初中七年級數學下冊：【二元一次方程組】重難點題型17個專練，收藏備用！在平時學習和考試答題中提供思路，希望對大家有所幫助。

初一數學下冊

二元一次方程組

重難點題型17個專練

一：二元一次方程（組）與一次函數

如圖，直線l1的函數表達式為y＝3x﹣2，且直線l1與x軸交于點D．直線l2與x軸交于點A，且經過點B（4，1），直線l1與l2交于點C（m，3）．

（1）求點D和點C的坐標；

解：在y＝3x﹣2中

令y＝0，即3x﹣2＝0 解得x=2/3，

∴D（2/3，0），

∵點C（m，3）在直線y＝3x﹣2上，

∴3m﹣2＝3，∴m=5/3，

∴C（5/3，3）；

（2）求直線l2的函數表達式；

解：設直線l2的函數表達式為y＝kx+b（k≠0），

由題意得：5/3k+b=3，4k+b=1，

解得：k=-6/7，b=31/7，

∴y=-6/7x+31/7；

（3）利用函數圖象寫出關于x，y的二元一次方程組y=3x-2，6x+7y=31的解．

解：由圖可知，二元一次方程組y=3x-2，6x+7y=31的解為x=5/3，y=3.

二：二元一次方程組的應用（方案設計問題）

某制紙廠生產A型、B型兩種不同規格的紙，需用甲、乙兩種不同的原料．若甲原料成本為0.5元/m3，乙原料成本為1元/kg，其它相關數據如下表所示：

甲原料/m3

乙原料/kg

售價/元

每百張A型紙

1

2

4

每百張B型紙

1.2

3

5

（1）若生產這兩種紙需用甲原料108m3、乙原料240kg，則這兩種規格的紙各多少百張？

解：設生產A型紙x百張，B型紙y百張，由題意得，

,x+1.2y=108，2x+3y=240，

解得，x=60，y=40，

答：生產A型紙60百張，B型紙40百張；

（2）若該廠生產A型紙a百張，則生產這種A型紙的利潤是多少元（用含a的代數式表示）？（利潤＝售價﹣成本）

解：4a﹣（0.5×a×1+1×a×2）＝1.5a，

答：生產這種A型紙的利潤是1.5a元；

（3）該廠發現，當制紙總量超過10000百張時，需額外支出8800元的設備維護費，現該廠接到一筆訂單，要求生產A型紙的數量是B型紙數量的2倍，若該廠希望獲得13200元的利潤，則有哪幾種生產方案？

解：設生產B型紙m百張，則生產A型紙2m百張，由題意得，

每百張A型紙的利潤為4×2m﹣（0.5×2m×1+1×2m×2）＝3m，

每百張B型紙的利潤為5m﹣（1.2×m×0.5+3×m×1）＝1.4m，

①當m+2m＜10000時，有3m+1.4m＝13200，

解得m＝3000，則2m＝6000，

即生產A型紙6000百張，則生產B型紙3000百張；

②當m+2m＞10000時，有3m+1.4m＝13200+8800，

解得m＝5000，則2m＝10000，

即生產A型紙10000百張，則生產B型紙5000百張；

因此有兩種生產方案，A型紙6000百張，B型紙3000百張或A型紙10000百張，B型紙5000百張．

三：二元一次方程組的應用（分段計費問題）

滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規則如下表：

計費項目

里程費

時長費

遠途費

單價

1.8元/公里

0.3元/分鐘

0.8元/公里

注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為：行車里程7公里以內（含7公里）不收遠途費，超過7公里的，超出部分每公里收0.8元．

小王與小張各自乘坐滿滴快車，在同一地點約見，已知到達約見地點時他們的實際行車里程分別為6公里與8.5公里，兩人付給滴滴快車的乘車費相同．

（1）求這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差多少分鐘；

解：設小王的實際行車時間為x分鐘，小張的實際行車時間為y分鐘，由題意得：

1.8×6+0.3x＝1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7）

∴10.8+0.3x＝16.5+0.3y

0.3（x﹣y）＝5.7

∴x﹣y＝19

∴這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差19分鐘．

（2）實際乘車時間較少的人，由于出發時間比另一人早，所以提前到達約見地點在大廳等候．已知他等候另一人的時間是他自己實際乘車時間的1.5倍，且比另一人的實際乘車時間的一半多8.5分鐘，計算倆人各自的實際乘車時間．

解：由（1）及題意得：x﹣y＝19，1.5y=1/2x+8.5，化簡得

x﹣y＝19 ①

3y-x=17 ②

①+②得2y＝36

∴y＝18 ③

將③代入①得x＝37

∴小王的實際乘車時間為37分鐘，小張的實際乘車時間為18分鐘．

四：二元一次方程組的應用（工程問題）

某市準備對一段長120m的河道進行清淤疏通，若甲工程隊先用4天單獨完成其中一部分河道的疏通任務，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要9天；若甲工程隊單獨工作8天，則余下的任務由乙工程隊單獨完成需要3天；設甲工程隊平均每天疏通河道x m，乙工程隊平均每天疏通河道y m，求（x+y）的值。

解：設甲工程隊平均每天疏通河道xm，乙工程隊平均每天疏通河道ym，

由題意，得：4x+9y=120，8x+3y=120，

解得：x=12，y＝8，

∴x+y＝20．

五：二元一次方程組的應用（行程問題）

張翔上午7：30出發，從學校騎自行車去縣城，路程全長20km，中途因道路施工步行一段路他步行的平均速度是5km/h．

（1）若張翔騎車的平均速度是15km/h，當天上午9：00到達縣城，則他騎車與步行各用多少時間？

解：設他騎車用了x小時，步行用了y小時，依題意得：

x+y=1.5，15x+5y=20，

解得x=1.25，y=0.25.

答：他騎車用了1.25小時，步行用了0.25小時，

（2）若張翔必須在當天上午9：00之前趕到縣城，他的步行平均速度不變，則他騎車的平均速度應在什么范圍內？

解：設騎車的平均速度為vkm/h，依題意得：

1.25v+5×0.25＞20，

解得：v＞15，

答：騎車的平均速度大于15km/h．

六：二元一次方程組的應用（幾何圖形問題）

如圖所示是由截面為同一種矩形的墻磚粘貼的部分墻面，其中三塊橫放的墻磚比一塊豎放的墻磚高10cm，兩塊橫放的墻磚比兩塊豎放的墻磚低40cm，求每塊墻磚的截面面積．

解：設每塊墻磚的長為xcm，寬為ycm，根據題意得：

x+10=3y，2x=2y+40，

解得：x=35，y＝15，

則每塊墻磚的截面面積是35×15＝525（cm2）．

故答案為：525cm2．

七：二元一次方程組的應用（古數學問題）

被歷代數學家尊為“算經之首”的《九章算術》是中國古代算法的扛鼎之作．《九章算術》中記載：“今有五雀、六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀一枚各重幾何？”

譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將一只雀、一只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量為1斤．問雀、燕每1只各重多少斤？”

請列方程組解答上面的問題．

解：設雀、燕每1只各重x斤、y斤．根據題意，得

4x+y=5y+x，5x+6y+1，

整理，得3x-4y=0，5x+6y=1，

解得x=2/19，y=3/38.

答：雀、燕每1只各重2/19斤、3/38斤．

八：二元一次方程組的應用（配套問題）

某車間有工人56名，生產一種螺栓和螺母，每人每天平均能生產螺栓24個或螺母36個，應怎樣分配工人，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套？

解：設應分配x人生產螺栓，y人生產螺母，才能使一個螺栓配2個螺母剛好配套，

根據題意，得x+y=56，36y=2×24x，

解得x=24，y=32.

答：應分配24個人生產螺栓，32個人生產螺母．

九：二元一次方程組的應用

把一根長為7m的鋼管截斷，從中得到兩種不同規格的鋼管，已知兩種規格的鋼管長分別為2m和1m，為了不造成浪費，不同的截法有幾種？

解：設可以截成x根2m長的鋼管和y根1m長的鋼管，

依題意，得：2x+y＝7，

∴y＝7﹣2x．

∵x，y均為正整數，

∴當x＝1時，y＝5；當x＝2時，y＝3；當x＝3時，y＝1，

∴共有3種不同的截法

截法1：截成1根2m長的鋼管和5根1m長的鋼管；

截法2：截成2根2m長的鋼管和3根1m長的鋼管；

截法3：截成3根2m長的鋼管和1根1m長的鋼管，

十：二元一次方程組的解（整體思想）

閱讀下列文字，請仔細體會其中的數學思想．

（1）解方程組,3x-2y=-1，3x+2y=7，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為 x=1，y=2 ；

（2）如何解方程組3（m+5）-2（n+3）=-1，3（m+5）+2（n+3）=7呢？我們可以把m+5，n+3看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程組的解為 m=-4，n=-1 ；

由此請你解決下列問題：

若關于m，n的方程組am+bn=7，2m-bn=-2的值與3m+n=5，am-bn=-1有相同的解，求a、b的值．

解：由方程組am+bn=7，2m-bn=-2的值與3m+n=5，am-bn=-1有相同的解可得方程組am+bn=7，am-bn=-1，解得am=3，bn=4，

把bn＝4代入方程2m﹣bn＝﹣2得2m＝2，解得m＝1，

再把m＝1代入3m+n＝5得3+n＝5，解得n＝2，

把m＝1代入am＝3得：a＝3，

把n＝2代入bn＝4得：b＝2，

所以a＝3，b＝2．

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