超有限主義（ultrafinitism） —— 一種拒斥無窮的哲學，長期以來被斥為數學異端。但它也正在數學及其他領域帶來全新洞見。

圖源：Kristina Armitage | Quanta Magazine

作者：Gregory Barber（量子雜志特約撰稿人）2026-4-29

譯者：zzllrr小樂（數學科普公眾號）2026-5-2

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多隆?澤爾貝格（Doron Zeilberger）是一位堅信萬物皆有盡頭的數學家。他認為，正如我們是有限的存在，大自然同樣存在邊界 —— 數字也不例外。望向窗外，當別人眼中的現實是連續延展、一刻不停向前流淌時，澤爾貝格看到的宇宙卻是一格一格跳動的。它是一臺離散的機器。在周遭世界看似連續的運動中，他捕捉到了翻頁書般細微的模糊感。

對澤爾貝格而言，相信無窮就像相信上帝。這是個誘人的想法，迎合我們的直覺，也幫我們理解各類現象。但問題在于，我們無法真正觀測到無窮，因此也無法真正言說它究竟是什么。方程定義的直線延伸出黑板，可究竟伸向何方？證明里滿是引人遐想的省略號。在這位羅格斯大學資深教授、組合數學領域知名學者看來，這些方程與證明既 “極其丑陋”，又虛假。他用沙啞、仿佛因反復闡述觀點而疲憊的嗓音一字一頓地說，這 “完全是無稽之談”。

他主張，從實用角度出發，無窮完全可以被剔除。“你其實根本不需要它。” 比如，數學家完全可以構建一套不依賴無窮的微積分，把無窮小極限徹底排除在外。曲線看似光滑，實則藏著精細的粗糙感；計算機只用有限位數就能把數學運算處理得很好。（澤爾貝格把自己的電腦命名為 “沙洛什?B?埃哈德”——Shalosh B. Ekhad，并列為論文合作者。）他說，剔除無窮后，唯一丟掉的只是那些 “根本不值得做” 的數學。

大多數數學家的看法恰恰相反 —— 認為是澤爾貝格在胡說八道。不僅因為無窮對描述宇宙如此有用、如此自然，更因為把數集（比如整數）當作真實的無窮對象，是數學的核心所在，根植于其最基本的規則與預設。

退一步說，即便數學家不愿把無窮當作真實實體，也承認數列、形狀等數學對象擁有無限增長的潛能。兩條平行線理論上可以永遠延伸；數軸上總能再添一個數。

多隆?澤爾貝格（Doron Zeilberger）或許是主張將無窮徹底逐出數學領域最直言不諱的支持者。他表示：“無窮或許存在，或許不存在；上帝或許存在，或許不存在。但在數學當中，無窮和上帝都不該有立足之地。”

圖源：多隆?澤爾貝格（Doron Zeilberger）

澤爾貝格對此不以為然。在他看來，重要的不是理論上是否可能，而是現實中是否可行。這意味著，不僅無窮可疑，極大數同樣可疑。以斯克維斯數（Skewes number） e^e^e^79 為例：這是一個異常龐大的數，從未有人能把它完整寫成十進制形式。那么我們對它究竟能說些什么？它是整數嗎？是素數嗎？我們能在自然界中找到這樣的數嗎？我們能把它寫出來嗎？或許，它根本就不算一個數。

這自然引出一個問題：終點究竟在哪里？澤爾貝格答不上來，沒人能答上來。這也是很多人否定他這套被稱為超有限主義哲學的首要原因。哥倫比亞大學哲學家賈斯汀?克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）說：“第一次聽人提超有限主義，會覺得像江湖騙術 —— 比如‘我認為存在最大的數’之類。”

“很多數學家覺得整個提議荒謬至極，” 圣母大學集合論學家喬爾?大衛?哈姆金斯（Joel David Hamkins）說。超有限主義在數學學會晚宴上登不上臺面。研究它的人寥寥無幾（或許可以說是 “超有限個”），像澤爾貝格這樣公開宣揚觀點的鐵桿支持者更是少之又少。這不僅因為超有限主義離經叛道，更因為它倡導的數學本質上更小，某些重要問題將不再能被提出。

但這仍讓哈姆金斯等人陷入深思。從某個角度看，超有限主義可被視為更貼近現實的數學。它更貼合人類創造與驗證的能力邊界，甚至可能更貼合物理宇宙。我們傾向于認為時空無限延展、無限可分，但超有限主義者會指出，這些預設正不斷被科學質疑 —— 用澤爾貝格的話說，就像科學曾對上帝的存在提出質疑一樣。

“我們所描述的世界必須徹頭徹尾地誠實，” 克拉克 - 多恩說。他在2025年4月組織了一場罕見的專家會議，探討超有限主義思想。“如果世間萬物可能只有有限個，那我們最好也用一套從一開始就不預設無窮存在的數學。” 在他看來，“這無疑應該成為數學哲學菜單上的一個選項。”

賈斯汀?克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）近期組織了一場會議，讓超有限主義者可以圍繞自身觀點展開交流與辯論。他認為，超有限主義 “理應成為數學哲學領域的主流研究選項之一”。

圖源：Jennifer McDonald

不過，要讓數學家認真對待，超有限主義者首先得明確自己在討論什么 —— 把哈姆金斯所說的那些聽起來像 “虛張聲勢” 的論證，變成一套正式理論。數學浸淫在形式系統與通用框架之中，而超有限主義至今仍缺乏這樣的結構。

零敲碎打解決問題是一回事，重寫數學的邏輯基礎則完全是另一回事。“我認為超有限主義被否定，并非因為人們有充分的反駁理由，” 克拉克 - 多恩說，“大家的感覺是：唉，這事兒沒希望。”

這正是部分超有限主義者仍在試圖解決的問題。

與此同時，澤爾貝格甘愿放棄數學理想，擁抱一種本質上充滿混亂的數學 —— 就像現實世界一樣。他更少鉆研基礎理論，更多發表個人觀點，個人網站上列出了 195 條主張 https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/OPINIONS.html 。“不做這些瘋瘋癲癲的研究，我就當不了終身教授。” 他說。但他補充道，總有一天，數學家會回頭發現，這位 “瘋子” 和那些曾經質疑神明與迷信的先驅一樣，是正確的。“幸好，異端不再被綁在火刑柱上燒死了。”

異端數學

亞里士多德將無窮視為只能趨近、無法抵達的東西。他寫道：“分割過程永無止境這一事實，確保了這種活動潛在存在，但無窮并非獨立存在。” 數千年來，這種潛無窮觀念占據主導地位。

但19世紀末，格奧爾格?康托爾（Georg Cantor）等數學家證明，無窮確實可以存在。康托爾的方法是把一列數（比如整數）當作完整的無窮集合。這套方法后來成為數學基礎理論策梅洛 - 弗蘭克爾（Zermelo-Fraenkel）集合論的核心，至今仍被數學家沿用。他證明，無窮是真實對象；而且無窮可以有不同大小（參閱小樂數學科普：）；通過操作與比較這些不同的無窮，數學家能證明一些表面與無窮毫無關系的驚人結論。哈姆金斯說，如今幾乎每位數學家都是實無窮論者，無窮是默認預設。

但現代數學的這一基礎自提出起就引發激烈爭論。原因之一是，接受無窮這一核心預設會催生怪異悖論：比如，有可能把一個球切成五塊，再用它們拼出五個新球，每個體積都與原球相等（參閱：）。

另一種反對意見更偏哲學。康托爾的理論問世后幾十年里，部分數學家主張：不能直接斷言數學結構存在 —— 必須通過心智構造過程證明其存在。在這種直覺主義哲學中，圓周率與其說是擁有無限不循環小數展開的數，不如說是代表生成數位算法過程的符號。

倘若世間萬物或許僅有有限之多，那我們理應選用一套不會從一開始就默認存在無限事物的數學體系。 ——賈斯汀?克拉克 - 多恩（Justin Clarke-Doane）哥倫比亞大學

但直覺主義只要求理論上可進行心智構造：它禁止實無窮，但允許潛無窮。一些數學家仍不滿足，他們對斯克維斯數這類大到無法寫下的數值感到不安，于是試圖把直覺主義推向極端。

牛津大學哲學家奧夫拉?馬吉多（Ofra Magidor）說：“按這種觀點，存在的數必須是我們現實中能構造的數，而非僅僅理論上能構造。”

1960—70年代，蘇聯數學家、詩人亞歷山大?葉賽寧 - 沃爾平（Alexander Esenin-Volpin）的工作，讓一種重視現實約束的新版直覺主義逐漸成型。

葉賽寧 - 沃爾平首先是一名政治異見人士。因領導抗議、傳播反蘇言論與詩歌，他多次被關進精神病院。紐約城市大學邏輯學家羅希特?帕里克（Rohit Parikh）在70年代蘇聯迫使他移民后收留過他。“他說：‘我是人，我擁有基本權利。’” 帕里克回憶。葉賽寧 - 沃爾平是個古怪的房客，整夜在帕里克的閣樓踱步，還把帕里克妻子心愛的陶瓷當煙灰缸，同時鉆研一套怪異理論：它不僅拒斥潛無窮，甚至拒斥那些無法在人腦中構造的極大數。

亞歷山大?葉賽寧 - 沃爾平（Alexander Esenin-Volpin）是蘇聯異見人士、數學家兼詩人，曾因倡導人權活動多次遭到監禁。

圖源：Irene Caesar

邏輯學家哈維?弗里德曼（Harvey Friedman）曾問葉賽寧 - 沃爾平，能否明確一個界限 https://gwern.net/doc/math/2002-friedman.pdf ：多大的數算過大？比如表達式 2?，n 取何值時數不再存在？2? 真的是數嗎？21、22…… 一直到 21?? 呢？葉賽寧 - 沃爾平逐個回答：是，21 存在；是，22 存在。但每次回答的間隔越來越長，對話很快變得沒完沒了。

葉賽寧 - 沃爾平想表達的觀點很明確：用帕里克等人后來的話說，數的邊界根植于證明其存在所需的有限資源 —— 比如時間、可用計算機內存、證明的物理長度。“大多數超有限主義者認為，有限與無窮的界限本質上是模糊的。” 克拉克 - 多恩說。

對葉賽寧 - 沃爾平而言，一個命題對 n 成立，對 n+1 也成立 —— 直到某一刻不再成立。孩子不斷長大，直到有一天不再是孩子。不必明確具體終點，重要的是終點就在那里，某個地方。

葉賽寧 - 沃爾平的工作呼吁一種能容忍模糊性的新型數學。此后，超有限主義者繼承他的事業，探索如何把他這套模糊、近乎無厘頭的數學變得堅實可靠。

危機控制

有一天，愛德華?納爾遜（Edward Nelson）猛然醒悟：無窮或許并非真實存在。這一認知讓他陷入了存在主義危機。

圖源：Mariana Cook

1976年的一天早晨，普林斯頓數學家愛德華?納爾遜醒來，經歷了一場信仰危機。“那一刻，我強烈感受到一種存在，它譴責我傲慢地相信無窮數字世界真實存在，” 數十年后他回憶道 https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/faith.pdf ，“讓我像襁褓中的嬰兒，只能掰著手指頭數數。”

數學有基本規則，即公理。納爾遜知道，即便支撐簡單算術的極簡公理，也包含對無窮的預設 —— 比如，我們總能給一個數加 1 得到新數。他想從頭開始，構建一套完全禁止無窮的新規則。如果只基于這些新公理構建數學，會是什么樣子？

結果是弱得驚人。納爾遜研究了多套禁止無窮的公理，發現用它們做基礎算術時，連 a+b=b+a 這樣簡單的命題都無法證明。冪運算這類基本操作不再總是可行：你或許能構造 100 或 1000，卻構造不出 1001???。數學家最強大的工具之一 —— 數學歸納法（若命題對一個數成立，則對所有數成立）—— 也徹底失效。

對納爾遜而言，這種薄弱恰恰折射出一絲真理。他希望證明，數學家習以為常的更強算術公理（允許無窮的皮亞諾公理）存在根本缺陷 —— 會導致矛盾。“我相信，很多我們視為既定的數學結論終將被推翻。” 他曾說。

然而，納爾遜未能推翻它們。2003年，他宣布用自己的弱公理找到了皮亞諾公理的不一致性，但這一轟動結果很快被證偽。

羅希特?帕里克（Rohit Parikh）的超有限主義思想，已在理論計算機科學領域得到應用。

圖源：Lauren Fleishman

納爾遜的受限算術，以及帕里克等人發展的相關非標準算術，在計算機科學領域被證明很有用：研究者想知道算法能高效證明什么、不能證明什么。這些超有限主義數學方法被轉化為計算效率語言，用于探究算法能力的邊界。

對納爾遜來說，數學關乎 “你選擇相信的真理”—— 即你認定正確的公理。即便你選擇默認公理，也是如此。當然，作為缺乏穩固基礎的異端，超有限主義者需要證明的東西要多得多。

耐心的實踐

2025年4月，一群形形色色的人齊聚紐約哥倫比亞大學，參加一場關于廢除無窮的會議。參會者包括物理學家、哲學家、邏輯學家、數學家；有澤爾貝格這樣鐵桿的超有限主義者，有信奉各類無窮的集合論學家，也有單純好奇的聽眾。會議組織者克拉克 - 多恩回憶，這場討論 “對所有人都是一場耐心的考驗”。哲學家通常習慣課堂上激烈爭論，課后聚在一起喝杯啤酒；數學家則不然 —— 通常意見不合，就意味著有人犯了大錯。

顯而易見，超有限主義通用理論的進展遲緩，部分原因在于這場運動缺乏清晰動機，也沒有統一方法確定其底層邏輯。或許，像納爾遜那樣執著于基礎規則并非正確路徑。“我認為這是浪費時間，” 帕里克告訴我，“你得把形式系統當作望遠鏡，多關注你看到的東西。如果一開始就研究望遠鏡本身，你就輸了。”

當別人眼中的現實是連續延展、一刻不停向前流淌時，澤爾貝格看到的宇宙卻是一格一格跳動的。

澤爾貝格樂于透過這面（可能扭曲的）鏡子看世界，即便身處無窮依然大行其道的環境。他不指望從零重建一套無無窮的數學，而是選擇自上而下工作。以實分析為例：它研究實數與函數的性質。澤爾貝格稱其為離散分析（研究離散對象而非連續對象）的 “退化情形” https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf 。他說，可以用一串 “離散數珠” 替代實數的連續圖景，數珠間只有微小（而非無窮小）的差值；再用這套框架重寫微積分與微分方程（改稱差分方程），剔除其中所有隱蔽的無窮用法。他承認過程艱難，但可行，尤其有計算機輔助。結果或許不如經典數學優雅，但他認為更美 —— 因為它如實反映了他眼中的物理現實。

布魯塞爾自由大學數學哲學家讓 - 保羅?范本德熱姆（Jean Paul Van Bendegem）的超有限主義之旅，并非始于數字，而是小學幾何。他看著老師在黑板上畫一條據稱無限延伸的線。“伸向哪里？” 他回憶自己當時發問。如果右端無限延伸、左端也無限延伸，它們會抵達同一個地方嗎？黑板邊緣外藏著不同的無窮嗎？老師讓他別再提問。

讓 - 保羅?范?本德赫姆（Jean-Paul van Bendegem）構建了一種有限幾何體系，其中點與曲線均具備寬度。

圖源：Inge Kinnet

后來，成為超有限主義邏輯權威的范本德熱姆回應了這些疑慮：他構想了一套有限幾何，其中點、線、曲線都有寬度，既有限又有限可分。它們可被拆分為一組點，這些點極小，但絕非無窮小。用這些點、線、曲線構建的任何結構也必然有限，構成經典幾何的離散對應物。盡管這些工具仍有局限，但過去幾十年里被深入研究 —— 不僅為了超有限主義，也因為厘清物體形狀對發展有限物理學至關重要。

我們常想象物理宇宙既無限廣袤、又無限可分，但物理學家自己也在質疑這一預設。存在諸如普朗克尺度（有時被稱為宇宙的像素大小）這樣的基本極限，超越它，距離概念本身就失去意義。而無窮出現在物理學家方程中時，往往會帶來麻煩，是他們想要避免的東西。“要對一個無限膨脹、自我重復的宇宙做出預測，這類事情真的非常、非常困難。” 約翰斯?霍普金斯大學物理學家肖恩?卡羅爾（Sean Carroll）說，他曾嘗試構建量子力學的有限模型 https://arxiv.org/abs/2307.11927 。“大多數宇宙學家處理這個問題的方式，就是假裝它不存在。”

德國不來梅康斯特大學與日內瓦大學量子物理學家尼古拉?吉辛（Nicolas Gisin）認為，直覺主義數學為思考物理學核心謎題提供了思路：大尺度下物理系統行為是確定的、可預測的；但在量子領域，隨機性主宰一切；粒子擁有多種量子態，以不可預測的方式坍縮為其中一種。過去一個世紀，物理學家一直試圖理解這種不匹配的根源。

尼古拉斯?吉辛（Nicolas Gisin）提出，物理學中最深層的謎題之一，或許源于人類對無窮的錯誤預設。

圖源：Carole Parodi

吉辛提出，根源在于錯誤預設。他說，研究者默認：從宇宙誕生起，粒子的量子態就能用擁有無窮多位小數的實數無限精確地定義。但吉辛認為，使用實數是個錯誤。轉而用直覺主義數學就會發現：決定論只是不切實際的完美信息帶來的假象。物理系統大尺度的確定行為自然變得不精確、不可預測，經典與量子領域的鴻溝隨之消解。吉辛的理論引發其他物理學家的興趣 https://www.quantamagazine.org/does-time-really-flow-new-clues-come-from-a-century-old-approach-to-math-20200407/ ，部分原因是它有助于化解大爆炸等現象相關的悖論。

但值得注意的是，他的工作并未廢除亞里士多德意義上的潛無窮 —— 即可趨近的無窮。沿襲直覺主義數學家投入時間與精力計算更大、更精確數值的傳統，吉辛允許信息被不斷創造。總有一天，宇宙會包含完美、無限精確的信息。但這無關緊要，因為那一天永遠不會到來。“這里的潛無窮本質上需要等待無限久的時間，這與現實毫無關系。” 吉辛說。重要的是，無窮不再是默認預設。

物理學家肖恩?卡羅爾（Sean Carroll）對宇宙或許為有限的這一可能性深感興趣。

圖源：Larry Canner / 約翰斯?霍普金斯大學

這些基于物理學對無窮的挑戰，讓超有限主義數學家倍感欣喜，他們將其視為自己的數學更真實描述現實的證據。在2025年的會議上，卡羅爾關于宇宙究竟是無限還是 “僅僅非常大” 的報告，讓他在哥大校園里成了名人。但他提醒，舉證責任仍在無窮懷疑論者身上。如果能通過實驗證明物理宇宙確實有限，即便最堅定支持高階無窮的人也會停下來反思。他們甚至可能懷疑集合論的一致性 —— 畢竟它允許層層疊疊的實無窮。無論如何，偶爾這樣反思是有益的。

即便如此，研究與使用無窮的集合論學家仍有權不受干擾地繼續工作 —— 可以說，或許這就是物理學與數學必須分道揚鑣的地方。數學與物理不必描述同一事物（盡管很多人認為應該一致），無窮或許在某種更宏大的柏拉圖意義上繼續存在。

但如果實驗證明相反 —— 自然界中確實存在無窮，超有限主義者的回旋余地就小得多了。“如果現實物理世界真的存在無窮，做超有限主義者會很難。” 卡羅爾說。

重塑超有限主義

“我為超有限主義者感到惋惜，因為人們還沒理解就否定它，” 卡羅爾后來說，“但另一方面，超有限主義者也沒做好推廣自己理念的工作。”

在數學內部，更好的推廣或許是一套自洽理論 —— 就像納爾遜所追求的：一套形式規則，像現代數學的底層規則那樣，排除無窮，同時又強大到足以支撐有用的數學。

克拉克 - 多恩說，想法并不缺 —— 缺的或許是愿意賭上早期職業生涯去發展這些想法的研究生。在他看來，紐約的這場會議是轉變的信號：人們足夠好奇，愿意重新審視，也不再那么害怕潛在的反對聲。“人們正在討論這個觀點，并積極嘗試為它打下嚴肅基礎。” 他說。

大多數數學家置身事外。他們不關心囊括整個數學的形式理論，只關心管用的東西：解決具體問題、構建證明。基礎問題 —— 數字是否存在于物理現實之外？數學是發明還是發現？—— 聽起來有些尷尬，只有數學家某天陷入危機時才會去琢磨。

但一線數學家或許能與澤爾貝格找到共鳴：他同樣不在意集合論學家與哲學家的爭論。他的方法是極致的實用主義：拆解數學，逐個追問什么是必要的。他說，或許我們預設得太多，把無窮當成太理所當然的東西，迷信了幻象。不必宣稱自己是超有限主義者，也能從中獲得啟發，把它納入真實選項的清單。

澤爾貝格喜歡引用自己2010年BBC紀錄片中的話 —— 那是他眼中的15秒成名時刻。“無窮可能存在，也可能不存在；上帝可能存在，也可能不存在。但在數學里，既不該有無窮的位置，也不該有上帝的位置。” 這番話是隔空回應頂尖集合論學家、高階無窮最無畏探索者休?伍丁（Hugh Woodin）。伍丁曾說，他為澤爾貝格感到遺憾，無法仰望天空，領會無窮廣袤之美。

“我為他感到遺憾，他需要靠無窮這種精神鴉片才能堅持下去。” 澤爾貝格說，“樹木與大地之中有如此多的美，你不必投向虛構。”

“所以我們都為對方感到遺憾，” 他說。遺憾對方困在自己選擇的信仰世界里。

參考資料

https://www.quantamagazine.org/what-can-we-gain-by-losing-infinity-20260429/

https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/OPINIONS.html

https://www.quantamagazine.org/the-man-who-stole-infinity-20260225/

https://www.quantamagazine.org/why-maths-final-axiom-proved-so-controversial-20260429/

https://www.quantamagazine.org/how-a-mathematical-paradox-allows-infinite-cloning-20210826/

https://gwern.net/doc/math/2002-friedman.pdf

https://web.math.princeton.edu/~nelson/papers/faith.pdf

https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimPDF/real.pdf

https://arxiv.org/abs/2307.11927

https://www.quantamagazine.org/does-time-really-flow-new-clues-come-from-a-century-old-approach-to-math-20200407/