? 錢守旺教育演講錄 ?

數和形分了家，數學就只剩一半

北京市數學特級教師/正高級 錢守旺

━━━━━━━━━━━━━━━━━━

華羅庚先生有一首詩，我特別喜歡——

「數形本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。幾何代數統一體，永遠聯系莫分離。」

八句詩，把數和形的關系說得透透的：數和形是一對搭檔，分開了誰都不完整。數缺了形，就缺了直覺；形缺了數，就缺了精確。只有兩者結合，才能百般好。

美國數學家斯蒂恩也說過：「如果一個特定的問題可以轉化為一個圖形，那么思想就整體地把握住了問題，并且能創造性地思索問題的解法?！?/strong>

可是，我們的課堂上，數和形真的"結合"了嗎？還是各走各的路、各唱各的戲？

今天這篇文章，就來說說：數形結合，化難為易。

════════════════════

【一】數和形，數學的兩條腿

數與形是數學中最基本的兩大概念，也是整個數學發展過程中的兩大基石。數學要研究的東西，基本上就是數量關系和空間形式。

有人說，幾何是數學思想的搖籃。幾乎所有重要的數學概念，最初都是從幾何中來的。

數形結合，就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來——使代數問題幾何化，或者使幾何問題代數化，為問題的解決提供簡捷明快的途徑。

這對小學生來說尤其重要。為什么？因為小學生的抽象思維還不太發達，學習抽象的數學知識時，還必須有形象的支持。形象化的實例容易引起興趣，愉快的情感能引發有意注意，激發學習積極性。

所以，任何數形分開、或先數后形、先形后數的做法，都不符合小學生認識數學的心理特點。

「數和形是數學的兩條腿。只用一條腿走路，能走多遠？不摔跤就不錯了?！?/strong>

════════════════════

【二】數的認識：讓"數"看得見

數感，是對數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。2011年版課標把培養數感作為義務教育階段數學教育的重要目標。

怎么培養？只有為學生提供充分的可感知的現實背景，才能使學生真正理解數的概念。

來看中外教材是怎么做的——

小棒模型：數數的時候擺小棒，1根、2根、10根捆成一捆——個位和十位的關系，一眼就看清了

方塊模型：小方塊一個一個數，10個一排，10排一面，10面一體——個、十、百、千、萬，層次分明

方格紙模型：在方格紙上表示除法，140÷30，3個班分90本，4個班分120本，4個班多20本——商和余數，圖上看得清清楚楚

計數器模型：撥珠子認識大數，個位滿十向十位進一，十位滿十向百位進一——進位的道理，手一動就明白

數線模型：把數排在一條線上，大小關系、加減運算，全變成了位置關系——加法向右走，減法向左走

你發現沒有？不管哪種模型，核心都是一件事：讓"數"看得見。看見了，理解才有根基；看不見，數就只是一串抽象的符號。

════════════════════

【三】概念學習：用"形"把抽象概念變具體

北大附小的李寧老師教《質數與合數》，做了一個精彩的設計——

她沒有一上來就給定義，而是讓學生用小方塊擺長方形或正方形。7個小組，每組方塊數量不同：4、5、7、9、11、12、24。

學生擺完之后匯報——

4塊：4×1和2×2，兩種擺法

5塊：5×1，一種擺法

7塊：7×1，一種擺法

9塊：9×1和3×3，兩種擺法

11塊：11×1，一種擺法

12塊：12×1、6×2、4×3，三種擺法

24塊：24×1、12×2、8×3、6×4，四種擺法

老師故意夸第七組："你們方案最多，今天的冠軍！"

學生不服："不公平！我們方塊少，當然擺法少！"

好，矛盾出來了。擺法的多少，跟什么有關？方塊的大小？奇偶？因數的個數？

老師再給學生一次機會，自選方塊數重新研究。學生終于發現：決定擺法多少的，是因數的個數。因數只有1和本身的數，只能擺一種；因數不止兩個的，就能擺多種。

質數和合數的概念，不是老師告訴的，是學生"擺"出來的。

「用方塊擺一擺，質數和合數就從抽象的定義變成了看得見的長方形。數形結合，讓概念長出了模樣?！?/strong>

════════════════════

?【四】理解算理：讓運算過程"看得懂"

算理是運算的理論依據，法則是運算的基本程序和方法。很多學生會算但不懂算理——為什么末位對齊？為什么進位退位？為什么小數點要對齊？

數直線就是理解算理的好工具——

加法：在數直線上向右數，或者向右平移若干個單位

減法：先找到被減數，然后向左數，或者向左平移若干個單位

乘法：幾個幾個地向右數，或者把一個線段拉長幾倍

除法：找到被除數，向左幾個幾個地數，數幾次商就是幾，數不到0就有余數

不光是我們，其他國家和地區的教材也在大量使用直觀模型幫助理解算理——

韓國教材用實物模型理解12÷3的計算過程

韓國教材用小方塊模型理解三位數減三位數

韓國教材用方塊模型理解42×3

新加坡教材用點子圖理解7.75÷5

新加坡教材用方格圖理解253+68

日本教材用小棒圖理解34+28

香港教材用數字軌道理解計算算理

臺灣教材用方格圖理解分數除法算理

你看，不管哪個國家哪個地區，幫助小學生理解算理，都離不開"形"。全世界的數學教育都在用同一把鑰匙——數形結合。

「會算不算本事，懂算理才是真本事。而懂算理最快的方式，就是把運算過程畫出來?！?/strong>

════════════════════

【五】解決問題：線段圖的"神奇"力量

實際問題變化多端，并非所有題目一開始就能發現數量關系。線段圖就是解決這個問題的利器——它將事物之間的數量關系明確地表示出來，使抽象問題具體化、復雜關系明朗化。

我在教六年級數學時，讓學生總結解答分數、百分數應用問題的竅門，學生們自己畫了一張"解題路線圖"：先畫線段圖，標出單位"1"，找準對應關系，列式就水到渠成了。

來看一道題——

幸福村今年蘋果大豐收，產量達到3.6萬噸，比去年增長二成，去年蘋果的產量是多少萬噸？

學生剛開始學的時候，普遍搞不清：該用乘法還是除法？該加還是該減？

可我發現一個規律：凡是正確畫出線段圖的學生，列式都是正確的。

線段一畫，"去年"是單位"1"，"今年"是去年的120%，對應關系一目了然——3.6÷120%，答案自然就出來了。

低年級教"倍"的應用問題，線段圖同樣管用。學生根據倍數關系畫出示意圖，數量關系從文字變成了圖形，解題思路躍然紙上。

「線段圖不是額外負擔，是幫學生從'看不懂'到'看清楚'的那一步?！?/strong>

════════════════════

【六】突破難點：畫出來，難題就解了一半

波利亞說：「抽象的道理是重要的，但要用一切辦法使它們看得見、摸得著?！?/strong>

來看一道經典的相遇問題——

甲乙兩車同時從A、B兩地開出，相向而行，第一次在距B地80千米處相遇；相遇后繼續前進，到達對方出發地后立即調頭，第二次在距A地60千米處相遇。A、B兩地間的路程是多少？

這道題，速度未知、時間未知，沒有明顯的等量關系，列方程很難。但如果畫出線段圖——

第一次相遇，兩車共走1個全程，乙車走了80千米；第二次相遇，兩車共走了3個全程，乙車就走了3×80=240千米。而乙車走的路程正好是"1個全程+60千米"，所以全程=240-60=180千米。

不用列方程，不用復雜計算，一條線段圖就把難題解了。

「線段圖畫對了，問題就解了一半。不是題目太難，是你沒給它一個'看得見'的形狀?！?/strong>

════════════════════

【七】數形結合，三個注意

?經常使用直觀模型——在日常教學中，有意識地引導學生認識多種直觀模型：實物、點子圖、面積模型、數線等。這些模型在課堂上不斷呈現，學生才能真正認識到直觀模型的重要作用

?鼓勵使用多元表征——鼓勵學生用自己的方式表示數學問題，畫圖、列表、寫算式……多元表征不僅有助于培養興趣，還是未來學習的基礎

?培養數形轉化意識——見數想形、因形思數。不是只在某一節課上"數形結合"一下，而是在日常教學中持續引導，讓數形相互轉化成為學生的思維習慣

?? 還有一層科學依據：數形結合有利于開發學生的右腦。左腦負責邏輯記憶，右腦負責直覺記憶。研究表明，右腦的記憶能力是左腦的100萬倍，右腦在10秒內可以產生350萬個聯想。右腦開發專家七田真指出：「兒童期是開發右腦的黃金時期，并且右腦開發宜早不宜遲！」

所以，數形結合不只是教學策略，還關乎大腦的全面發展。

════════════════════

"數"輔助"形"，可以將"數"形象化；"形"輔助"數"，可以使"數"直觀化。數形結合既是教師教學中的重要手段，也是學生數學學習的目的。

在具體教學中，數與形沒有誰輕誰重、誰先誰后的規定。教師要根據對數學和學生情況的理解，找到數形結合的關鍵點，在教學中努力體現這一思想。

「數缺形時少直覺，形缺數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。」

「讓數看得見，讓形算得準。數形結合，是化難為易最樸素也最有效的方法?！?/strong>

「不是學生笨，是你沒給他一個'看得見'的數學。數形結合，就是給數學裝上眼睛。」

從"數歸數、形歸形"到"數形相伴、化難為易"，這一步走過去，學生的數學世界會豁然開朗

════════════════════

??思考題

? 翻開你最近要教的一節課，試著找出可以"數形結合"的地方——你打算用什么圖形或模型幫助學生理解？以前教這節課時你用過嗎？

? 你平時解決問題時，有畫線段圖的習慣嗎？下次遇到學生列不出算式的情況，試試先讓他畫圖——看看效果有什么不同。

— 北京市數學特級教師/正高級 錢守旺 —