★置頂zzllrr小樂公眾號，追蹤《小樂數(shù)學科普》系列報道！

普林斯頓高等研究院（IAS）近期組織了一場以研讀數(shù)學經(jīng)典原著為主的“數(shù)學民間傳說”研討會，由兩位學者聯(lián)合主持。活動跳出現(xiàn)代繁雜學術(shù)技法，回溯牛頓、萊布尼茨、黎曼等先賢思想，品讀原始著作，探討數(shù)學本源、思維直覺與學科初心。

研討內(nèi)容兼顧經(jīng)典理論、冷門民間數(shù)學研究，還深入探討AI人工智能對數(shù)學研究帶來的沖擊與影響。活動讓學者重拾數(shù)學人文內(nèi)核，反思學科發(fā)展得失，思索數(shù)學未來走向，重新聯(lián)結(jié)數(shù)學發(fā)展的思想根基。

數(shù)學家、物理學家艾薩克·牛頓

圖源：Kevin Howdeshell

作者：Allyn Jackson（專攻數(shù)學與理論計算機科學領(lǐng)域的撰稿人）2026-5-16

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學科普公眾號）2026-5-23

求喜歡

2025-2026學年，IAS普林斯頓高等研究院數(shù)學學院舉辦了一場別具一格的研討會。研討會題為 “數(shù)學民間傳說”，核心是研讀那些孕育了當今數(shù)學核心概念的歷史著作。其目標是跳出現(xiàn)代數(shù)學紛繁復(fù)雜的技術(shù)壁壘，重新連接滋養(yǎng)這一學科的重要根源。

這場每周一次的研討會由數(shù)學學院羅伯特與路易莎?費恩霍爾茨講座教授阿克沙伊?文卡特什（Akshay Venkatesh），以及該院 2025-2026 學年埃里克?埃倫圖克研究員、布朗大學應(yīng)用數(shù)學系教授戈文德?梅農(nóng)（Govind Menon）共同主持。

文卡特什表示，這場研討會的誕生源于 “重振數(shù)學人文學科屬性的需求，即把數(shù)學視作一門人文學科的理念”。這一理念 “從未消失，但至少在數(shù)學家的外在研究實踐中已有所淡化”。另請參閱：

隨著數(shù)學研究日益專業(yè)化、技術(shù)化，它與人類經(jīng)驗基本要素的聯(lián)系變得模糊。文卡特什說，在人工智能或?qū)⒓铀龠@一趨勢的背景下，“我們確實需要審視我們所做之事的人文維度”。

永恒之問

這場研討會為數(shù)學家提供了一個平臺，得以直面未被后世學科發(fā)展污染的基礎(chǔ)思想與思維方式。盡管研討材料需要扎實的數(shù)學背景支撐，討論卻更偏向哲學而非技術(shù)。關(guān)于思維本質(zhì)、直覺與知識的宏大問題自發(fā)涌現(xiàn)。

除梅農(nóng)與文卡特什外，參會者還包括多位高等研究院的學者，涵蓋數(shù)學學院及其他院系。其中有社會科學學院 2025-2026 學年羅伯特?迪杰格拉夫成員阿爾瑪?施坦加特（Alma Steingart）；歷史研究學院恩斯特與伊麗莎白?阿爾伯斯 - 舍恩伯格科學史講座教授邁爾斯?杰克遜（Myles Jackson）也偶爾參與。三位自由撰稿人定期參會：我本人、伊夫林?蘭姆（Evelyn Lamb）與萊拉?斯洛曼（Leila Sloman）。

但大部分參與者是青年數(shù)學家，主要是研究院成員，還有少量來自鄰近普林斯頓大學的研究生，他們的理想主義與開放心態(tài)讓討論更具活力。數(shù)學學院 2025-2026 學年成員邁克爾?查普曼（Michael Chapman）起初以為這場研討會可能只是一場 “自我褒獎” 活動，數(shù)學家們一味夸贊自身領(lǐng)域的美妙與重要。但他說，事實恰恰相反，“這是一場嚴肅的智識活動”。他是頻繁且積極的參與者。

研讀材料涵蓋16世紀至今的原始著作，以及人物特寫、闡釋性文章與書信。在與過往思想者對話的過程中，研討會參與者思考著數(shù)學知識的本質(zhì)、數(shù)學靈感與直覺的來源，以及這一學科未來的走向。

“重新認識” 牛頓

純粹數(shù)學的思想是確鑿無疑的，非近似亦非可疑；它們或許不是上帝思想中最有趣、最重要的部分，卻是我們確切知曉的部分。 —— 希爾達?P?哈德森（ Hilda P. Hudson ）

希爾達?哈德森Hilda P. Hudson（1881 - 1965）

英國代數(shù)幾何學家

戈文德?梅農(nóng)在投身數(shù)學前是工程專業(yè)學生，從某種意義上說，他研究艾薩克?牛頓（Isaac Newton，1642-1727）的成果已有 35 年。但在研討會上閱讀《自然哲學的數(shù)學原理》節(jié)選時，他發(fā)現(xiàn)自己正在 “忘掉” 自以為熟知的內(nèi)容。“我感覺自己第一次接觸這些材料，” 梅農(nóng)說。他將此視作與另一位人類思想者、一位 “同道中人” 的相遇。而這種體驗，正是研討會旨在培育的。

歷史學家已產(chǎn)出大量研究牛頓生平與成果的文獻。其中極小一部分為研討會的研讀提供了豐富背景，邁爾斯?杰克遜與阿爾瑪?施坦加特的精辟點評亦有幫助。但研討會上的數(shù)學家們尋求的是與歷史知識互補的東西：與牛頓的數(shù)學共鳴。

今年春季的一份研讀材料探討了牛頓對開普勒行星運動定律的推導。盡管牛頓在《原理》中創(chuàng)立了微積分，但他對開普勒定律的論述并非基于微積分，而是歐氏幾何。假定行星受向心力作用，他運用比例、相似三角形與平行四邊形構(gòu)建出行星的曲線運動軌跡，由此推導出描述行星運動的萬有引力 “平方反比定律”。

研討會參與者注意到，與現(xiàn)代論述不同，牛頓的著作中能感受到物理實在。如今的學生學到的是，行星如此運動是因為遵循牛頓平方反比定律。而牛頓的推導方向恰好相反：開普勒關(guān)于行星運動的觀測數(shù)據(jù)引導牛頓得出了定律。參與者認為牛頓的方法 “清晰、簡單、直白”。相比之下，許多現(xiàn)代方法顯得 “工業(yè)化”、“過度加工”，與學科核心的本原概念脫節(jié)。

除牛頓的著作外，研討會還從戈特弗里德?威廉?萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）的浩瀚著述中選取了少量內(nèi)容研讀。萊布尼茨與牛頓大約在同一時期獨立創(chuàng)立微積分；正是萊布尼茨創(chuàng)造了更優(yōu)的符號體系，沿用至今。研讀材料中，兩位思想者的差異顯而易見。牛頓致力于為諸多不同現(xiàn)象尋求統(tǒng)一解釋，而萊布尼茨則追求一種符號化、算法化的路徑，他相信這套方法可適配解決各類問題。

萊布尼茨曾夢想構(gòu)建一種 “推理演算”，通過符號運算得出理性解答，從而化解一切爭端。如今的AI人工智能聊天機器人或許正是這一夢想的回響，它們對數(shù)學問題的回答正變得可靠、淵博，甚至富有洞見。

在研讀開普勒、萊布尼茨、牛頓等多位學者的著作時，研討會觸及了 “宗教信仰作為靈感來源” 這一主題。數(shù)學學院 2025-2026 學年成員阿斯溫?G（Asvin G.）雖無宗教信仰，卻對這一主題深有共鳴。他說，從某種意義上講，研究中最大的挑戰(zhàn)是相信世界存在被理解的可能，而這種信念與宗教信仰并無太大差異。“每當我思考自己為何從事科學研究，都會覺得，作為渺小的人類個體，立志理解世界并期盼成功，這似乎十分大膽，” 他說，“但這又如此美好、如此神奇，讓我必須去嘗試。”

黎曼：幾何學的全新觀念

當然，經(jīng)驗始終是數(shù)學構(gòu)造物理實用性的唯一評判標準。但創(chuàng)造的原則蘊藏于數(shù)學之中。因此，在某種意義上，我確信純粹思想可以把握現(xiàn)實，正如古人所夢想的那樣。 —— 阿爾伯特?愛因斯坦（ Albert Einstein）

阿爾伯特?愛因斯坦（Albert Einstein，1879 - 1955）

去年初秋，小組研讀了年輕的伯恩哈德?黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）在1854年發(fā)表的一篇演講，這篇演講改變了數(shù)學的發(fā)展軌跡。該演講是黎曼在哥廷根大學的就職講師資格演講，聽眾寥寥，其中包括卡爾?弗里德里希?高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）。

高斯通過對三維空間中曲面的廣泛研究，創(chuàng)立了后世所稱的高斯曲率，由此開啟微分幾何領(lǐng)域。他的里程碑式成果 “絕妙定理” 表明，曲率是曲面的內(nèi)蘊屬性；換言之，曲率僅取決于曲面上的測量結(jié)果，與曲面在周圍三維空間中的放置方式無關(guān)。

黎曼及其著名的黎曼zeta函數(shù)

圖源：Kevin Howdeshell

黎曼的演講對絕妙定理做出了深刻推廣。他將曲面視作獨立于任何外部空間的抽象幾何對象（即流形），并將這一觀念拓展至任意維度的流形。他證明，一旦能在流形上進行測量，便可定義曲率，且曲率是流形的內(nèi)蘊屬性。在這一概念飛躍中，他拓展了幾何學的邊界。

彼時，歐氏幾何作為世界唯一真實幾何的獨尊地位已受到質(zhì)疑。黎曼的研究明確表明，幾何并非只有一種，而是有無窮多種。他的思想傳遍整個數(shù)學領(lǐng)域，發(fā)展為黎曼幾何這一重要分支。這一概念飛躍，恰好為研究院 1933-1955 年創(chuàng)始教授阿爾伯特?愛因斯坦（Albert Einstein）創(chuàng)立廣義相對論提供了所需的理論基礎(chǔ)。

對研討會參與者而言，黎曼的演講并非易讀之作，再加上德譯英的瑕疵，理解難度進一步增加。盡管如此，參與者仍能感受到這份成果的力量，稱其 “鮮活”、“永恒”，直覺 “令人敬畏”。

黎曼探討了空間本質(zhì)與幾何統(tǒng)一性的基礎(chǔ)問題。他思索，在一個由離散事物主導的世界中，如何構(gòu)想連續(xù)空間（他以顏色為例）。他的成果沒有現(xiàn)代數(shù)學論文常見的 “頭條定理”，也極少使用符號。他的研究兼具模糊性與哲思。“我們能從中學習什么？” 阿斯溫?G 問道，“在變得愈發(fā)嚴謹與公理化的過程中，我們失去了什么？”

文卡特什提到自己與曲率 “漫長而遺憾的糾葛”，這一概念他從未深入理解。而在黎曼的成果中，他發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代追求精準高效傳遞內(nèi)容的論述所缺失的美感、清晰與豐富性。由于黎曼用自然語言書寫，未訴諸技術(shù)細節(jié)，其成果中的洞見在一個半世紀后依然易于理解。

面向未來的框架

我熱切渴望知曉數(shù)學的本質(zhì)。與所有人一樣，我對存在的意義滿懷興趣。 —— 諾曼?E?斯廷羅德（ Norman E. Steenrod ）

諾曼?E?斯廷羅德（Norman E. Steenrod，1910 - 1971）

美國代數(shù)拓撲學家，同調(diào)代數(shù)的創(chuàng)始人之一

研討會涵蓋諸多主題與思想者，從開普勒的天球、笛卡爾的幾何，到愛因斯坦、馬赫、麥克斯韋、維納關(guān)于原子與隨機運動的理論。還探討了數(shù)學學院 1933-1955 年教授約翰?馮?諾依曼（John von Neumann）關(guān)于大腦的研究，以及研究院 1962-1963、1981-1982 學年成員戴維?芒福德（David Mumford）關(guān)于 “隨機時代” 的成果。

一些更輕松的研讀材料，包括科學作家伊夫林?蘭姆挑選的數(shù)學普及作品，聚焦于不那么知名的人物，比如業(yè)余數(shù)學家瑪喬麗?賴斯（Marjorie Rice）。她是1970年代的一位家庭主婦，育有五個孩子，因傳奇數(shù)學科普作家馬丁?加德納在《科學美國人》發(fā)表的一篇文章，迷上了平面多邊形密鋪問題。賴斯發(fā)現(xiàn)了大量專業(yè)數(shù)學家未知的新型密鋪方式。在家務(wù)間隙，她在廚房臺面上開展研究，創(chuàng)造出精巧的自創(chuàng)符號，提煉多邊形性質(zhì)信息，用以整理與分析圖形。在她的故事中，研討會參與者看到了數(shù)學精神的動人范例。另請參閱系列報道：

業(yè)余數(shù)學家瑪喬麗?賴斯（ Marjorie Rice ）

圖源：Kevin Howdeshell

在一次研討環(huán)節(jié)，阿爾瑪?施坦加特選取了大蕭條時期諾曼?E?斯廷羅德與數(shù)學學院 1933-1934 學年成員雷蒙德?L?懷爾德（Raymond L. Wilder）之間的書信集。通信開始時，斯廷羅德 22 歲，正艱難湊錢攻讀數(shù)學研究生。懷爾德是他在密歇根大學的本科老師。1934年6月，斯廷羅德寫信給懷爾德：

“我不喜歡簡潔優(yōu)美的證明。我認為沒人會喜歡。它們會徹底誤導你。必須徹底熟記才能掌握。但直白、扎實的證明才更有吸引力，也更容易記住。因為這是任何人都會采用的證明思路 —— 而非最優(yōu)雅的方式。”

這些觀點令人意外，因為斯廷羅德后來以代數(shù)拓撲領(lǐng)域高度抽象的研究聞名。研討會參與者研讀了他的部分論文，包括1940年代的一篇經(jīng)典成果，文中他與塞繆爾?艾倫伯格（Samuel Eilenberg）建立了公理化同調(diào)理論。

斯廷羅德與懷爾德的書信打動了許多參會者。梅農(nóng)說：“以他本人的口吻去認識斯廷羅德，看著他從在工具店打工的青澀本科生，逐漸走向成熟，最終成為數(shù)學界的杰出人物，真切讓我們體會到研讀原始文獻的重要性。”

有一場環(huán)節(jié)專門討論AI人工智能：數(shù)學學院2025-2027學年成員康斯坦丁?科格勒（Constantin Kogler）選取了四位數(shù)學家使用人工智能工具的最新預(yù)印本作為研讀材料。其中一篇論文提出了一系列旨在挑戰(zhàn)人工智能的問題并報告結(jié)果，其他論文則探討了人工智能獨立找到解法或?qū)夥ㄓ兄卮筘暙I的問題。另請參閱：

激烈而廣泛的討論引出了諸多問題：數(shù)學家會轉(zhuǎn)向適合用人工智能解決的問題嗎？人工智能會影響甚至取代人類的數(shù)學直覺嗎？聊天機器人會取代合作者嗎？人工智能會設(shè)定未來數(shù)學的發(fā)展方向嗎？

這類問題牽動著數(shù)學界，尤其是年輕一代成員的心。研討會并未給出簡單答案。但它為數(shù)學家提供了退后一步思考學科的機會 —— 回望其起源、源泉與意義，從而為思考未來搭建了框架。

這場研討會或許不會按照今年的形式繼續(xù)舉辦，但梅農(nóng)與文卡特什正在思考延續(xù)其精神的方式。當下的緊迫感尤為強烈。正如梅農(nóng)所言：“我們正面臨一場捍衛(wèi)學科靈魂的戰(zhàn)斗。”

本文發(fā)表于《IAS高等研究院通訊》Institute Letter2026年春夏刊

參考資料

https://www.ias.edu/ideas/encountering-roots-mathematics

https://www.ias.edu/publications/institute-letter/institute-letter-springsummer-2026

小樂數(shù)學科普本月文章

版權(quán)聲明：本文首發(fā)于微信公眾號“zzllrr小樂”的專欄《小樂數(shù)學科普》。歡迎個人轉(zhuǎn)發(fā)。如需轉(zhuǎn)載，請在“zzllrr小樂”公眾號后臺回復(fù)“轉(zhuǎn)載”，還可通過公眾號菜單、發(fā)送郵件到zzllrr@gmail.com與我們?nèi)〉寐?lián)系。相關(guān)圖文音視頻內(nèi)容默認遵守CC BY-NC 4.0知識共享協(xié)議，未獲作者和譯者授權(quán)，禁止用于營銷宣傳和商業(yè)目的。

·開放 · 友好 · 多元 · 普適 · 守拙·

讓數(shù)學

更加

易學易練

易教易研

易賞易玩

易見易得

易傳易及

歡迎評論、點贊、在看、在聽

收藏、分享、轉(zhuǎn)載、投稿

查看原始文章出處

點擊底部一起捐

助力騰訊公益

點擊zzllrr小樂

公眾號主頁

右上角

置頂★加星

數(shù)學科普不迷路！