導(dǎo)語

集智學(xué)園聯(lián)合東京都市大學(xué)賈伊陽老師共同開設(shè)了「」課程，本系列課程將以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)為核心，逐步建立泛函分析的基礎(chǔ)架構(gòu)。第一階段將探討從有限維跨越到無限維的動(dòng)機(jī)與基礎(chǔ)；第二階段將重點(diǎn)建立度量與完備性，掌握 Banach 空間與不動(dòng)點(diǎn)定理的精髓；第三階段將深入探討 Hilbert 空間的幾何結(jié)構(gòu)與對(duì)偶空間的映射體系。最終，在第四階段，將梳理完整的結(jié)構(gòu)總覽與應(yīng)用地圖，透視這些純粹的數(shù)學(xué)工具如何作為底層基石，廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代物理、復(fù)雜系統(tǒng)模擬與前沿計(jì)算科學(xué)中。

作為系列課程的第七講，賈伊陽老師將以「Hilbert 空間：幾何結(jié)構(gòu)」為主題，本節(jié)內(nèi)容將聚焦最小二乘、信號(hào)分解與量子態(tài)，探討內(nèi)積、?2與L2，強(qiáng)調(diào)Hilbert空間是幾何、代數(shù)與分析的統(tǒng)一。課程將揭示其dagger范疇與Riesz自對(duì)偶屬性，解析正交投影作為最佳近似與直和分解的數(shù)學(xué)本質(zhì)。正式分享將于5月24日（周日）19:00-20:30進(jìn)行。

主題：Hilbert 空間：幾何結(jié)構(gòu)

課程簡(jiǎn)介

上一節(jié)分享中Banach 空間關(guān)心“距離與收斂”，Hilbert 空間進(jìn)一步關(guān)心“角度、正交性與投影”。機(jī)器學(xué)習(xí)中的很多方法并不是直接依賴坐標(biāo)，而是依賴：?x,y?, ∥x∥, projection, orthogonal decomposition。這些結(jié)構(gòu)正是 Hilbert 空間的核心。

Hilbert 空間的幾何結(jié)構(gòu)，是現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中被使用最廣、卻最少被系統(tǒng)講清楚的一塊。支持向量機(jī)背后的核技巧、PCA 的最優(yōu)性保證、Fourier Neural Operator 對(duì)偏微分方程的學(xué)習(xí)方式，以及量子機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)經(jīng)典核方法的繼承與超越，都在同一套幾何語言里展開。

本講是賈伊陽「面向應(yīng)用的泛函分析：空間、算子與結(jié)構(gòu)」系列第七講。課程從復(fù) Hilbert 空間的基本結(jié)構(gòu)出發(fā)，建立正交投影與最小二乘的幾何解釋，隨后以 Fourier 分解與 PCA 為主線，揭示信號(hào)分解與機(jī)器學(xué)習(xí)降維方法的共同內(nèi)核。中段轉(zhuǎn)入 RKHS 與核方法，通過 Representer Theorem 說明為何無窮維的函數(shù)優(yōu)化問題可以壓縮為有限個(gè)核函數(shù)的組合。后半程進(jìn)入復(fù) Hilbert 空間與量子機(jī)器學(xué)習(xí)的交叉地帶，依次分析 Schuld & Killoran 的量子特征映射框架、Havlí?ek 等人的 NISQ 分類器、Liu–Arunachalam–Temme 的量子監(jiān)督學(xué)習(xí)加速結(jié)果，以及以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)和矩陣乘積態(tài)為代表的波函數(shù)近似方法。

學(xué)完本講，學(xué)員將能夠從幾何視角理解正交投影、最小二乘與 PCA 的等價(jià)性，讀懂 RKHS 文獻(xiàn)中 Representer Theorem 的證明邏輯，并對(duì)量子核方法與經(jīng)典核方法的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)異同形成清晰認(rèn)識(shí)。

課程大綱

一、導(dǎo)入

• 導(dǎo)入

• 復(fù) Hilbert 空間（定義與基本結(jié)構(gòu)）

二、Hilbert 空間的幾何語言

• 幾何直覺

• 正交投影與最小二乘

• 信號(hào)分解、Fourier 分解與 PCA

• 機(jī)器學(xué)習(xí)中的 Hilbert 空間：RKHS 與核方法

• 相關(guān)論文：Muandet et al., "Kernel Mean Embedding of Distributions"

三、復(fù) Hilbert 空間與量子機(jī)器學(xué)習(xí)

• 量子態(tài)為什么是復(fù) Hilbert 空間中的向量

• 量子特征 Hilbert 空間與量子核方法

• 相關(guān)論文

• • Schuld & Killoran：量子編碼就是 Hilbert 空間特征映射

  • Havlí?ek et al.：把量子增強(qiáng)特征空間做成 NISQ 分類器

  • Liu–Arunachalam–Temme：嚴(yán)格、魯棒的量子監(jiān)督學(xué)習(xí)加速

  • Carleo & Troyer：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)，把波函數(shù)當(dāng)作可學(xué)習(xí)函數(shù)

  • Torlai et al.：神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)量子態(tài)層析，從測(cè)量樣本重構(gòu)波函數(shù)

  • Stoudenmire & Schwab：MPS 是監(jiān)督學(xué)習(xí)中線性泛函的低秩壓縮

關(guān)鍵術(shù)語

• 正交投影：將向量沿垂直于子空間的方向分解，所得分量即對(duì)該子空間的最優(yōu)逼近

• RKHS（再生核 Hilbert 空間）：賦有核函數(shù)的函數(shù)空間，點(diǎn)求值泛函在其中有界，是核方法的理論基礎(chǔ)

• Representer Theorem：在 RKHS 上的正則化問題中，最優(yōu)解可以表示為有限個(gè)核函數(shù)的線性組合

• 核函數(shù)：隱式定義特征映射的正定對(duì)稱函數(shù)，使高維內(nèi)積計(jì)算得以通過原空間運(yùn)算實(shí)現(xiàn)

• Fourier Neural Operator：在頻域?qū)W習(xí)函數(shù)到函數(shù)映射的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)，用于求解偏微分方程

• 量子核方法：將量子態(tài)的內(nèi)積作為核函數(shù)，利用量子線路實(shí)現(xiàn)經(jīng)典難以計(jì)算的特征空間

• NISQ 分類器：在含噪中等規(guī)模量子設(shè)備上運(yùn)行的量子機(jī)器學(xué)習(xí)模型

• 矩陣乘積態(tài)（MPS）：張量網(wǎng)絡(luò)的一種形式，用于對(duì)高維波函數(shù)或監(jiān)督學(xué)習(xí)中線性泛函的低秩近似

• 核均值嵌入：將概率分布映射為 RKHS 中的元素，用于分布間距離與檢驗(yàn)

課程信息

課程主題：Hilbert 空間：幾何結(jié)構(gòu)

課程時(shí)間：2026年5月24日（周日） 19:00-20:30

課程形式：騰訊會(huì)議（會(huì)議信息見群內(nèi)通知）；集智學(xué)園網(wǎng)站錄播（3個(gè)工作日內(nèi)上線）

課程主講人

賈伊陽，。

課程主講人

賈伊陽，東京都市大學(xué)講師、前日本女子大學(xué)助理教授，前日本成蹊大學(xué)助理教授。研究重點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜性，算法，以及范疇相關(guān)理論。集智學(xué)園《》課程講師。

課程適用對(duì)象

• 做微分方程、數(shù)值算法、反問題、信號(hào)處理、控制的學(xué)習(xí)者與研究者

• 做優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)、統(tǒng)計(jì)推斷，希望理解正則化與泛化的結(jié)構(gòu)來源的研究者

• 讀量子/數(shù)學(xué)物理文獻(xiàn)，希望把 Hilbert 空間與算子語言用順手的研究者

• 更廣義地：經(jīng)常處理“函數(shù)作為未知量”的問題、并且想要一套可遷移框架的研究者

1. 面對(duì)一個(gè)新問題，你能先問對(duì)問題：該在哪個(gè)空間里解？該用哪個(gè)范數(shù)衡量誤差？需要什么完備性？算子是否有界？

2. 你能理解常見方法背后的統(tǒng)一邏輯：迭代為何收斂、正則化為何穩(wěn)定、最小二乘為何等價(jià)于投影、弱解為何成立。

3. 你會(huì)獲得一套“抽象但可落地”的語言：寫證明、讀論文、做建模時(shí)，能把碎片化技巧收束到結(jié)構(gòu)層面。

1. 課程形式：騰訊會(huì)議直播，集智學(xué)園網(wǎng)站錄播。本系列課程不安排免費(fèi)直播。

2. 課程周期：2026年3月29日-2026年6月14日，每周日晚19點(diǎn)-21點(diǎn)進(jìn)行。

3. 課程定價(jià)：原價(jià)499

   1. 早早鳥價(jià)299，截止時(shí)間：2026年3月22日中午12點(diǎn)

   2. 早鳥價(jià)399，截止時(shí)間：2026年3月30日中午12點(diǎn)

課程鏈接：https://campus.swarma.org/v3/course/5700?from=wechat

付費(fèi)流程：

2. 課程頁面添加學(xué)員登記表，添加助教微信入群；

3. 課程可開發(fā)票。

課程共創(chuàng)任務(wù)：課程字幕

為鼓勵(lì)學(xué)員深度參與、積極探索，我們致力于形成系列化知識(shí)傳播成果，并構(gòu)建課程知識(shí)共建社群。為此，我們特別設(shè)立激勵(lì)機(jī)制，讓您的學(xué)習(xí)之旅滿載收獲與成就感。

課程以老師講授為主，每期結(jié)束后，助教會(huì)于課程群內(nèi)發(fā)布字幕共創(chuàng)任務(wù)。學(xué)員通過參與這些任務(wù)，不僅能加深對(duì)內(nèi)容的理解，還可獲得積分獎(jiǎng)勵(lì)。積分可兌換其他讀書會(huì)課程或?qū)嵨铼?jiǎng)品，助力您的持續(xù)成長(zhǎng)。