【解題研究】于細微處現素養——八年級填空壓軸題

八年級數學命題要求在難度控制的前提下，體現學科素養，通俗點講，就是不能太難，還要有新意。基于以上要求，在填空壓軸題中，科學設置情境問題是關鍵，以現有知識框架，包容核心素養要求。

題目

現在關于x的三個多項式，從左往后依次為：3x-2，2x+2，x+6；

①存在自然數x使得三個多項式的值恰為一組勾股數；

②記G(x)=a(3x-2)+b(2x+2)+c(x+6)(a、b、c均為正整數)，當x≥1時，G(x)的最小值為25，則滿足條件的a、b、c的取值共有6組；

③對任意相鄰的兩個多項式用左邊的減去右邊的并把所得的結果放在兩者之間稱之為“順差放置”。現對這三個多項式進行第一次“順差放置”后得到的多項式為：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，再對第一次“順差放置”后的所有多項式進行第二次“順差放置”……，按此規律進行下去，第2026次“順差放置”后得到的多項式的和是4058x-16202.

以上說法正確的是____________.(填序號)

解析：

01

①判斷是否勾股數的方法并不難，讓其中一個多項式的平方等于另兩個多項式的平方和，從而列出一個方程，該方程有正整數根則存在勾股數；

學生遇到的第一處困擾在于，這三個多項式哪個最大？若一個個試，難免浪費時間，由于這三個多項式的值均與x取值有關，所以最合適的視角是一次函數；它們的k值分別是3，2，1，均屬于“上升”直線，且增幅依次減少，有可能3x-2的值最大，若學生對圖像比較熟悉，如下圖：

不妨假設3x-2為斜邊，減少試錯次數，列方程如下：

(3x-2)2=(2x+2)2+(x+6)2，整理得(x+1)(x-9)=0，當x=9時，這三個多項式的值分別是25，20，15，恰好是一組勾股數，所以存在性滿足，①正確；

02

②首先整理G(x)=(3a+2b+c)x-2a+2b+6c，再重點解讀“當x≥1時，G(x)的最小值為25”，此時我們應該將G(x)看作一個一次函數，而在x≥1，即平面直角坐標系中，x=1的右側區域中的函數圖象，都在x=1時點的上方，說明它的斜率k必須是正數，即3a+2b+c>0，此時我們將x=1代入，得:

G(x)=a+4b+7c=25

接下來是枚舉，這其實也有技巧，系數最大的項是7c，所以c的取值可能為1，2，3，而當c=3時，a+4b=4，這不符合a和b均為正整數的要求，故c只可能是1或2，下面分情況討論：

當c=1時，a+4b=18，取b=1得a=14；取b=2得a=10；取b=3得a=6；取b=4得a=2，總共4組滿足條件的取值：

a=2，b=4，c=1；

a=6，b=3，c=1；

a=10，b=2，c=1；

a=14，b=1，c=1；

當c=2時，a+4b=11，取b=1得a=7；取b=2得a=3，總共2組滿足條件的取值：

a=7，b=1，c=2；

a=3，b=2，c=2；

綜上，總共有6組滿足條件的取值，②正確；

03

③不妨按定義來進行“順差放置”：

初始：3x-2，2x+2，x+6，和為6x+6

第1次：3x-2，x-4，2x+2，x-4，x+6，和為8x-2；

第2次：3x-2，2x+2，x-4，-x-6，2x+2，x+6，x-4，-10，x+6，和為10x-10；

通過比較發現，每次“順差放置”后，和都增加了2x-8，依次類推，第2026次“順差放置”后，和應該增加了2025個2x-8，得到：

8x-2+2025(2x-8)=4058x-16202，故③正確.

解題思考

這道題涉及到了八年級數學中的勾股數、整式運算、一次函數等知識點，考察學生的運算能力、推理能力、模型觀念等素養內涵，具體體現在解題過程中，素養高的學生，多數會采用高效快捷的解題思路，例如①中的勾股數判斷，就有學生看到多項式中含減號，下意識認為它是最小的取值，從而浪費了一次機會，而對一次函數圖象非常熟悉的學生，會發現當x>4時，增幅最大的那個才可能是斜邊；

而在結論②的判斷中，把G(x)看作一次函數之后，理解函數增減性了，才明白最小值為25是什么意思，如下圖：

只有k>0時，才會出現區域中的最小值；

對于結論③，其實也可以用整體思想，三個多項式分別設為A、B、C，和為A+B+C；第一次“順差放置”后，A，A-B，B，B-C，C，其和為2A+B，相對增加了A-C；第二次“順差放置”后，A，B，A-B，A-2B，B，C，B-C，B-2C，C，其和為3A+B-C，相對增加了A-C；

發現每次“順差放置”后，和都會增加A-C，即2x-8，這樣下去的規律就找到了，再去判斷就容易得多；

通常情況下的填空壓軸題，都會存在一些減輕計算量的技巧，這些所謂的技巧并不是需要記憶的內容，它們無一例外來自于對數學的深入理解，想到這一處了，就簡單了，想不到，會浪費很多時間甚至想不出來.