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近日，廈門大學數學科學學院馬家駿副教授與美國康奈爾大學Dan Barbasch教授、浙江大學孫斌勇教授、新加坡國立大學朱程波教授合作完成的成果“Special Unipotent Representations of Real Classical Groups: Construction and Unitarity”，被國際頂尖數學期刊《Journal of the American Mathematical Society》（《美國數學會雜志》）接受。

據悉，該文于2017年12月完成初稿，隨后幾經修改，歷經近9年，于2026年6月被JAMS接受。這是廈門大學教師首次在國際數學界公認的四大頂尖期刊上發表高水平研究成果。

《Journal of the American Mathematical Society》是國際數學界公認的四大頂尖期刊之一。與《Acta Mathematica》（《數學學報》）、《Annals of Mathematics》（《數學年刊》）和《Inventiones Mathematicae》（《數學新進展》）齊名。該期刊審稿周期長，標準嚴苛，年發文20–25 篇。

研究背景

約化群的表示理論是現代數學“朗蘭茲綱領”的核心課題之一，對數論、調和分析等領域有深遠影響。其中，由 Arthur 提出、并經 Adams-Barbasch-Vogan（ABV） 進一步發展的“特殊冪幺表示”（special unipotent representations）理論，被認為是構造一般自守表示的基本“磚塊”，其酉性長期以來是一個尚未證明的重要猜想。

研究亮點

要理解冪幺表示的意義，可以借助矩陣的若當分解（Jordan decomposition）來類比：任意可逆矩陣都可以唯一地分解為一個可對角化矩陣與一個冪幺矩陣（unipotent matrix，即特征值全為 1 的矩陣）的乘積；其中可對角化的因子由特征值完全決定，而冪幺的因子的共軛類只有有限多個——完全由若當塊的大小（即正整數的分拆）所刻畫。從哲學的角度，約化群的表示論中也有一條平行的“若當分解”原則：任意一個不可約表示，都可以從某個冪幺表示出發，通過拋物誘導（parabolic induction）或上同調誘導（cohomological induction）構造出來——其中的冪幺表示對應著若當分解里的冪幺因子，而誘導操作，則扮演了可對角化因子的角色。正因如此，冪幺表示是刻畫約化群酉對偶（unitary dual，即全體不可約酉表示）這一終極目標的基石。與冪幺矩陣的共軛類只有有限多個相仿，特殊冪幺表示的個數也是有限的；其精確的組合計數公式出自本文的姊妹篇《Special unipotent representations of real classical groups: Counting and reduction》（已發表于國際著名數學期刊《Journal of the European Mathematical Society》，即《歐洲數學會雜志》）。

在本文中，作者們針對所有實典型群（包括正交群、辛群、亞辛群和酉群），借助 Howe 創立的 theta 提升方法，系統地構造并完全分類了全部特殊冪幺表示，并證明它們均為酉表示，從而在實典型群的情形完整確立了著名的Arthur-ABV 猜想。這一成果在“約化群酉表示分類”這一宏大目標上邁出了重要一步。本文的另一項重要貢獻，則是精確計算了這些特殊冪幺表示的關聯鏈（associated cycle），從而為冪零軌道的幾何量子化（geometric quantization）問題提供了系統性的證據。

在方法上，本文將群上的調和分析、冪零軌道的幾何學與染色楊圖的組合方法有機融合，使用這三個數學工具協同最終解決問題。

馬家駿副教授簡介

馬家駿副教授，2007 年本科畢業于蘇州大學，2013年2月在新加坡國立大學取得博士學位，師從朱程波教授。2013年到2016年分別在新加坡國立大學、以色列本古里安大學、香港中文大學等地從事博士后研究工作；2017年1月-2021年6月任職于上海交通大學；2021年7月入職廈門大學。馬家駿長期從事典型群表示論、Theta對應及相關朗蘭茲綱領（Langlands program）問題的研究，取得突出研究成果，相關論文在JAMS、JEMS、Annales de l'ENS、Compositio Math.、Adv. Math.等數學頂尖期刊發表或接受待發表。