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【新智元導讀】困擾數論界半個多世紀的Zaremba猜想，被華人數學家張欣用一篇百頁論文終結——而關鍵一擊，來自另一位數學家幾周前剛剛發表的成果。

數學圈地震！

數學家、香港大學數學系助理教授張欣宣布，在吸收了數學家Ilya Shkredov近期突破性成果的基礎上，正式攻克了困擾數學界已久的「扎雷姆巴猜想」（Zaremba's Conjecture）。

預印本：https://arxiv.org/abs/2605.02518

數學家、羅格斯大學杰出教授Alex Kontorovich激動轉發學生的這一突破性成就！

一個猜想，50多年沒人能動

要理解這個猜想，我們需要進入數字的「顯微鏡」下——連分數（Continued Fractions）。

任何一個有理數p/q都可以展開成這種疊羅漢式的結構。

這些展開式中的每一個數字，都被稱之為「部分商」。

1971年，波蘭數學家Stanis?aw Krystyn Zaremba提出了一個關于連分數的猜想：

對于任何正整數q，都存在一個與之互素的a，使得a/q的連分數展開中，所有部分商都不超過某個固定常數A。

也就是說，無論分母q有多大，你總能找到一個分子a，使得這個分數的連分數展開式中，所有的數字都不會超過一個極小的常數。

這聽起來違背直覺：數字越大，不是應該越復雜嗎？為什么它們會被鎖死在一個如此低的天花板之下？

這是美學，更是威力。

滿足這一猜想的數字，是數學世界里的「黃金分割點」，它們能生成極其均勻的分布。

在數值積分和偽隨機數生成領域，這便是通往「絕對精度」的鑰匙。誰掌握了它，誰就掌握了計算文明的精度底線。

但這看似簡單的猜想，卻讓全世界數論學家卡了半個世紀。

原因很簡單——它把數論中最刁鉆的三種結構纏在了一起：連分數的組合爆炸、丟番圖逼近的精度要求、以及篩法的極限邊界。

任何一個單獨拿出來都夠寫一篇博士論文。

三個絞在一起，形成了一道幾乎無法正面攻克的「極大-極小-極大」問題。

張欣的「技術存貨」

張欣，亞歷克斯·孔托羅維奇（Alex Kontorovich）的學生。

張欣，現任香港大學數學系助理教授。博士師從Alex Kontorovich，于2014年獲石溪大學數學博士學位；2009年7月，畢業于華東理工大學，獲計算機科學與技術專業工學學士學位。

Alex Kontorovich本人就是連分數領域的頂級專家。

Alex Kontorovich在普林斯頓大學獲得學士學位，在哥倫比亞大學獲得哲學博士學位。除了數學，他也頗有音樂造詣。他曾與格萊美獲獎樂隊克萊茲馬提克斯巡演，聯合創立了樂隊Klez Dispenser，并在蒙特利爾國際爵士音樂節、曼哈頓林肯中心以及克拉科夫猶太文化節等場所演出。

2014年，數學家、菲爾茲獎得主讓·布爾甘（Jean Bourgain）和他合作，取得了Zaremba猜想的里程碑式部分進展，證明了猜想對「幾乎所有」正整數成立。

論文鏈接：https://annals.math.princeton.edu/2014/180-1/p03

但「幾乎所有」不是「所有」。

從「幾乎所有」到「所有」，中間隔著一道數學家最熟悉的深淵：從99%到100%，往往比從0到99%更難。

但在數學家的法典里，99.999...% 并不等于 1。 只要有一個孤立的數字不滿足，真理的大廈就留有一道裂縫。這道縫隙，成了后繼者們的夢魘。

張欣選擇了一條不一樣的路。

他花了數年時間積累了基礎設施建設，等待一個關鍵拼圖到位。

這個拼圖，幾周前到了。

Ilya Shkredov的「臨門一腳」

直到幾周前，俄羅斯數學家Ilya Shkredov像一名精準的狙擊手，利用全新的群論工具，攻克了素數（Primes）和素數冪的情況。

近期，他發表的突破性成果，恰好擊穿了張欣此前無法逾越的技術瓶頸。

預印本鏈接：https://arxiv.org/abs/2603.14116

伊利亞·施克雷多夫（Ilya Shkredov），俄羅斯數學家，加法組合學領域的重量級人物。

戰場被極度縮小，但危險依然存在。

施克雷多夫的方法雖然精妙，卻在面對復雜的「合數」（Composites）時顯得力不從心。這就像是已經占領了所有的制高點，卻依然無法進入那座由合數構成的迷宮中心。

當時還缺的最后一塊拼圖，是一個非常技術性的環節：需要在任意模數q的情形下，處理某種SL(2,Z/qZ)「擴張性」（expansion）問題。

張欣敏銳地意識到，施克雷多夫留下的那個「合數真空」，恰好可以被他手中這些關于群擴張的底層工具完美填充。

他將這些極其復雜的群論重型武器，精準地嵌入到了Zaremba猜想的證明框架中，證明一氣呵成。

從特定序列到全體整數，最后的天塹瞬間消失。

Zaremba猜想，終結。

稍后，Alex Kontorovich會找時間更詳細地講解Shkredov-Zhang方法的思路。

這不僅是技術的勝利，更是一次浪漫的傳承：作為Kontorovich的前學生，張欣親手為導師十多年前開啟的遠征，畫上了完美的句號。

數學家不接受「幾乎」，那是給物理學家的仁慈。張欣用最硬的技術，完成了最絕對的任務。

數學不是獨狼游戲

數學界經常出現這種場景：A在山的這一側挖了十年隧道，差最后三米打不穿；B在另一座山上炸了一個口子，碎石滾下來，正好幫A鑿開了最后那堵墻。

這個故事最值得講的，不是「天才靈光一閃」。

恰恰相反：張欣的證明是一場精心準備的戰爭。數年的基礎設施建設、對領域內所有工具的系統性掌握、對關鍵缺口的精確定位——然后，在另一個數學家提供了最后那塊拼圖的瞬間，完成致命一擊。

這才是現代數學真正的工作方式。不是一個人關在閣樓里苦想十年，而是一個全球知識網絡中的「準備+機遇」模型。

張欣準備了百頁的彈藥。施克雷多夫遞來了引信。

孔托羅維奇看著自己的學生走完了自己沒能走完的路。

下一個被終結的世紀猜想，會是什么？

參考資料：

https://x.com/AlexKontorovich/status/2051667123001327949

編輯：KingHZ