每年高考數學一結束，只需要零秒就能猜到網上會怎么吐槽。畢竟哪怕是相對簡單的2024年和2025年高考數學，平均分也很難達到及格線，至于地獄難度的2022年，已經是不堪回首的記憶了。但是如果我們翻開近一百年的中學數學大綱，可能會發現一個令人意外的事實：今天的數學題可比我們的父輩特別是祖輩簡單多了。

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數學教育太落后了，中學必須學微積分！

眾所周知，數學在18-19世紀有了長足的發展，出現了歐拉、高斯、黎曼等影響世界的數學家，但是彼時的數學教育還非常落后，仍然以歐幾里得的《幾何原本》為核心，讓學生學習那些酸澀的證明。這就產生了兩個非常嚴重的問題，一個是數學研究的后備軍跟不上，沒有大量的數學研究者幫助天才數學家省下一個下午；另外一個便是社會對勞動力的數學素質要求很高，但是難以用現有的數學教育來滿足。

▲ 大家并非沒有想著改善原有的數學教學，但是辦法是，把《幾何原本》的證明做的好看一些，讓大家學起來更方便。這是Oliver Byrne于1847年編撰的《幾何原本》前六卷（taschen）

英國工程師約翰·培利（John Perry）對此特別不滿，他甚至因為英國人數學素質差而別國同行嘲笑。1901年9月，他在英國科學促進會格拉斯哥年會上，對著數學與物理分會和教育分會的聯席會議，把現行數學教學罵了個痛快。他從自身的經歷出發講述數學教育的局限性：當年當學徒時就知道一些三角和大量代數，還精通幾何；想學工程理論，但手頭兩本書全是看不懂的數學符號；渴望知道微積分，但是不知道去哪里學。回過頭看，他覺得自己“為獲得這些符號的知識而喘息了好幾年”。他由此感慨道：純粹數學家們偶爾也批評我們的教學方法，西爾維斯特批評過，德·摩根也批評過，但批評歸批評，什么都沒變。我們不能再等了。再等下去，大英帝國就要完蛋了！

他提的具體主張有幾條：讓學生用方格紙畫函數曲線，從圖形上讀出斜率、極值和變化率；用實驗和測量代替純紙面推導來學幾何；更根本的一條是微積分必須進中學，而且不是作為尖子生的選修，是面向所有學生的基礎課。他相信，一個善于思考的教師應該“能讓小男孩迅速掌握微積分的基本概念”。這場演講引發了一場持續數小時的討論，后來結集出版為《數學教學討論錄》。討論的余波還促成了英國科學促進會成立一個專門委員會，研究數學教學的現狀和改進方向。

▲ 1899年，約翰·培利出版的《實用數學》教科書，第一章便是指數與對數（archive）

德國那邊，菲利克斯·克萊因（Felix Christian Klein）推動得更有系統。克萊因是當時德國數學界最有組織力的人之一，他深知純粹數學和應用數學之間的鴻溝不是大學才存在的，而是在中小學逐漸形成的。1904到1905年間，他主導了德國數學教學改革的整體規劃，在梅蘭會議上拿出了具體的課程方案，明確要求把函數概念和微積分初步寫進中學大綱。他跟培利方向一致，但做法更制度化和專業化。不僅有專門的委員會，還出版了《中學數學講義》和《高觀點下的初等數學》兩本書。

▲ Felix Christian Klein，1849-1925

這兩路人馬后來被合稱“培利—克萊因運動”，是20世紀數學教育的第一次大規模改革運動。但改革推了十幾年，落地的東西相當有限。因為中學數學教育的內容是由大學入學考試決定的，而考試機構不打算在短期內改變他們的內容。培利自己那套教學法，在少數學校試驗了幾年，效果見仁見智，爭議頗多。1912年，一位培利運動的支持者無奈地寫道：“我們談了許多，行動卻甚少。”但這場運動留下了一個東西，就是“微積分進中學”這個訴求本身。它此后一直沒有從討論桌上消失。此后的半個世紀里，各國課程在緩慢地向這個方向移動，直到下一次改革契機的到來。

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苦一苦中學生，罵名數學家來擔

兩次世界大戰對人類的科技發展在客觀上起到了促進作用，但是也讓大家看到了科技與國家實力的密切關系，因此要提升科學教育的質量，作為科學的基礎，數學教育的提升也被擺在臺面上。1957年，蘇聯發射了第一顆人造地球衛星斯普尼克一號，這讓美國大為震驚，稱之為“斯普尼克時刻”。斯普尼克讓美國從各方面反思自己，其中有種觀點認為，蘇聯之所以能在太空競賽中領先，都是因為他們的數學教育特別扎實，因此美國想要在未來的競爭中取得領先，就要加強公眾的數學能力。這場運動也被稱為新數運動。

▲ 20世紀60年代美國的新數學教材（wiki）

新數運動的“新”字，是跟培利—克萊因運動對照出來的。第一次運動說的是數學該教什么，這次說的是數學該用什么方式組織。主導這次運動的人，不再滿足于把微積分搬進中學，他們要從根本上改變中小學數學的知識結構。而這個改變的核心詞，是“結構”二字。

什么叫數學的結構？這得從法國的布爾巴基學派說起。這群法國數學家從20世紀30年代起，用公理化和結構化的方式重寫了整個高等數學，把數學分成代數結構、序結構、拓撲結構三大類，一切從集合論出發。新數運動的推動者覺得，既然現代數學已經是這個面貌了，中學就不該再按老一套的算術、代數、幾何、三角的線性順序教下去，而應該讓學生從一開始就接觸到數學的底層結構，比如說集合、等價關系、運算律、群。說得直白一點：與其教孩子算2+3=5，不如先讓他們搞懂什么叫二元運算。

▲ 布爾巴基學派的成員構成到今天仍然是一個謎，創始成員包括亨利·卡爾坦（站著，最左邊）、安德烈·韋爾（站著，右邊第二位）和索萊姆·曼德爾布羅伊特（坐著，最右邊）（Quanta magazine）

由此就誕生了一個著名的笑話：

一位蘇聯數學家去法國考察，問小學生2+3等于幾

小學生說不知道

再問3+2呢

還是不知道

那你知道什么？

我知道2+3等于3+2，因為這是一個阿貝爾群！

與第一次數學改革運動不同的是，新數運動所影響的國家比之前多得多。美國方面，主要推動者有好幾撥。數學界這邊，有芝加哥大學的貝伯曼（Max Beberman），他在20世紀50年代末就搞了一套叫UICSM（伊利諾伊大學學校數學項目）的教材實驗，把集合論的語言和發現式教學引入課堂；還有SMSG（學校數學研究組），這是在耶魯大學的貝格（Edward Begle）牽頭的大型項目，集中了一批頂尖數學家編寫全套中小學教材。政府那邊，1958年國會通過《國防教育法》，聯邦資金大量注入科學和數學教育的改革，SMSG等項目的經費相當一部分就來自這條線。

▲ UICSM的數學實驗教材（americanhistory）

法國這邊走得比美國更遠。1959年，法國數學家迪厄多內（Jean Dieudonné）喊出了“歐幾里得滾蛋”的口號。20世紀60年代末，一批布爾巴基成員直接參與了中學教材的編寫，其中最激進的做法是把微積分之前的所有內容用集合論的語言統一重寫。幾何不再是從公理出發的演繹體系，而是被當作線性代數的直觀模型來講。向量、仿射變換、向量空間，這些大學數學系的標配，出現在了法國中學的課堂上。

▲ André Revuz主編的6年級數學教材

蘇聯的時間晚一些，安德烈·柯爾莫哥洛夫（Андре?й Никола?евич Колмого?ров）從20世紀60年代起擔任蘇聯中學數學課程委員會的組長，1968到1969年間推出了新的教學大綱，覆蓋4到10年級，整個中學階段。內容包括引入集合論作為基礎語言，用向量和坐標方法重新組織幾何教學，把概率論和組合數學編入課程，強調函數的統一觀點。柯爾莫哥洛夫親自操刀編寫了6到8年級的幾何教科書，核心思路是用向量取代傳統的歐幾里得演繹體系，不再從公理出發一條一條地證，而是用向量運算和坐標變換來處理幾何問題。他同時也把自己最拿手的概率論塞進了中學課本。

▲ 蘇聯6-8年級教材——幾何，480頁塞進去了1300道習題，這是第五章向量

中國雖然沒有直接進行新數運動，也進行了一場“數學教育現代化”的嘗試，口號是“能編多高編多高”。解析幾何、概率統計都塞進了中學，最激進的試點方案甚至寫到了常微分方程，平面幾何則大幅精簡，正負數和計算題下放到小學。代數、幾何、三角不再分科，而是統稱“數學”，號稱“一條龍”體系。不過這些嘗試很快就被叫停。

▲ 微積分學包括極限與聯系、微分學、積分學和常微分方程、空間解析幾何等五章（新中國中小學教科書圖文史·數學）

新數運動很快就遇到了問題。首先是老師們看不懂，教材是頂尖數學家寫的，教書的卻是普通的中學老師。很多教師自己就沒學過集合論和抽象代數，現在要他們用這套語言去給十四五歲的孩子講數學，場面可以想象。第二個問題是學生跟不上。集合、等價類、二元運算這些概念，對一個剛學完分數加減法的孩子來說，簡直是誤闖天家。家長更困惑，他們翻開孩子的數學課本，發現自己完全看不懂，連作業都沒法輔導。第三個問題是，計算能力大面積滑坡。新數運動貶低機械運算，強調概念理解，但概念理解沒建立起來，基本計算能力反而丟了。

到了70年代，大家逐漸開始放棄新教材，回到了更為傳統的路線。新數運動雖然失敗，但他也留下來了一些遺產。一方面，集合論的語言和函數概念從此確實進入了中學課本，雖然不再是主角，但至少存在了；另一方面，它給后來的改革者提供了一個反面教材：數學教育改革不能只靠數學家。

1999年，《時代》雜志將新數學列入20世紀100個最糟糕的想法名單。

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數學到底該怎么教呢？

新數運動失敗以后，人們開始反思：改革到底留下了什么？說全盤失敗，也不完全對。它提出的幾條思路，包括要把現代數學的新發展反映到課程里、重視科學方法、強調發現式學習、把數學學習看成過程而不是結果等。這些想法本身沒有錯，而且在后來的改革里一直存在。我國現在的數學課改，很多提法都能追溯到新數運動那一代人。

第三次改革從1980年代初開始，一直延續到現在。它面對的形勢跟前兩次不一樣了。中等教育在各國基本普及，上大學不再是少數人的事，終身教育的說法也出來。“以學生的發展為本”這句話在各國的政策文件里反復出現。同時，信息技術滲透到日常生活，公眾對數學的理解深度也得跟上。再加上各國數學教學質量普遍下滑，焦慮感在政界和公眾中蔓延，改革不得不推。

20世紀80年代末，美國全國數學教師委員會（NCTM）發布了課程標準，把“問題解決”定為學校數學的核心，同時強調應用性、降低統一性、增加選擇性，倡導探究式學習和合作學習，評價也不只看考試分數，還看“努力程度、行為表現和到校上課率”。聽起來也是很好的，結果落地出問題了。

過分強調問題解決，基礎知識就沒人管了。過分強調應用性，數學學科本身的系統性被拆散了。過分強調學生的興趣和自主建構，跟數學學習本身的特性產生了沖突，畢竟數學學習不可能總是好玩的。合作學習也有問題。沒有精心設計的合作幾乎必然跑偏，學生不知道該討論什么，聊著聊著就離題了，而且容易催生依賴心理，最后全靠大腿帶。

到了20世紀末，美國數學教育界爆發了一場激烈的公開論戰，史稱“數學戰爭”（Math Wars）。一邊是以NCTM為代表的改革派，堅持建構主義和問題解決路線；另一邊是傳統派，要求恢復系統知識的講授和基本技能的訓練。加州是這場戰爭的主戰場，所以加州的數學課程標準在改革派和傳統派之間來回搖擺了好幾輪，很多工程師和科學家家長對學校的數學教學怒不可遏，自己給孩子補課。

最后“學習數學不可能總是好玩的”被寫進了政策討論。這場轟轟烈烈的運動，似乎又是虎頭蛇尾。似乎這就成為了數學教育改革的必然結局。每一個方向都糾正了前一次的偏失，每一個方向也都制造了新的偏失。回頭看，有用、嚴謹、為學生，這三個訴求，沒有一個是錯的，但也沒有一個可以單獨撐起數學教育。怎么把三者擰到一起，到今天仍然是個沒有標準答案的問題。

所以，當大家看著數學題反反復復的風格與難度切換覺得頭大如斗的時候，可能數學家與數學老師們更加難過。人類世界又走到了數學與時代發展錯位的地步，這次應該怎么辦呢？

▲ AI時代，繼續加強學生的數學教育嗎？沒有人知道答案（圖源網絡，真實性待考）