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編者按：
一個(gè)真實(shí)的金融市場(chǎng)，可能同時(shí)受到幾十、上百甚至上千種因素的影響，從資產(chǎn)價(jià)格、利率變化、市場(chǎng)波動(dòng)、投資者行為、時(shí)間跨度，到投資組合中成百上千只股票的聯(lián)動(dòng)、瞬息萬變的市場(chǎng)環(huán)境，這些情況，使得金融學(xué)核心問題的解決，往往像是在一場(chǎng)多維空間的迷宮中尋找出口，動(dòng)輒成千上萬維度的變量交織在一起，構(gòu)成了金融工程中最為堅(jiān)硬的堡壘——“維數(shù)災(zāi)難”。
在金融工程中，被稱為“母方程”的 Hamilton-Jacobi-Bellman equation（HJB方程），正是這一困境的集中體現(xiàn)。它是隨機(jī)最優(yōu)控制理論的核心工具，用于刻畫跨期最優(yōu)決策問題，例如動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置、風(fēng)險(xiǎn)管理等。然而，高維、強(qiáng)非線性以及粘性解等數(shù)學(xué)特性，使得HJB方程長(zhǎng)期以來難以被有效求解。本文將帶您了解一些令人振奮的新進(jìn)展。

撰文｜湯濤

責(zé)編｜李珊珊?

在過去半個(gè)多世紀(jì)的科學(xué)探索中，人們?cè)l(fā)展出一系列成熟而可靠的科學(xué)計(jì)算方法，例如有限差分法、有限元法、譜方法、蒙特卡洛法以及離散傅里葉變換等。在這些方法的基礎(chǔ)上，誕生了眾多功能強(qiáng)大的科學(xué)計(jì)算軟件：從基于有限元的工程仿真平臺(tái)，到基于快速傅里葉變換的信號(hào)處理工具，極大推動(dòng)了科學(xué)與工程仿真的發(fā)展與完善。如今，無論是飛機(jī)、汽車、火箭、高鐵等先進(jìn)裝備的研制，還是信號(hào)處理、圖像處理、人臉識(shí)別與手機(jī)設(shè)計(jì)等關(guān)鍵技術(shù)的實(shí)現(xiàn)，都離不開這些科學(xué)計(jì)算軟件的助力，它們已成為推動(dòng)人類科技進(jìn)步、提升生活質(zhì)量和探索宇宙奧秘的得力助手。

這些科學(xué)與工程的進(jìn)步都建立在牛頓力學(xué)、量子力學(xué)，以及芯片設(shè)計(jì)、材料科學(xué)與化學(xué)等基礎(chǔ)學(xué)科的持續(xù)突破之上。然而，傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算方法的發(fā)展也遭遇一個(gè)根本性瓶頸——“維數(shù)災(zāi)難”：由于它們通常依賴網(wǎng)格剖分或傅里葉展開，計(jì)算成本隨問題維數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，因此大多只適用于低維情形。面對(duì)金融學(xué)中動(dòng)輒成百上千維的復(fù)雜問題，這些方法就顯得捉襟見肘、舉步維艱了。

01 金融問題的高維特性與難解的HJB方程

金融問題為什么會(huì)有這么大的“維數(shù)”？

核心原因在于金融系統(tǒng)本身是多因素驅(qū)動(dòng)的復(fù)雜動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：研究者往往需要同時(shí)刻畫資產(chǎn)特征、市場(chǎng)環(huán)境、參與者行為、時(shí)空維度等多層級(jí)變量，單一或僅依賴少數(shù)變量難以解釋或預(yù)測(cè)金融現(xiàn)象。因此，高維性是對(duì)現(xiàn)實(shí)金融世界的客觀映射，也由金融研究的目標(biāo)和應(yīng)用需求所決定。簡(jiǎn)單來說，金融問題的“維數(shù)”可以理解為分析時(shí)需要納入的獨(dú)立變量數(shù)量。比如在投資組合管理中，需要同時(shí)刻畫多支股票各自的特征及其相互相關(guān)性，使得需要納入分析的變量數(shù)量顯著增加。正是這些維度的疊加與交織，構(gòu)成了金融問題天然的高維特征。

此時(shí)，便出現(xiàn)了HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman方程），它得名于哈密頓、雅可比和貝爾曼三位學(xué)者，本質(zhì)上是貝爾曼的動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理在連續(xù)時(shí)間、含隨機(jī)性的決策場(chǎng)景中的數(shù)學(xué)表達(dá)，與經(jīng)典力學(xué)中的哈密頓–雅可比方程有密切聯(lián)系。HJB方程既是隨機(jī)最優(yōu)控制理論的核心方程，也是動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)分析中刻畫最優(yōu)決策的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具。因它能統(tǒng)一描述經(jīng)濟(jì)學(xué)中各類跨期最優(yōu)選擇問題，被稱為金融工程的“母方程”。

最優(yōu)控制理論的一個(gè)相關(guān)例子是投資組合管理中的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問題。該問題的目標(biāo)是在給定的時(shí)間范圍內(nèi)對(duì)收益與風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行權(quán)衡：在既定風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化預(yù)期收益，或在目標(biāo)收益水平下最小化風(fēng)險(xiǎn)。這里的風(fēng)險(xiǎn)通常用量化指標(biāo)（如投資組合方差或風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值）來衡量。該問題的被控系統(tǒng)即是投資組合本身，它的狀態(tài)由各類資產(chǎn)（如股票、債券、現(xiàn)金）的配置比例及其各自的價(jià)值共同決定，這些資產(chǎn)價(jià)值會(huì)隨著市場(chǎng)動(dòng)態(tài)的變化而變化。而控制的手段則是通過動(dòng)態(tài)調(diào)整資產(chǎn)配置比例，從而更好地權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)。

最優(yōu)控制理論為動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。它能夠確定如何以及何時(shí)對(duì)投資組合進(jìn)行再平衡，并在決策過程中綜合考慮交易成本、市場(chǎng)影響、流動(dòng)性約束以及不斷變化的市場(chǎng)環(huán)境等多重因素，從而實(shí)現(xiàn)既定的控制目標(biāo)。在實(shí)際應(yīng)用中，這一過程可歸結(jié)為對(duì)HJB 方程的求解，進(jìn)而獲得最優(yōu)的反饋控制策略：根據(jù)當(dāng)前市場(chǎng)狀況和資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)測(cè)隨機(jī)演變，制定何時(shí)以及如何重新平衡投資組合的規(guī)則。

然而，實(shí)際金融問題的高維特征直接導(dǎo)致了HJB方程的高維性，使得傳統(tǒng)數(shù)值方法不可避免地遭遇維數(shù)災(zāi)難。不僅如此，HJB方程本身屬于強(qiáng)非線性偏微分方程，其解通常不具備經(jīng)典的光滑性，而是以粘性解的形式存在。要對(duì)粘性解進(jìn)行穩(wěn)定且可靠的數(shù)值逼近，算法必須具備良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)（如單調(diào)性等）。同時(shí)，經(jīng)濟(jì)學(xué)的現(xiàn)實(shí)建模需求：包括非光滑約束、內(nèi)生邊界等，進(jìn)一步提升了對(duì)計(jì)算方法的要求。因此，高維HJB方程的求解非常困難，長(zhǎng)期以來一直是數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家和金融工作者望而卻步的大難題。

隨著人工智能時(shí)代的到來，機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)方法給求解金融學(xué)母方程帶來了曙光！最近的進(jìn)展是通過深度學(xué)習(xí)，可以在人類長(zhǎng)期無法想象的上萬維高維空間中，尋找出最優(yōu)控制策略。

02 深度學(xué)習(xí)方法應(yīng)對(duì)金融問題的維數(shù)災(zāi)難

有限元數(shù)學(xué)理論的創(chuàng)始人、中國計(jì)算數(shù)學(xué)的奠基人馮康先生有兩句名言：“一個(gè)科學(xué)家最大的本領(lǐng)就在于化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，用簡(jiǎn)單的方法去解決復(fù)雜的問題”，“對(duì)同一個(gè)物理問題可以有許多不同的數(shù)學(xué)形式，它們?cè)诶碚撋系葍r(jià)，但在實(shí)踐中未必等效”，后一句話也可以表述為“數(shù)學(xué)上等價(jià)，但計(jì)算上不等效”。這一思想的最新例證，可參見美國數(shù)學(xué)家、2014年高斯獎(jiǎng)得主Stanley Osher及其合作者的近期工作（arXiv:2602.05124）。他們將一類Hamilton-Jacobi方程等價(jià)地改寫為一個(gè)確定性的最優(yōu)控制問題，后者可通過優(yōu)化算法直接求解，從而避免對(duì)高維偏微分方程進(jìn)行顯式的數(shù)值離散，巧妙地避免了維數(shù)災(zāi)難問題。

HJB方程與最優(yōu)控制問題同樣密切相關(guān)，但相較于經(jīng)典的Hamilton-Jacobi方程，HJB方程還進(jìn)一步刻畫了決策過程中的隨機(jī)性。正是利用這一隨機(jī)性，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院周濤（2025年中國數(shù)學(xué)會(huì)陳省身獎(jiǎng)獲得者）、美國南衛(wèi)理公會(huì)大學(xué)蔡偉（2005年馮康科學(xué)計(jì)算獎(jiǎng)得主），以及中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的博士后方水鑫，借助概率論中的“鞅”理論，將HJB方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為隨機(jī)問題，然后采用基于“隨機(jī)”方法的深度學(xué)習(xí)方法，“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，用簡(jiǎn)單的方法去解決復(fù)雜的問題”，使得成千上萬維數(shù)的HJB方程的數(shù)值解在幾十分鐘之內(nèi)得到（見本文后參考文獻(xiàn)）。

通過隨機(jī)模型研究偏微分方程的思路由來已久，尤其在科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域，伴隨深度學(xué)習(xí)技術(shù)的快速發(fā)展，這一思想正煥發(fā)出新的活力。早在20世紀(jì)中葉，諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）與波蘭裔美國數(shù)學(xué)家馬克·卡茨（Mark Kac）提出著名的費(fèi)曼–卡茨公式，將線性拋物型偏微分方程的解表示為相應(yīng)隨機(jī)過程的條件數(shù)學(xué)期望。 20世紀(jì)90年代，法國數(shù)學(xué)家埃蒂安·巴赫杜（étienne Pardoux）與中國數(shù)學(xué)家彭實(shí)戈奠定了倒向隨機(jī)微分方程（BSDE）的理論基礎(chǔ)，建立非線性費(fèi)曼–卡茨公式，從而揭示了非線性拋物型方程與BSDE之間的深刻聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，中國科學(xué)院院士鄂維南及其合作者提出deep BSDE方法，借助深度學(xué)習(xí)對(duì)BSDE進(jìn)行數(shù)值求解，實(shí)現(xiàn)了高維拋物型方程的有效計(jì)算?；陔S機(jī)思想設(shè)計(jì)深度學(xué)習(xí)方法，從而克服維數(shù)災(zāi)難，這是近年來科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域的一個(gè)重要發(fā)展趨勢(shì)。

周濤、蔡偉等人將隨機(jī)方法與深度學(xué)習(xí)相結(jié)合求解HJB方程的工作，正是沿著這一脈絡(luò)的自然延伸。值得一提的是，他們對(duì)算法進(jìn)行了充分優(yōu)化，使其能夠高效利用現(xiàn)代GPU強(qiáng)大的并行計(jì)算能力，這也是為什么上萬維數(shù)的方程可以被短時(shí)間內(nèi)成功求解。并行計(jì)算是一種同時(shí)使用多個(gè)計(jì)算資源協(xié)同解決某個(gè)計(jì)算問題的計(jì)算范式，核心是把復(fù)雜任務(wù)拆分成多個(gè)可同時(shí)執(zhí)行的子任務(wù)，分配給不同處理器并行處理，最終匯總結(jié)果，以此提升計(jì)算速度、處理更大規(guī)模數(shù)據(jù)。周濤、蔡偉等人的方法還被應(yīng)用于金融數(shù)學(xué)中著名的布萊克–舒爾斯（Black-Scholes）模型，這些工作為快速求解金融市場(chǎng)中的復(fù)雜問題帶來了新的可能性。

參考文獻(xiàn)：

• [1] Wei Cai,Shuixin Fang and Tao Zhou,SOC-MartNet: a martingale neural network for the Hamilton-Jacobi-Bellman equation without explicit inf_u(H) in stochastic optimal controls, SIAM J. Sci. Comput., 47(4), C795-C819, 2025.
• [2] Wei Cai,Shuixin Fang, and Tao Zhou, Deep random difference method for high-dimensional quasi-linear partial differential equations, J. Comput. Phy.,Vol. 555,114767, 2026.