Lax Pairs: Integrable, Less Integrable and Nonintegrable Systems

松弛對：可積系統、弱可積系統和不可積系統

https://arxiv.org/pdf/2603.09224

摘要.

得益于劉維爾和阿諾德的工作，完全可積的有限維哈密頓系統已得到充分理解。另一方面，KdV方程的Lax對表述標志著完全可積理論向無限維哈密頓系統擴展的開端。對于允許Lax對表述的系統，若Lax對能導出一個無窮完備的守恒律集合，其初值問題的解通常具有良態（溫和）的定性行為。然而，即使在一維空間中，初邊值問題的情況也有所不同。存在一些問題，其可積性得以保持，且可證明其具有規則（長時間漸近）行為；也存在另一些問題，其中甚至會出現不規則的“具有分形混沌外觀的”行為。在這篇短文中，我們回顧了每種情況的一個實例。我們還將本文內容與實直線上受擾Lax對方程現有理論的結果建立了聯系。

1. 引言

KdV方程的Lax對表述[20]標志著完全可積系統理論向無限維哈密頓系統擴展的開端。對于允許Lax對表述的系統，若其初值滿足無窮遠處的某種衰減或收斂條件或是周期性的，則其初值問題已得到充分理解，這使得通過反演方法（反散射或反譜代數幾何方法）求解成為可能。一個關鍵事實是，Lax對會產生無窮多個守恒律。通過選取適當的初值以確保守恒量為有限，并對系統進行適當約化以存在一組完備的作用量-角變量，該系統在如下意義下是完全可積的：其解可歸結為求解（一維空間情形下的）（局部）Riemann-Hilbert分解問題，或（高維空間情形下的）非局部Riemann-Hilbert分解問題或 ? ˉ ?ˉ-問題。此類問題通常定義在黎曼曲面上，且適合進行漸近分析。對于局部Riemann-Hilbert分解問題，人們應用所謂的非線性穩相法和最速下降法；已有大量文獻，例如參見[9]、[19]。對于 ? ˉ ?ˉ-問題，結果較少（例如Perry [22]）；對于非局部Riemann-Hilbert分解問題，參見Donmazov、Liu和Perry [11]。

然而，對于初邊值問題，情況則有所不同，即使在一維空間中也是如此。存在反演方法的一種推廣（即由Fokas及其合作者發展的“統一變換方法”）[12]、[13]、[14]、[15]。但該方法的一個關鍵特征是，它所需的邊界數據值比適定問題所給定的要多。這帶來了兩個重要后果。首先，它在某種程度上降低了漸近公式的有效性程度，因為這些公式涉及與Dirichlet數據和Neumann數據均相關的散射數據信息；而Neumann數據僅以非常隱含的方式給出。如果我們能證明Dirichlet-to-Neumann映射是穩定的，這還不算太糟。然而最關鍵的是，給定適當類別（以使統一變換理論適用）的某些Dirichlet數據，Neumann數據是否也落在可處理的類別中，這完全不清楚。這是繼續推進前必須解決的問題。

更具體地說，在三次NLS情形下，Dirichlet數據的知識足以使問題適定，但統一變換方法還需要Neumann數據的值。因此，在應用統一變換之前，研究Dirichlet-to-Neumann映射是必要的。在文獻[1]、[2]中，我們對一大類衰減Dirichlet數據的該映射進行了嚴格研究。我們證明了Dirichlet-to-Neumann映射是穩定的，且Neumann數據也具有充分的衰減性，從而統一變換方法可以應用。這些結果將在下一節中給出。

在第三節中，我們討論長時間漸近行為，若Neumann值屬于適當類別，則可通過Riemann-Hilbert方法予以證明。

在第四節中，我們展示了Arthur、Dorey和Parini進行的一些精美的數值實驗，這些實驗清楚地表明，具有初值和Robin邊界條件的Sine-Gordon初邊值問題的行為中存在不規則性。此外，Dirichlet邊界函數 u ( x , 0 ) 似乎是無界的。這是一個清晰的實例，說明某個允許Lax對表述的問題卻不可積：添加邊界和邊界條件，即使確保問題唯一可解，也可能保持或不保持可積性！

在第五節中，我們將關于初邊值問題的結果與Lax方程擾動初值問題的現有結果進行比較。在第六節中，我們展示了一個尚未能證明Neumann值具有適當衰減性的問題的數值結果。盡管如此，所得結果仍與假設其衰減時所預期的相符。

2. NLS

考慮定義在實正半軸 R + 上的具有三次非線性的NLS方程

另一方面，眾所周知[23]，具有三次非線性的非線性薛定諤方程（NLS）可以寫成Lax對的形式，并且至少Cauchy問題是“完全可積”的；這意味著存在無窮多個處于Poisson對合（Poisson involution）中的守恒律，此外該問題可以通過散射變換線性化。這并不意味著存在真正的顯式解（bona fide explicit solution）。充其量，反散射問題（重寫為Riemann-Hilbert分解問題）可以進行有效的漸近處理。可以提供有效的長時間、長距離和半經典漸近公式：它們要么非常顯式地依賴于初值，最壞情況下也僅通過求解簡單的線性常微分方程組（ODEs）來依賴。

在[15]中，作者利用統一變換方法（unified transform method）求解實正半軸上的問題，給定了初值和Dirichlet數據（這使得問題適定）以及Neumann值 P ( t ) : = q x ( 0 , t ) 。該理論運作所要求的是Neumann函數（以及Dirichlet數據）屬于某個具有良好衰減性質的類，以便統一散射變換能夠被恰當定義。這正是我們要給出的定理的內容：我們提供了幾個相當包容的大類Dirichlet數據，使得Dirichlet和Neumann值在 t → ∞ 時衰減得足夠快，從而散射方法可以運作。因此[15]適用，Riemann-Hilbert分解問題是可能的，并且顯式漸近公式（長時間[15]、長空間，甚至是半經典[18][16]）是可用的。這些公式不如Cauchy問題的公式有效。原因是通常情況下Dirichlet-to-Neumann映射是非常隱含的。因此，出現在漸近公式中的一些函數涉及與Neumann邊界值相關的散射數據；這些無法被有效計算。盡管如此，這里的Dirichlet-to-Neumann映射是連續的；在后面的章節中，我們將考慮依賴性可能非常不穩定的更復雜問題。

我們關于散焦情形的主要結果如下，參見[2]。

此外，如果 Dirichlet 數據屬于 Schwartz 類，那么 Neumann 數據也屬于 Schwartz 類。Dirichlet-to-Neumann 映射在適當的空間中是連續的。

如前所述，這意味著 Riemann-Hilbert 分解問題是可能的，并且可以得到顯式的長時間漸近公式。 在下一節中，我們將給出散焦情形的主要長時間漸近公式。

3. 長時間漸近性

從 Riemann-Hilbert 表述中，人們可以推導出精確的長時間漸近性。對于散焦 NLS，這最早是在 [8] 中完成的。他們的計算是針對初值問題的。然而，由于初邊值問題的 Riemann-Hilbert 問題實際上非常相似，同樣的計算得出了如下長時間漸近性，正如 [15] 中所引用的，

如果沒有孤子存在，在聚焦情形下也成立一個非常相似的漸近公式（這在 [1] 中對于零初值數據和小 Dirichlet 數據已被證明為真）。然而，一般情況下，假設統一理論適用，人們將不得不加上一組孤子項的和。在長時間下，這些孤子會分離，最高的也是最快的。因此，對于一組有限的特定 x / t 值（對應于孤子速度），主導漸近項由一個 1-孤子公式給出，其參數依賴于對應于給定（初值和 Dirichlet）數據以及 Neumann 值的散射系數！關于實際細節，參見 [15] 的附錄 B。當然，如果我們不知道如何控制 Neumann 值——而目前我們確實不知道——就沒有什么被嚴格證明。充其量我們可以提供一些令人信服的數值結果來表明情況確實如此：漸近性由一組有限個向右傳播的孤子和一個衰減項給出。這正是我們在第 6 節中所做的。

我們在本節最后簡要評論一下周期情形：考慮具有衰減初值數據和周期性 Dirichlet 數據的聚焦 NLS。解在長時間下是否是漸近周期的，這是一個未決問題（open question）。同樣，一個關鍵的要素將由關于 Neumann 值的漸近周期性的信息提供。關于一些理論分析和一些數值結果，我們參考文獻 [4]，這些結果暗示在某些情況下存在“可積性”，但該問題在一般情況下仍然是未決的。

4. 具有Robin邊界條件的Sine-Gordon方程

遵循[3]，我們考慮方程

5. 與實直線上受擾NLS的比較

6. 半直線上聚焦NLS的數值逼近

7. 結論。接下來是什么？

允許Lax對表述的偏微分方程的初邊值問題可以導出完全可積系統，這些系統能夠通過反散射和Riemann-Hilbert變形方法進行處理。然而，即使對于一些最簡單的Lax對方程，也存在某些初邊值問題，其中看似合理的數據會引發不規則的“分形-混沌”行為，導致（現有的）反演方法無法適用。

我們能否更好地理解這種情況何時發生以及為何發生？能否給出分別導致可積性與不可積性的完備邊界條件集合？不可積性是否存在多個程度（或層次），其范圍從存在更明確或較不明確的漸近公式，到表現出完全不規則且無法局部描述的行為？是否存在這樣一種可能：Lax對的存在（或某種意義上的可積性）與具有恰當自相似結構的真正分形行為的存在相關聯？

原文鏈接：https://arxiv.org/pdf/2603.09224