中，他猜測這種新的關系可以用來根據結的復雜程度來排列結組。

今年冬天，加州大學伯克利分校的數學家Ian Agol發表了一篇六頁論文《結的帶狀一致性是一種偏序》https://arxiv.org/abs/2201.03626 ，證明了 Gordon 的猜想，為數學家提供了一種按復雜度對結排序的新方法。“這篇論文真正令人驚訝的是，它非常短，”馬克斯普朗克數學研究所的研究員Arunima Ray說。“其次，它使用的一些工具，比如說，對于這個特定問題來說是不尋常的。”

這個問題的進展一直很緩慢，直到 2019 年，普林斯頓大學的數學家Ian Zemke展示了如何將強大的新方法應用到 1980 年代還不存在的問題上。一年多前，Agol 得知了這個猜想，并于去年秋天晚些時候開始認真研究它。

“這很好，其他人也在考慮這個問題，”德克薩斯大學奧斯汀分校教授Gordon說。“然后，有點出乎意料的是，Ian Agol帶著他漂亮的簡短、優雅的證明出現了。”

Gordon的猜想是紐結理論中試圖組織無限糾纏的紐結宇宙的眾多猜想之一。這個項目的核心是觀察到你可以通過扭轉或滑動繩索來徹底改變繩結的外觀。（為了防止數學家簡單地解開繩子并隨心所欲地重新系上，繩子的末端被合并形成一個封閉的環，就像橡皮筋一樣。）給定結的圖紙，紐結理論學家試圖找出哪些是真正不同的，哪些是對同一對象的不同描述。

“你把[兩個結]扔在桌子上，它們可能看起來完全不同，對吧？” Gordon說。“但如果你可以移動一個，讓它看起來和另一個完全一樣，那么你就說這些結是一樣的。”

弄清楚哪些結是等價的是非常困難的。一個簡單的環很容易被扭曲和無法識別。兩個復雜的結可能表面上看起來是等價的，即使它們實際上不是。

在許多情況下，數學家求助于一個不那么嚴格的概念，稱為一致性（concordance）。一致性涉及將你的三維結放置在四維空間中。當數學家增加一個額外的維度時，紐結的新方法突然出現了。

想想你是如何被局限在二維空間的。你只能向前和向后走，或從一邊到另一邊（或某種這些組合）。如果你碰巧被一堵巨大的磚墻包圍，你會被卡住。但是老鷹沒有這個問題。它可以飛到三維空間，所以一堵墻無法容納它。

同樣地，第四維度給了一個結更多的回旋余地——事實上，太多了。任何一個結，無論多么糾纏，都可以在一個四維空間中解開。所以數學家加了一條規則：如果兩個結可以通過某種假想圓柱體連接起來，則它們是一致的。

假設你有兩個未打結的橡皮筋。現在假設你把一張紙卷成一個圓柱體，并在每一端套上一根橡皮筋。紙筒連接橡皮筋。

但是，如果你將其中一根橡皮筋換成在制造過程中已經不可挽回地打結的有缺陷的橡皮筋，你就會遇到困難。一個邊緣與這個纏結的橡皮筋相匹配的圓柱體將不可避免地在某個點穿過它自己。用數學語言來說，它不會“光滑”。但是，如果你將圓柱體移動到四個維度，則可以光滑進行。當兩個結在四維空間中可以通過一個光滑的圓柱體連接時，它們是一致的。

四十年前，Gordon提出了一種基于一致性比較兩個結的復雜性的方法。為此，他必須對圓柱體再施加一項限制。通常情況下，數學家允許自己采取一些看似有問題的舉動來使事情變得更容易，例如把環夾斷或附加額外的環。Gordon 的改進，他稱之為帶狀一致性，不允許你添加額外的環。

這種限制有一個重要的后果：與常規一致性不同，帶狀一致性不一定是雙向的。如果你有兩個結，你可能有一個帶狀一致性，可以將第一個結轉換為第二個結，但反之則不行。

Gordon 認為這個屬性可以用來對結進行排序。如果你需要在第二個結上添加環以便將其轉換為第一個結，那么它實際上是一個不太復雜的結。這會創建任何一組在它們之間具有帶狀一致性的結的排序。

為了證明帶狀一致性具有我們期望的排序的關鍵屬性，數學家必須證明三件事。前兩個很明顯，Gordon在他的原始論文中指出了它們。為了完成證明，Agol 需要證明如果兩個結都相互帶狀一致，那么它們必須相等。

一天深夜，在Agol開始研究這個問題后不久，他靈光一現。這個猜想與他最近在數學討論網站 MathOverflow 上發布的答案之間存在聯系。“[有人]問了這個問題，我碰巧知道回答這個問題的工具，”Agol說。“然后我意識到這可能與這個問題有關。”

第二天，Agol感到更加悲觀。“很多時候你認為你已經解決了一些問題，你會興奮一天，直到你發現一些錯誤，”他說。這里看起來像是特別危險，因為 Agol 對該領域來說是一個局外人。他通常研究三維空間中的對象，而不是四維。但同事們認為，Agol的新視角可能對他有利。“很多數學家都非常孤立，”北卡羅來納州立大學教授Tye Lidman說。“我認為Ian做得非常好的一件事是他四處走動，看看幾乎每個領域都在發生什么，并且對每個領域都了如指掌。”

最后，Agol 沒有使用任何導致該問題迅速流行的現代技術。相反，他使用已經存在了數十年的想法研究了對有關結的信息進行編碼的方程組。

Gordon 對解決方案的簡單性感到驚訝。

“他使用的技術，真的可以在我寫論文的時候得到證明。所以這讓它變得更加有趣，”他說。